加速旋轉(zhuǎn)荷電黑洞視界面積量子化

杜 越, 李慧玲

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

?

加速旋轉(zhuǎn)荷電黑洞視界面積量子化

杜 越, 李慧玲

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽 110034)

黑洞視界面積量子化問題是理論物理研究的前沿課題,也是近些年科學(xué)討論的熱點(diǎn)問題,現(xiàn)在人們對黑洞視界面積量子化問題等內(nèi)容進(jìn)行了一系列的研究,也已經(jīng)取得了一些成果,但是有一些相關(guān)理論的研究還需要深入。通過近視界近似,利用絕熱協(xié)變量,采用Bohr-sommerfeld量子化原則和黑洞熱力學(xué)第一定律,研究了不同坐標(biāo)系下電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)荷電黑洞的視界面積量子化及熵的量子化問題?？偠灾?將絕熱協(xié)變量量子化視界面積推廣到對復(fù)雜荷電黑洞的視界面積量子化問題的分析和討論。其核心關(guān)鍵技巧是絕熱協(xié)變量的方法。最后得到的結(jié)果表明,黑洞的面積譜是等間距的,與本身黑洞參數(shù)無關(guān)。

量子化; 絕熱協(xié)變量; 面積譜; 荷電加速旋轉(zhuǎn)黑洞

0 引 言

相比于準(zhǔn)正規(guī)模方法,用絕熱協(xié)變作用量的方法對帶有電荷磁荷黑洞的視界面積進(jìn)行量子化是方便簡單的。在本論文中,由于穩(wěn)態(tài)黑洞的無限紅移面與事件視界不重合,也由于角動(dòng)量的出現(xiàn),所以時(shí)空中存在坐標(biāo)系的拖曳效應(yīng)。因此,先做拖曳坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換,然后在絕熱協(xié)變量的基礎(chǔ)上,我們試圖得到帶有電荷磁荷高速旋轉(zhuǎn)的黑洞的面積譜。

1 有電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)的黑洞

Plebanski等[5]線元覆蓋了一大類時(shí)空線元,包括熟知的黑洞解如史瓦西黑洞、克爾黑洞、克爾紐曼黑洞、克爾-NUT黑洞等。帶有電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)的黑洞也屬于這一大類。在球坐標(biāo)下它可以表達(dá)為[6]

(1)

這里

(2)

這里:M是黑洞的質(zhì)量;a是單位質(zhì)量角動(dòng)量;a=J/M;e和g是黑洞的電荷磁荷;α代表的是黑洞的加速度。為了方便,線元可以寫成

(3)

這里新的函數(shù)可以表達(dá)成

(4)

事件視界的定義式為

(5)

內(nèi)外視界為

(6)

在外視界處,角速度[8]和霍金溫度[9]可以寫成

(7)

(8)

外視界面積為

(9)

為了避免拖曳效應(yīng)的影響,做拖曳坐標(biāo)變換

(10)

帶有電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)的黑洞線元可以寫成

(11)

這里

(12)

以下采用近視界近似的方法繼續(xù)對加速旋轉(zhuǎn)的黑洞進(jìn)行探究,由于現(xiàn)在的方向都更傾向于量子論現(xiàn)象,例如發(fā)生在事件視界處的隧穿輻射,黑洞熵和面積譜的量子化,因?yàn)榕R近視界更高維背景的時(shí)空可以抵消一個(gè)二維時(shí)空的影響,所以采取臨近視界近似值不會有問題[10],取臨界外視任意θ=θ0,線元式(11)可以寫成

(13)

當(dāng)t→-iτ,進(jìn)行轉(zhuǎn)換

(14)

2 協(xié)變作用量

下面用絕熱協(xié)變量的方法繼續(xù)對加速旋轉(zhuǎn)的黑洞進(jìn)行研究,絕熱協(xié)變量結(jié)合加速旋轉(zhuǎn)黑洞的參數(shù)可以表達(dá)成

(15)

這里:Pi是坐標(biāo)qi的共軛動(dòng)量;采取愛因斯坦求和定律,τ是歐幾里得時(shí)間;qi代表的是類空坐標(biāo);Η是系統(tǒng)哈密頓常量;Ic=∫Ldτ,L是Lagrangian作用量。當(dāng)一個(gè)帶電粒子隧穿出視界,就會受到電勢場的影響,需要考慮到黑洞的物質(zhì)場問題和黑洞外的電勢場。由于存在搖曳效應(yīng)的影響,臨近視界能層中的物質(zhì)場不能被忽略,但是這里L(fēng)=Lm+Le,Le=FuV+Fuv/4是電勢場的拉格朗日作用量與廣義坐標(biāo),Au=(Aτ,0,0,0)是一致的,然而從Le可以看出來Aτ是可以忽略不計(jì)的,而坐標(biāo)φ沒有出現(xiàn)在拖曳線元中,那也就是說φ也是可以被忽略的。在拉格朗日做用量中,為了去除這2個(gè)自由度,經(jīng)典作用量可以寫成

(16)

這里可以得到哈密頓正則方程的表達(dá)式

(17)

這里:Ω+是角速度;Φ+是在外視界電磁勢能。因此,協(xié)變作用量結(jié)合黑洞參數(shù)可以寫成

(18)

3 拖曳球面坐標(biāo)下荷電加速旋轉(zhuǎn)黑洞的視界面積量子化

(19)

(20)

(21)

將式(20)、式(21)代入式(18)可以得到

(22)

標(biāo)注一下外視界r+處存在奇點(diǎn),做一個(gè)維道積分[11],將奇點(diǎn)從右向左移。用這種方法,完成對r的積分得到

(23)

根據(jù)黑洞熱力學(xué)第一定律

(24)

再根據(jù)Bohr-sommerfel量子化定律

(25)

得到黑洞的熵譜

(26)

間隔熵譜

(27)

使用熵和視界面積的關(guān)系

(28)

因?yàn)橐呀?jīng)得到間隔的熵譜式(27),所以根據(jù)式(28)可以得到間隔的面積譜

(29)

因此,證明了等間隔面積譜與帶電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)的黑洞的參數(shù)沒有關(guān)聯(lián)。這個(gè)結(jié)論與Bekenstein最初的結(jié)論是一致的。

4 拖曳的Painleve坐標(biāo)下荷電加速旋轉(zhuǎn)黑洞的面積譜

利用協(xié)變作用量表達(dá)式(18),繼續(xù)對帶有電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)的黑洞的視界面積和熵譜進(jìn)行量子化。做painleve坐標(biāo)變換,令

(30)

即

(31)

將等式(31)代入式(13)中,可以得到帶有電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)黑洞在拖曳-painleve坐標(biāo)下的線元

(32)

通過t′→-iτ′的變換,在線元式(32)中,可以得到測地線方程

(33)

和出入射方程

(34)

(35)

將式(34)、式(35)代入式(18),得到

∫Pidqi=

(36)

在式(38)中右半部分第2小節(jié)在拖曳-painleve坐標(biāo)下沒有意義。因此協(xié)變作用量可以寫成

∫Pidqi=

(37)

根據(jù)黑洞熱力學(xué)第一定律dM=TdS+Ω+dJ+Φ+dQ和Bohr-sommerfeld量子化定律∫Pidqi=nh,發(fā)現(xiàn)熵的量子化為

(38)

這也可以算出等間隔面積譜為

(39)

這個(gè)結(jié)果與本文中第4小節(jié)的結(jié)果是一致的。也與Bekenstein最初的結(jié)論一致。

5 結(jié) 論

本文利用絕熱協(xié)變作用量得到了帶有電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)黑洞的面積譜。為了量子化視界面積,首先做了拖曳坐標(biāo)變換,得到了絕熱協(xié)變作用量在拖曳坐標(biāo)下的表達(dá)式。然后采用近視界近似,用絕熱協(xié)變作用量、Bohr-Sommerfeld量子化法則和黑洞熱力學(xué)定律,成功地量子化了帶有電荷磁荷加速旋轉(zhuǎn)荷電黑洞的視界面積。對于黑洞面積譜,在不同的坐標(biāo)系下,絕熱協(xié)變作用量給了相同的值,結(jié)果顯示面積譜是等距的,與黑洞參數(shù)沒有關(guān)系,這個(gè)結(jié)論與Bekestein最初的結(jié)論是一致的。值得注意的是,本論文并沒有用似正規(guī)模,僅僅通過協(xié)變作用量來計(jì)算面積譜和熵譜,此方法比似正規(guī)模法量子化黑洞更簡單。

[ 1 ]HOD S. Bohr’s correspondence principle and the area spectrum of quantum black holes[J]. Phys Rev Lett, 1998,81(20):4293-4296.

[ 2 ]MAGGIORE M. Physcial interpretation of the spectrum of black hole quasinormal modes[J]. Phys Rev Lett, 2008,100(14):141301.

[ 3 ]BEKENSTEIN J D. Black holes and entropy[J]. Phys Rev, 1973,7(8):2333-2346.

[ 5 ]PLEBANLKI J F, DEMIANSKI M. Rotating charged and uniformly acccelerating mass in general relativity[J]. Ann Phys, 1976,98(1):98-127.

[ 6 ]PODOLSKY J, KADLECOVR H. Radiation generated by accelerating and rotating charged black holes in(anti-)de Sitter space[J]. Class Grav, 2009,26(10):105007.

[ 7 ]KERNER R, MANN R B. Fermions tunnelling from black holes[J]. Class Grav, 2008,25(9):095014.

[ 8 ]GILLANI U A , SAIFULLAH K. Tunneling of Dirac particles from accelerating androtating black holes[J]. Phys Lett, 2011,699(1):15-20.

[ 9 ]REHMAN M, SAIFULLAH K. Charged fermions tunneling from accelerating and rotating black holes[J]. JCAP, 2011,2001(3):001.

[10]LI H L, DU Y, ZHENG W, et al. Quantization of horizon aera from accelerating and roating black hole[J]. Int J Theor Phys ,2014,53(7):2349-2359.

[11]李薇. 四維時(shí)空中場方程表述形式的推導(dǎo)方法[J]. 沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2011,29(2):209-212.

Quantization of horizon area from accelerating and rotating charged black hole

DUYue,LIHuiling

(College of Physics Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Issues generated from area quantization of black hole horizon are the frontier of theoretical physics research and as a hot issue of scientific discussion in recent years. At present, a series of researches had been done in order to figure d out the issues of area quantization of black hole horizon, which had also made some achievements. However, there is still some related theoretical researches related theory that needs to be further study. Iin this paper, the issues about complicated charged black hole is discussed. Based on the ideas of adiabatic invariant quantity, and as a further study, adopting near horizon approximation, we attempt to quantize the horizon area of an accelerating and rotating charged black hole in two different coordinate frames. To sum up, based on certain theory, the issues about charged black hole horizon area of quantization have been analyzed and discussed in this paper. The method of adiabatic covariate is regarded as the core key technique that is applied to the practice. Finally, the result shows that the area of the black hole spectrum is evenly spaced, which has nothing to do with black hole itself parameters.

qantization; area spectrum; accelerating and rotating charged black hole; modified adiabatic invariant quantity

2014-12-31。

遼寧省教育廳高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃項(xiàng)目(WR2013009)。

杜 越(1990-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)碩士研究生; 通信作者: 李慧玲(1976-),女,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)講師,碩士。

1673-5862(2016)02-0206-06

P145.6

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.02.017