具有能級穩(wěn)定過程的MQHOA優(yōu)化算法

王鵬，黃焱

（1. 西南民族大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610225；2. 淮陰師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223300）

具有能級穩(wěn)定過程的MQHOA優(yōu)化算法

王鵬1，黃焱2

（1. 西南民族大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都 610225；2. 淮陰師范學(xué)院計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223300）

在量子模型下將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解約束態(tài)的基態(tài)波函數(shù)問題，通過泰勒近似采用諧振子勢阱對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行逼近，類比量子諧振子的波函數(shù)圖像提出了一種改進(jìn)的多尺度量子諧振子優(yōu)化算法。算法包括3個基本迭代收斂過程：能級穩(wěn)定過程、能級降低過程和尺度降低過程，算法的收斂過程與物理模型基本吻合。改進(jìn)算法將主觀控制參數(shù)減少為1個，同時參照量子模型定義了算法的波函數(shù)和零點能。實驗結(jié)果表明，改進(jìn)算法的復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化性能優(yōu)于多種常見優(yōu)化算法，對于Ackley、Griewank、Sphere、Sum Squares、Zakharov等高維標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)均能以100%的概率獲得全局最優(yōu)解。

優(yōu)化算法；函數(shù)優(yōu)化；多尺度量子諧振子算法；波函數(shù)；基態(tài)

1 引言

利用自然現(xiàn)象和自然規(guī)律構(gòu)造新的計算智能算法是一種常用的方法，如蟻群算法、遺傳算法、粒子群算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。但計算智能算法所面臨的問題是大量算法缺少完整的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，不能充分地利用數(shù)學(xué)工具對算法進(jìn)行研究和分析，這一點制約了這一研究領(lǐng)域的發(fā)展。20世紀(jì)初量子物理打破了幾百年來牛頓力學(xué)對世界確定性的描述，使人類認(rèn)識到不確定性才是這個世界的本質(zhì)，量子理論成熟完備的理論體系為算法的研究提供了方便，利用量子理論來構(gòu)造和改進(jìn)算法受到了大家的廣泛重視。如量子退火算法（QA, quantum annealing）就是一種利用含時薛定諤方程的演化原理逐步向基態(tài)收斂，從而實現(xiàn)對全局最優(yōu)解搜索的算法[1～4]；文獻(xiàn)[5～7]也提出了一種利用δ勢阱波函數(shù)構(gòu)造的量子粒子群（QPSO）算法，由于QPSO算法采用了δ勢阱，所以收斂速度較快，但算法容易早熟，而且人為控制參數(shù)多，需要指定最大迭代次數(shù)實現(xiàn)對算法進(jìn)行強(qiáng)行終止。以上算法都利用了量子波函數(shù)的概率解釋，基于量子波函數(shù)構(gòu)造的智能優(yōu)化算法通常都是以向能級基態(tài)進(jìn)化為目標(biāo)，通過量子隧道效應(yīng)避免陷入局部最優(yōu)區(qū)域。

受到量子退火理論的啟發(fā)，2013年，王鵬等[8]首次提出了多尺度量子諧振子算法（C-MQHOA）的基本物理模型和算法框架，C-MQHOA算法類比量子諧振子不同能級波函數(shù)構(gòu)造了一個以多個正態(tài)采樣為基本操作的多尺度采樣搜索方法，利用多個正態(tài)采樣的迭加作為算法波函數(shù)來描述當(dāng)前最優(yōu)解的概率分布，這一算法被成功應(yīng)用于函數(shù)優(yōu)化問題；文獻(xiàn)[9]對 C-MQHOA算法的物理模型從經(jīng)典諧振子和量子諧振子角度進(jìn)行了分析，利用量子算符方法證明了優(yōu)化算法的測不準(zhǔn)關(guān)系，測不準(zhǔn)關(guān)系從理論上指出了一般優(yōu)化算法進(jìn)行多尺度迭代的必要性；文獻(xiàn)[10]給出了C-MQHOA算法的程序?qū)崿F(xiàn)方法；文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]分別將 C-MQHOA算法成功應(yīng)用于多峰函數(shù)和整數(shù)優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]將C-MQHOA算法的基本思想應(yīng)用于聚類分析和TSP組合優(yōu)化問題，這意味著C-MQHOA算法有望在非函數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域，如數(shù)據(jù)中心優(yōu)化[15]、集群調(diào)度[16]等實際工程問題中得到成功應(yīng)用。但文獻(xiàn)[8]所提出的C-MQHOA算法框架需要有2個主觀控制參數(shù)，缺乏能級穩(wěn)定過程，與物理模型存在不一致的地方，算法每次迭代需要對較多的位置進(jìn)行采樣，算法效率較低，不能實現(xiàn)對超高維復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化。針對文獻(xiàn)[8]中 C-MQHOA算法存在的問題，本文提了C-MQHOA算法的改進(jìn)模型，引入了能級穩(wěn)定過程，使新的MQHOA算法與物理模型符合的更好，在減少主觀控制參數(shù)個數(shù)的同時實現(xiàn)了算法效率的大幅度提高，可以高效地求解超高維復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化問題，因此，本文所提出的算法模型可以取代文獻(xiàn)[8]中原有 C-MQHOA算法作為新的MQHOA算法的基本模型，因此，本文直接稱新算法為MQHOA算法。

2 MQHOA算法的基本物理模型

量子理論的出現(xiàn)使人們認(rèn)識到了一個由概率所統(tǒng)治的世界，大家所生活的世界并不是確定的。如圖1所示，經(jīng)典物理中按照盧瑟福的原子模型通常將電子的運(yùn)動用確定的軌道來進(jìn)行描述，但這一模型無法解釋原子結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，帶電粒子做圓周運(yùn)動時會輻射能量，按照這一模型電子將最終落入原子核中。量子力學(xué)的出現(xiàn)使人們對微觀粒子的運(yùn)動有了新的認(rèn)識，依據(jù)量子力學(xué)理論原子核外電子的運(yùn)動并沒有確定的方向和軌跡，只能用電子云描述它在原子核外空間某處出現(xiàn)幾率的大小，在量子力學(xué)中粒子出現(xiàn)的幾率可以利用波函數(shù)（wave function）來進(jìn)行描述，但波函數(shù)既不能描述粒子的軌跡也不能描述粒子的形狀，對于任意粒子只能依據(jù)波函數(shù)給出其位置分布概率。

圖1 經(jīng)典電子軌道和量子電子云

描述量子系統(tǒng)的方程被稱為薛定諤方程，它可以被寫為如下的形式

定態(tài)薛定諤方程描述了粒子在勢阱V( x)約束下的運(yùn)動情況。MQHOA算法將優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)f( x)作為薛定諤方程中的勢阱 V( x) =f( x)，函數(shù)優(yōu)化問題在這一對應(yīng)條件下就轉(zhuǎn)變?yōu)榱饲罅Ｗ釉趧葳?V( x) =f( x)約束下的基態(tài)波函數(shù)ψ0(x)問題，量子系統(tǒng)處于基態(tài)時粒子將以最大的概率出現(xiàn)在勢阱最低點附近，基態(tài)波函數(shù)的概率分布就是目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解的概率分布。但通常復(fù)雜的勢阱利用薛定諤方程是無法求出精確波函數(shù)的。在量子物理中經(jīng)常會采用諧振子勢來近似描述粒子在平衡位置附近的復(fù)雜振動。同樣，復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)f( x)在全局最小值位置x0附近也可以采用泰勒序列進(jìn)行展開

在f( x)的泰勒展開中f( x0)為常數(shù)，在最小值位置x0處目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) f′(x0) = 0，同時去除高次項保留二次項，可以得到因此，在最小值位置x0附近，可以利用諧振子勢阱來近似表示復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)f( x)，在這一近似條件下求解目標(biāo)函數(shù)f( x)最小值的問題就可以轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庠谥C振子勢阱約束下的基態(tài)波函數(shù)問題（諧振子約束態(tài)問題），此時薛定諤方程為

根據(jù)量子理論，諧振子勢阱約束下的波函數(shù)是可以準(zhǔn)確獲得的，其不同能級波函數(shù)如圖2所示。

圖2 不同能級下的諧振子波函數(shù)

量子諧振子波函數(shù)從高能態(tài)到基態(tài)由多個正態(tài)分布的概率振動逐步聚集到一起，其基態(tài)波函數(shù)就是一個正態(tài)分布，因此，MQHOA算法的基本采樣概率函數(shù)為正態(tài)分布函數(shù)。本文引入了能級穩(wěn)定過程，使MQHOA算法在高能級的亞穩(wěn)態(tài)能進(jìn)行充分的搜索，保證了解的多樣性，從而更準(zhǔn)確地定位所有局部最優(yōu)區(qū)域。

MQHOA算法的物理模型可以歸納為以下幾點。

1) 勢阱等效：將復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)等效于量子勢阱V( x) =f( x)，從而將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解約束態(tài)下量子基態(tài)波函數(shù)的問題。

2) 泰勒近似：在目標(biāo)函數(shù)極值附近利用諧振子勢對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行近似。

3) 量子波函數(shù)：利用波函數(shù)來描述目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解當(dāng)前的概率分布。

4) 量子能級：目標(biāo)函數(shù)的局部最優(yōu)對應(yīng)于量子系統(tǒng)中的高能級亞穩(wěn)態(tài)，全局最優(yōu)對應(yīng)于量子系統(tǒng)中的基態(tài)。

在這一物理模型下優(yōu)化問題就被轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饬孔酉到y(tǒng)基態(tài)波函數(shù)的問題，利用量子退火方法實現(xiàn)系統(tǒng)由高能級亞穩(wěn)態(tài)向基態(tài)的能級逐步躍遷。量子理論完整的數(shù)學(xué)體系為算法分析提供了數(shù)學(xué)工具。

3 MQHOA算法的基本迭代過程

根據(jù)算法的物理模型，本文提出了一種具有能級穩(wěn)定過程的MQHOA算法流程，算法流程的偽代碼如下（二維目標(biāo)函數(shù)）。

MQHOA算法偽代碼如下。

Initialize：k, σmin, σs=max ?min

Randomly generate xi( i =1,… ,k) in domain[min,max]

Calculate the standard deviation σk′ for all xi

Do

Do

Do

?xi, generate

?xiandif f()

Calculate the standard deviation σk

While( ?σk> σs)

Update the worst solution xworst=xmean

While (σk>σs)

While(σs>σmin)

Output xbestand f( xbest)

偽代碼中目標(biāo)函數(shù)的定義域為[min,max]，算法的初始尺度 σs=max?min ，算法需要主觀指定的參數(shù)只有采樣區(qū)域個數(shù)k，k值越大對應(yīng)于算法初始能級越高，而σmin則是優(yōu)化算法在每一個維度上的收斂精度，MQHOA算法可以以指定的位置精度自動實現(xiàn)算法的收斂，也可人為指定最大迭代次數(shù)。算法初始化時在目標(biāo)函數(shù)定義域內(nèi)的每一個維度分別隨機(jī)生成k個采樣位置xi，并計算出這k個采樣位置的標(biāo)準(zhǔn)差σk′。為描述方便，下面以二維函數(shù)為例說明算法包括3個迭代過程。

1) 能級穩(wěn)定過程

這一迭代過程對所有的k個采樣位置xi分別按正態(tài)分布 N( xi,)生成一個新的采樣位置，總共生成k個新的采樣位置，如果新采樣位置對應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的值較小 f()

2) 能級降低過程

當(dāng)算法處于穩(wěn)定能級狀態(tài)后，以k個采樣位置的平均值xmean=x替換x中最差解的位置 xworst，實

i

i現(xiàn)了系統(tǒng)能級的下降并進(jìn)入下一個低能級上的能級穩(wěn)定過程。相比利用最優(yōu)解位置取代最差解位置的能級降低策略，本策略保證了解空間采樣的多樣性。MQHOA算法的能級下降過程要一直持續(xù)到當(dāng)前k個采樣位置的標(biāo)準(zhǔn)差σk小于等于當(dāng)前尺度σs（ σk≤σs），這時k個采樣位置xi收縮到了正態(tài)分布N( x,σ2)區(qū)域內(nèi)，此時算法認(rèn)為已達(dá)到尺度σ下

i ss

的能量基態(tài)，即最低能量狀態(tài)。

3) 尺度降低過程

尺度降低過程與量子退火算法的退火過程類似，根據(jù)文獻(xiàn)[9]中證明的優(yōu)化算法測不準(zhǔn)關(guān)系，要實現(xiàn)對全局最優(yōu)解的高精度搜索必須采用多尺度迭代。尺度決定了搜索的精度，當(dāng)算法達(dá)到尺度σs下的基態(tài)時，尺度降低過程將當(dāng)前尺度減半使算法在更小的尺度下重復(fù)能級由高到低的迭代過程，從大尺度到小尺度的變化過程對應(yīng)于算法逐步從全局搜索過渡到局部搜索，尺度減半的原理來自于小波二進(jìn)變換的啟發(fā)，按尺度減半在大多數(shù)目標(biāo)函數(shù)上都表現(xiàn)出了良好的性能。最小搜索尺度σmin就決定了算法結(jié)果的位置精度，當(dāng)前尺度σs≤σmin時，算法停止并輸出xi中的最優(yōu)結(jié)果。對于不同的目標(biāo)函數(shù)只需指定σmin，MQHOA算法的迭代次數(shù)是不同的，算法可以自動適應(yīng)并不需要人為指定。

MQHOA算法流程與物理模型的對應(yīng)關(guān)系如表1所示，從表中可以看出MQHOA算法很好地符合了量子理論模型。

表1 MQHOA算法與物理模型的對應(yīng)關(guān)系

4 MQHOA算法的波函數(shù)和能量

4.1 MQHOA算法的波函數(shù)定義

MQHOA算法在整個搜索過程中其采樣操作的核心機(jī)制就是當(dāng)前k個采樣位置xi所對應(yīng)的k個正態(tài)概率分布 N( xi,，定義算法當(dāng)前波函數(shù)為k個正態(tài)概率分布 N( xi)的疊加

高斯函數(shù)可以作為小波分析函數(shù)，受小波二進(jìn)分析的啟發(fā)，為實現(xiàn)更高分辨率的搜索，MQHOA算法將尺度σs逐步減半，尺度減小后算法在大尺度下的基態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樵谛〕叨认碌母吣軕B(tài)，算法以更高的精度對解空間進(jìn)行搜索，算法在最后結(jié)束時的波函數(shù)為

4.2 MQHOA算法的能量和零點能

類比量子理論MQHOA算法的能量Esσ定義如下

當(dāng)算法滿足亞穩(wěn)態(tài)判據(jù)時，此時的能量即為該亞穩(wěn)態(tài)的能級。

依據(jù)能量Eσs的定義，MQHOA算法在尺度σs基態(tài)時的零點能可以近似由下式計算

其中，ψ0(x)為算法基態(tài)波函數(shù)，fmin為目標(biāo)函數(shù)的理論最小值，f( xopt)是基態(tài)時當(dāng)前的最優(yōu)解。通常在當(dāng)前尺度σs較大時零點能會較大。零點能的存在正是算法量子特性的一個重要表現(xiàn)，零點能也可作為算法收斂特性的指標(biāo)。

5 實驗結(jié)果與討論

為確保本文實驗數(shù)據(jù)的可靠性，所有實驗數(shù)據(jù)均為重復(fù) 30次計算所得到的統(tǒng)計值，測試函數(shù)如表2所示。本文MQHOA算法的參數(shù)k=30，算法的優(yōu)化位置精度 σmin= 0.000 001，優(yōu)化成功率的判斷是以目標(biāo)函數(shù)最終優(yōu)化值與理論最優(yōu)值差的絕對值小于等于0.001作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的維度用D來標(biāo)識，優(yōu)化目標(biāo)均是尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最小值，本文所有標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的理論最優(yōu)值均為0。

表2 7種測試函數(shù)的名稱與編號

5.1 MQHOA算法基本優(yōu)化實驗結(jié)果

表3給出了MQHOA算法對7種標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)在10維和30維時的優(yōu)化結(jié)果，搜索定義域在各個維度均為[-2.048, 2.048]。對這7種標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，除f2函數(shù)之外，MQHOA算法均以較高的精度獲得了全局最優(yōu)值。其函數(shù)進(jìn)化次數(shù)通常只需要103～104次，并且隨維度的增加變化不明顯，這表明算法迭代次數(shù)對于目標(biāo)函數(shù)的維度并不敏感，可以應(yīng)用于高維函數(shù)的優(yōu)化問題。在本次實驗中除f2函數(shù)之外，其余測試函數(shù)MQHOA算法在30次重復(fù)實驗中都以100%的概率找到了全局最優(yōu)值。

5.2 MQHOA算法與其他算法的對比實驗結(jié)果

表4中的數(shù)據(jù)為MQHOA算法與其他3種常見優(yōu)化算法 ABC（artificial bee colony algorithm）、JDE（differential evolution algorithm）、CLPSO（comprehensive learning PSO）對5種100維的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù) 30次重復(fù)實驗中獲得的全局最優(yōu)值的平均值。實驗結(jié)果表明，MQHOA算法的實驗結(jié)果全部優(yōu)于CLPSO算法，對4種測試函數(shù)（f3, f5, f6, f7）的實驗結(jié)果優(yōu)于ABC、JDE算法；對比算法對函數(shù)f7的實驗結(jié)果從精度上看可以認(rèn)為 ABC、JDE、CLPSO算法在30次實驗中并未能有效地找到最優(yōu)解位置，事實上其成功率為0，而MQHOA算法卻以10-8的精度找到了全局最優(yōu)解。如果以0.001為標(biāo)準(zhǔn)，MQHOA在30次實驗中共找到了4種函數(shù)（f3, f5, f6, f7）的全局最優(yōu)解位置，優(yōu)于其他3種對比算法。

5.3 MQHOA算法對高維函數(shù)的優(yōu)化實驗結(jié)果

在函數(shù)優(yōu)化問題中隨著目標(biāo)函數(shù)維度的增加，搜索空間的大小是呈指數(shù)級增長的，因此，優(yōu)化算法對高維目標(biāo)函數(shù)特別是百維以上的超高維目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化性能是優(yōu)化算法的一個重要評價指標(biāo)。

表3 MQHOA算法對7種常見目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果

表4 MQHOA與其他算法對高維目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化效果對比

表5為MQHOA算法對5個200～500維的超高維目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的結(jié)果，搜索定義域在各個維度均為[-2.048, 2.048]，數(shù)據(jù)表明MQHOA算法在目標(biāo)函數(shù)為200～500維時，仍以100%的成功率獲得了目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解?？偟膩砜?，MQHOA算法具有出色的高維函數(shù)優(yōu)化能力，這表明其有望應(yīng)用于高復(fù)雜度的優(yōu)化應(yīng)用領(lǐng)域，是一個有很好應(yīng)用前景的智能優(yōu)化算法。

5.4 MQHOA算法的波函數(shù)

根據(jù)本文對算法波函數(shù)的定義，波函數(shù)是MQHOA算法量子特性的重要體現(xiàn)，它反映了當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)全局最優(yōu)解的概率分布，算法的收斂過程也是波函數(shù)在不同尺度向基態(tài)收斂的過程。

表5 MQHOA對超高維目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化實驗結(jié)果

圖3為MQHOA算法在對Griewank函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化時，在不同尺度下（ σs=10，σs=5，σs=1.25）收斂到基態(tài)時的波函數(shù)圖像。圖中的圓點為波函數(shù)對應(yīng)的k個采樣中心的位置，從圖中可以看出隨著尺度的降低算法波函數(shù)逐步向目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)位置聚集，波函數(shù)的這種聚集同時會使算法的采樣概率集中在全局最優(yōu)位置，從而提高最優(yōu)解附近的采樣密度。從圖中可以直觀地看出由于波函數(shù)的概率特性，算法在大尺度時可以實現(xiàn)對定義域的全局搜索，而在相對小的尺度下也能以一定的概率跳出局部最優(yōu)區(qū)域，這在量子理論中被稱為量子隧道效應(yīng)。波函數(shù)反映了算法當(dāng)前全局最優(yōu)解的概率分布，也是算法當(dāng)前的采樣概率分布。

圖3 Griewank 函數(shù)在不同尺度下的采樣中心及基態(tài)波函數(shù)圖像（D=2）

6 結(jié)束語

本文引入能級穩(wěn)定過程提出了一種改進(jìn)的MQHOA算法模型，新的模型包括能級穩(wěn)定過程、能級降低過程和尺度降低過程3個迭代過程，新的MQHOA算法實現(xiàn)了對超高維復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問題的快速求解，算法結(jié)構(gòu)簡單、實現(xiàn)容易。相比同類優(yōu)化算法，MQHOA算法的迭代過程具有簡單明確的數(shù)學(xué)過程，整個算法的基本操作只有正態(tài)采樣和 3個收斂判據(jù)，這種簡單明確的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特別有利于對其進(jìn)行收斂性分析。同時MQHOA算法需要主觀設(shè)定的控制參數(shù)只有采樣區(qū)域個數(shù)k，避免了多個控制參數(shù)所造成的算法參數(shù)設(shè)定時的困難。實驗證明具有能級穩(wěn)定過程的 MQHOA算法在對高維函數(shù)的優(yōu)化中比其他算法具有明顯的優(yōu)勢。今后具有能級穩(wěn)定過程的MQHOA算法將作為MQHOA算法的基本算法對待。由于本文所提出的具有能級穩(wěn)定過程的 MQHOA優(yōu)化算法有著清晰完整的物理模型描述，目前已非常成熟的量子理論的數(shù)學(xué)體系為研究這一算法提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，解決了其他計算智能算法缺乏完備數(shù)學(xué)體系的問題。

[1] BATTAGLIA D A, SANTORO G E, TOSATTI E. Optimization by quantum annealing： lessons from hard satisfiability problems[J].Physical Review E Statistical Nonlinear & Soft Matter Physics, 2005,71(6)： 531-536.

[2] FINNILA A B, GOMEZ M A, SEBENIK C, et al. Quantum annealing：a new method for minimizing multidimensional functions[J]. Chem Phys Lett, 1994, 219 (5-6)： 343-348.

[3] SOMMA R D, BOIXO S, BARNUM H, et al. Quantum simulations of classical annealing processes[J]. Phys Rev Lett, 2008, 101(13)： 130504.[4] BROOKE J, BITKO D, ROSENBAUM T F, et al. Quantum annealing of a disordered spin system[J]. Science, 2001, 284(5415)： 779-781.

[5] SUN J, WU X J, VASILE P, et al. Convergence analysis and improvements of quantum-behaved particle swarm optimization[J]. Information Sciences, 2012, 193(15)： 81-103.

[6] FENG B, SUN J, XU W B. A global search strategy of quantum-behaved particle swarm optimization[C]//Proc of IEEE Conference on Cybernetics and Intelligent Systems, c2005： 111-116.

[7] SUN J, FANG W, WU X J, et al. Quantum-behaved particle swarm optimization： analysis of the individual particle behavior and parameter selection[J]. Evolutionary Computation, 2012, 20(3)： 349-393.

[8] 王鵬, 黃焱, 任超, 等. 多尺度量子諧振子高維函數(shù)全局優(yōu)化算法[J].電子學(xué)報, 2013, 41(12)： 2468-2473.WANG P, HUANG Y, REN C, et al. Multi-scale quantum harmonic oscillator for high-dimensional function global optimization algorithm[J].Acta Electronica Sinica, 2013, 41(12)： 2468-2473.

[9] 王鵬, 黃焱. 多尺度量子諧振子優(yōu)化算法物理模型[J]. 計算機(jī)研究與探索, 2015, 9(10)： 1271-1280.WANG P, HUANG Y. Physical model of multi-scale quantum harmonic oscillator optimization algorithm[J]. Journal of Frontiers of Computer Science & Technology, 2015, 9(10)： 1271-1280.

[10] 劉峰, 王鵬, 黃焱, 等. 多尺度量子諧振子優(yōu)化算法實現(xiàn)方法研究[J].成都信息工程學(xué)院學(xué)報, 2015, 30(5)： 433-438.LIU F, WANG P, HUANG Y, et al. Research on algorithm implementation of multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm[J]. Journal of Chengdu University of Information Technology, 2015, 30(5)： 433-438.

[11] 陸志軍, 安俊秀, 王鵬. 基于劃分的多尺度量子諧振子算法多峰優(yōu)化[J]. 自動化學(xué)報, 2016, 42(2)： 235-245.LU Z J, AN J X, WANG P. Partition-based MQHOA for multimodal optimization[J]. Acta Automatica Sinica, 2016, 42(2)： 235-245.

[12] 袁亞男, 王鵬, 劉峰. 多尺度量子諧振子算法性能分析[J]. 計算機(jī)應(yīng)用, 2015, 35(6)： 1600-1604.YUN Y N, WANG P, LIU F. Performance analysis of multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm[J]. Journal of Computer Applications, 2015, 35(6)： 1600-1604.

[13] 燕京京, 王鵬, 范家兵, 等. 基于量子諧振子模型的聚類中心選取算法[J]. 電子學(xué)報, 2016, 44(2)： 405-412.YAN J J, WANG P, FAN J B, et al. Clustering center selecting algorithm based on quantum harmonic oscillator model[J]. Acta Electronica Sinica, 2016, 44(2)： 405-412.

[14] 王鵬, 黃焱, 安俊秀, 等. 多尺度量子諧振子算法在組合優(yōu)化問題中的性能分析[J]. 電子科技大學(xué)學(xué)報, 2016, 45(3)： 469-474.WANG P, HUANG Y, AN J X, et al. MQHOA used in TSP problem[J].Journal of University of Electronic Science and Technology of China,2016, 45(3)： 469-474.

[15] 黃焱, 王鵬, 謝高輝. 基于 PE方法的數(shù)據(jù)中心需量費(fèi)用優(yōu)化算法[J].通信學(xué)報, 2016, 37(3)： 90-97.HUANG Y, WANG P, XIE G H. Optimizing demand charge of data center base on PE method[J]. Journal on Communications, 2016, 37(3)：90-97.

[16] 王鵬, 黃焱, 李坤, 等. 云計算集群相空間負(fù)載均衡度優(yōu)先調(diào)度算法研究[J]. 計算機(jī)研究與發(fā)展, 2014, 51(5)： 1095-1107.WANG P, HUANG Y, LI K, et al. Load balancing degree first algorithm on phase space for cloud computing cluster[J]. Computer Research and Development, 2014, 51(5)： 1095-1107.

[17] CHEN D B, ZOU F, LI Z, et al. An improved teaching-learning-based optimization algorithm for solving global optimization problem[J].Information Sciences, 297(2015)： 171-190.

MQHOA algorithm with energy level stabilizing process

WANG Peng1, HUANG Yan2
(1. School of Computer Science and Technology, Southwest University for Nationalities, Chengdu 610225, China;2. School of Computer Science and Technology, Huaiyin Normal University, Huaian 223300, China)

An improved multi-scale quantum harmonic oscillator algorithm (MQHOA) with energy level stabilizing process was proposed analogizing to quantum harmonic oscillator’s wave function. Inspired by quantum model, the optimization problem was transformed to finding ground state wave function of bound state. Harmonic oscillator potential well was used to approach objective function under the condition of Taylor approximation. Energy level stabilization, energy level reduction, scale reduction were the basic iterative convergence processes of MQHOA, coinciding with its physical model. Only one subjective control parameter was needed in MQHOA whose wave function and zero-point energy were defined with reference to quantum model. Experimental results show that MQHOA’s performance is superior to several other common optimization algorithms. For high dimensional testing functions including Ackley、Griewank、Sphere、Sum Squares、Zakharov, etc, the global optimums can be obtained precisely with 100% probability.

optimization algorithm, function optimization, MQHOA, wave function, ground state

s: The National Natural Science Foundation of China (No.60702075), Sichuan Key Laboratory Open Foundation of Pattern Recognition and Intelligent Information Processing (No.MSSB-2015-9)

TP301.6

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016136

2016-04-11；

2016-06-15

國家自然科學(xué)基金資助項目（No.60702075）；模式識別與智能信息處理四川省高校重點實驗室開放基金資助項目（No.MSSB-2015-9）

王鵬（1975-），男，四川樂山人，西南民族大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向為智能算法、大數(shù)據(jù)、云計算、并行計算。

黃焱（1982-），男，江蘇泗陽人，博士，淮陰師范學(xué)院講師，主要研究方向為智能算法、并行計算。