物理源問(wèn)題的“變式”構(gòu)造與例析

張建奮

(廣州市白云區(qū)教育發(fā)展中心 廣東 廣州 510440)

(收稿日期：2016-05-26)

?

物理源問(wèn)題的“變式”構(gòu)造與例析

張建奮

(廣州市白云區(qū)教育發(fā)展中心 廣東 廣州 510440)

(收稿日期：2016-05-26)

通過(guò)源問(wèn)題加以變化構(gòu)造變式題，可從原型題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，主要的構(gòu)造方法有以下5種.(1)通過(guò)變換背景構(gòu)造變式題；(2)通過(guò)逆向思考構(gòu)造變式題；(3)通過(guò)類比構(gòu)造變式題；(4)通過(guò)物理模型推廣構(gòu)造變式題；(5)通過(guò)概念或過(guò)程“屬性”變化構(gòu)造變式題.

問(wèn)題變式 物理 構(gòu)造 模型 否定假設(shè)法

變式教學(xué)是物理教學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是中學(xué)教師自覺(jué)或不自覺(jué)運(yùn)用的常用方法.將源問(wèn)題加以變化，稱為問(wèn)題變式.變式題的構(gòu)造可通過(guò)對(duì)某一源問(wèn)題進(jìn)行條件變換、結(jié)論探索、逆向思考、圖形變化、類比、推廣等多角度、多方位的思考，使一道題變?yōu)橐活愵}，達(dá)到舉一反三的效果.教師進(jìn)行變式教學(xué)，可根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)任務(wù)和不同的生源狀況構(gòu)造出相應(yīng)的變式題，教學(xué)實(shí)踐中編擬變式題的方法很多，但常見(jiàn)的有如下幾種.

1 通過(guò)變換背景構(gòu)造變式題

1．1 給物理命題配置實(shí)際背景

【例1】一質(zhì)點(diǎn)在某高度以10 m/s的速度勻速豎直上拋，經(jīng)17 s后到達(dá)地面.求拋出時(shí)物體離地的高度.

變式: 氣球以10 m/s的速度勻速豎直上升，從氣球上掉下一個(gè)物體，經(jīng)17 s到達(dá)地面.求物體剛脫離氣球時(shí)氣球的高度.(g=10 m/s2)

事實(shí)上，這一實(shí)際情景所反映的物理問(wèn)題的本身就是源問(wèn)題.

1.2 實(shí)際背景的配置轉(zhuǎn)換

【例2】小船橫渡一條寬100 m的河流，船在靜水中的速度5 m/s,水流速3 m/s，要使渡河時(shí)間最短，船的實(shí)際位移是多少？

變式:民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一個(gè)騎射項(xiàng)目，運(yùn)動(dòng)員騎在奔駛的馬背上，彎弓放箭射擊側(cè)向的固定目標(biāo)，如圖1所示.假設(shè)運(yùn)動(dòng)員騎馬奔馳的速度為v1，運(yùn)動(dòng)員靜止時(shí)射出的弓箭速度為v2.跑道離固定目標(biāo)的最近距離為d.假定運(yùn)動(dòng)員射箭時(shí)所用力量都相同，要想命中目標(biāo)且射出的箭在空中飛行時(shí)間最短，弓箭運(yùn)動(dòng)員放箭處離目標(biāo)的距離是多少？(本題忽略豎直方向運(yùn)動(dòng)的影響.)

圖1 騎射項(xiàng)目

量和角動(dòng)量，它們的軌道可能是圓，也可能是橢圓，還可能是拋物線，或者是雙曲線的一支，但任意時(shí)刻3個(gè)天體始終構(gòu)成一個(gè)正三角形.

1 姜付錦.三體問(wèn)題一類特解的初探.物理通報(bào),2015(2)：43～45

2 周衍柏.理論力學(xué)教程(第2版).北京：高等教育出版社,1985.67～77

本題物理模型是完全一樣的.牽連速度：水流速度-馬的速度；橫向位移：河寬-跑道離固定目標(biāo)的最近距離;相對(duì)速度：船在靜水中的速度-運(yùn)動(dòng)員靜止時(shí)射出的弓箭速度;實(shí)際位移大?。捍膶?shí)際位移大小-弓箭的運(yùn)動(dòng)員放箭處離目標(biāo)的距離.這些都是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

2 通過(guò)逆向思考構(gòu)造變式題

把源問(wèn)題的“條件”和“結(jié)論”在一定條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到變式題.這種反向變式題可以發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，增強(qiáng)思維的靈活性．

【例3】物體從靜止出發(fā)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，第1 s內(nèi)通過(guò)的位移是1 m，求物體的加速度和8 s后的速度.

變式:火車剎車后經(jīng)過(guò)8 s停下，若它在最后1 s內(nèi)通過(guò)的位移是1 m，求火車的加速度和剎車時(shí)火車的速度.

一般來(lái)說(shuō)，“正向思維”就是從問(wèn)題的始態(tài)到終態(tài)，順著物理過(guò)程的發(fā)展去思考問(wèn)題.而逆向思維則是反常規(guī)的，是將問(wèn)題倒過(guò)來(lái)思考的思維方法.根據(jù)因果關(guān)系,由果導(dǎo)因，它是解決物理問(wèn)題常用的思維方式.人們習(xí)慣于正向思維，許多物理問(wèn)題，如果逆著正向思維的方向提出，往往使許多人不知所措.在習(xí)題課教學(xué)中，對(duì)某些題目進(jìn)行逆向置換，即從事物的反面提出問(wèn)題，以加強(qiáng)學(xué)生的逆向思維能力訓(xùn)練，可培養(yǎng)思維的靈活性.本題若沿正向思維的思路來(lái)解，將是十分繁瑣的，不過(guò)若倒過(guò)來(lái)考慮，將火車的運(yùn)動(dòng)逆時(shí)間順序倒推過(guò)去，則剎車過(guò)程看作初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的逆過(guò)程，最后1 s通過(guò)的位移就變成了勻加速運(yùn)動(dòng)的最初1 s通過(guò)的位移，火車剎車時(shí)的速度就變成了勻加速運(yùn)動(dòng)的末速.由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

可得

a=2 m/s2v=16 m/s

3 通過(guò)類比構(gòu)造變式題

所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測(cè)與其類似的事物也應(yīng)具有這種屬性的一種推理方法．類比是一種發(fā)現(xiàn)的方法，也是構(gòu)造變式題的一種方法.

【例4】設(shè)質(zhì)量為m的子彈以初速度v0射向靜止在光滑水平面上的質(zhì)量為M的木塊，并留在木塊中不再射出，如圖2所示.求：整個(gè)過(guò)程中子彈和木塊系統(tǒng)動(dòng)能的損失是多少？

圖2 子彈射入木塊并留在木塊中

變式1：如圖3所示，木塊A的右側(cè)為光滑曲面，曲面下端極薄，其質(zhì)量MA=2 kg，原來(lái)靜止在光滑的水平面上，質(zhì)量mB=2.0 kg的小球B以v=2 m/s的速度從右向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)中與木塊A發(fā)生相互作用，求:B球沿木塊A的曲面向上運(yùn)動(dòng)中可上升的最大高度(設(shè)B球不能飛出去)。

圖3 小球向左運(yùn)動(dòng)與木塊相互作用

變式2: 如4圖所示，距離為L(zhǎng)的兩塊平行金屬板A和B豎直固定在表面光滑的絕緣小車上，并與車內(nèi)電動(dòng)勢(shì)為U的電池兩極相連，金屬板B下開(kāi)有小孔，整個(gè)裝置質(zhì)量為M，靜止放在光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m，帶正電q的小球以初速度v0沿垂直于金屬板的方向射入小孔，若小球始終未與A板相碰，且小球不影響金屬板間的電場(chǎng)．假設(shè)小球經(jīng)過(guò)小孔時(shí)系統(tǒng)電勢(shì)能為零，則系統(tǒng)電勢(shì)能的最大值是多少？

圖4 變式2題圖

變式3: 兩根足夠長(zhǎng)的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng).導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖5所示．兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m，電阻均為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)．在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．設(shè)兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行．開(kāi)始時(shí)，棒cd靜止，棒ab有指向棒cd的初速度v0．若兩導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)中始終不接觸，求：在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少．

圖5 變式3題圖

從源問(wèn)題與變式題運(yùn)用的力學(xué)規(guī)律基本相同，只是系統(tǒng)動(dòng)能的減少轉(zhuǎn)化為不同類型的能量.盡管物理過(guò)程不一樣，但可采用類比的方法進(jìn)行分析.

4 通過(guò)物理模型推廣構(gòu)造變式題

推廣是擴(kuò)大題目的條件中有關(guān)對(duì)象的范圍，或擴(kuò)大結(jié)論的范圍．一個(gè)題目經(jīng)過(guò)推廣后，源問(wèn)題其實(shí)就是它的特殊情形，兩者具有包含與被包含的關(guān)系．這種推廣分兩種類型.

4.1 概念型(實(shí)物模型類)

【例5】如圖6，置于地面上的一單擺在小振幅條件下擺動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，周期為T(mén).可求得該處的重力加速度g.

圖6 單擺

變式1：圖7所示為一雙線擺，它是由在一水平天花板上用2根等長(zhǎng)的細(xì)線懸掛一小球構(gòu)成的．繩的質(zhì)量和球的大小可忽略，設(shè)圖中角度θ和線長(zhǎng)l為已知，則當(dāng)小球在垂直于紙面的平面內(nèi)做擺角小于10°的振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)的周期為多少?

圖7 雙線擺

圖8 通過(guò)弧形槽研究?jī)汕蛳嗯?/p>

變式3：如圖9 所示，在傾角為θ 的光滑斜面上，一根長(zhǎng)為 L 的輕繩一端固定在斜面上，另一端系一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的小球靜止在斜面上，今將小球拉離平衡位置一段很小的距離，放手后小球在斜面上來(lái)回?cái)[動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，求其周期.

圖9 斜面上小球的周期性運(yùn)動(dòng)

4.2 規(guī)律型(過(guò)程模型類)

【例6】小球從距地面高h(yuǎn)=15 m處的同一點(diǎn)拋出，初速度大小均為v0=30 m/s水平拋出，空氣阻力不計(jì)，重力加速度取g=10 m/s2．求球經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間落地？

變式1：如圖10所示，將質(zhì)量為m的小球從傾角為θ的光滑斜面上A點(diǎn)以速度v0水平拋出(即v0∥CD)，小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，已知A點(diǎn)的高度h，則小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為多少？

圖10 斜面上的小球水平拋出

變式2：如圖11所示，有一個(gè)很深的豎直井，井的橫截面為一個(gè)圓，半徑為R，且井壁光滑，有一個(gè)小球從井口的一側(cè)以水平速度v0拋出與井壁發(fā)生碰撞，撞后以原速率被反彈，求小球與井壁發(fā)生第n次碰撞處的深度.

圖11 從豎直井井口水平拋出小球

變式3：如圖12所示，豎直圓筒內(nèi)壁光滑，半徑為R，筒壁上方有一入口A，在A的正下方h處有出口B，一質(zhì)量為m的小球從入口A沿筒壁切線方向水平射入圓筒內(nèi)，要使球從B處飛出，小球進(jìn)入入口A處的速度v0應(yīng)滿足什么條件？在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，球?qū)ν驳膲毫Χ啻螅?/p>

圖12 小球從豎直圓筒壁上方水平射入

源問(wèn)題是平拋運(yùn)動(dòng)模型，重力加速度為g，變式1是斜面內(nèi)的類平拋運(yùn)動(dòng)，沿斜面向下的加速度g′=gsin θ相當(dāng)原型題的g.變式2展開(kāi)后情境也與原型題大體相同.變式3小球受重力和筒壁的支持力，并且具有水平初速度v0，因此，小球在筒內(nèi)的運(yùn)動(dòng)可看作豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)和水平方向速度為v0的勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，好像是一個(gè)卷成圓筒狀的平拋運(yùn)動(dòng)，其中拋出高度為h .

5 通過(guò)概念或過(guò)程“屬性”變化構(gòu)造變式題

對(duì)問(wèn)題所包含的某些“屬性”進(jìn)行變化，這是從源問(wèn)題出發(fā)，產(chǎn)生新問(wèn)題.通過(guò)否定假設(shè)構(gòu)造變式題對(duì)于問(wèn)題提出的認(rèn)知策略，研究者也從方論的角度積極的探索，其代表人物為美國(guó)學(xué)者布朗及瓦爾特(Brown&Walter)．他們對(duì)題提出進(jìn)行了大量的實(shí)證研究后，提出了“否定假設(shè)法”(what-if．not,如果它不是這樣的，那么也可能是什么呢?).這一方法的核心是對(duì)源問(wèn)題的條件與限定進(jìn)行思考和自由改變來(lái)產(chǎn)生新問(wèn)題.

5.1 物理過(guò)程的限制條件改變或條件開(kāi)放構(gòu)造新題

【例7】物體從地面以10 m/s的初速度豎直上拋一小球，拋出后，求： 1 s末、2 s末小球落速度和到拋出點(diǎn)的距離.(忽略空氣阻力的影響，取重力加速度g=10 m/s2).

變式1：在離地面15 m的高處，以10 m/s的初速度豎直上拋一小球，拋出后，求： 1 s末、2 s末、3 s末小球落速度和到拋出點(diǎn)的距離.(忽略空氣阻力的影響，取重力加速度g=10 m/s2)

變式2：一輛汽車以9 m/s的速度運(yùn)動(dòng)，進(jìn)站后剎車制動(dòng)，以加速度大小為3 m/s2做勻減速運(yùn)動(dòng).從剎車開(kāi)始計(jì)時(shí)，求汽車5 s內(nèi)通過(guò)的位移.

原題是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，第一階段上升過(guò)程，勻減速運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，以后做勻加速直線運(yùn)動(dòng).變式1是拋出點(diǎn)位置改變，較變式1第二階段的位移放寬增加15 m；變式2隱含第二階段處于靜止?fàn)顟B(tài).同樣，若條件開(kāi)放，題目的結(jié)果會(huì)多種多樣的.

5.2 物理過(guò)程的背景條件改變構(gòu)造新題

這種題目相當(dāng)多，問(wèn)題變式的兩類結(jié)構(gòu)：水平變式和垂直變式.新問(wèn)題相對(duì)源問(wèn)題來(lái)說(shuō)，學(xué)生能區(qū)分問(wèn)題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，不帶來(lái)認(rèn)知負(fù)荷的變化，為水平變式.水平變式是問(wèn)題表面部分的重復(fù)，如：

【例8】如圖13所示裝置，電阻忽略不計(jì)，足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌處于水平面內(nèi)，導(dǎo)軌所在區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)豎直向下，兩導(dǎo)軌間連接一電阻R，金屬桿ab垂直導(dǎo)軌放置．現(xiàn)用一水平恒力F拉桿ab，使桿ab沿導(dǎo)軌從靜止起向右運(yùn)動(dòng)，試分析桿ab的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何?

圖13 導(dǎo)軌水平放置

變式1：改變圖裝置的位置，使導(dǎo)軌處于豎直面內(nèi)如圖14所示，現(xiàn)將桿ab由靜止起釋放，使其沿導(dǎo)軌滑下，桿與導(dǎo)軌保持接觸，試分析桿ab的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何.

圖14 導(dǎo)軌豎直放置

變式2：改變圖裝置的位置，使導(dǎo)軌處于斜面內(nèi),如圖15所示，現(xiàn)將桿ab由靜止起釋放，使其沿導(dǎo)軌下滑，試分析桿ab的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何.

圖15 導(dǎo)軌傾斜放置

原題中ab在運(yùn)動(dòng)方向上受到拉力F和與其方向相反的安培力F安作用，開(kāi)始時(shí)，速度v增大→感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E增大→感應(yīng)電流I增大→安培力F安增大→合外力減小→加速度a減速小→桿做加速度不斷減小的加速運(yùn)動(dòng)→當(dāng)F安增大至與F相等時(shí)a=0→v不變→ab桿最終做勻速運(yùn)動(dòng).變式1裝置豎直放置，拉力F換成重力，分析的過(guò)程與原題基本一樣.變式2裝置導(dǎo)軌傾斜，從導(dǎo)軌平面來(lái)看，受力情況也與原題大致相同，拉力改為重力的沿斜面的向下分量.

學(xué)生不能區(qū)分問(wèn)題表面形式特征變化背后的結(jié)構(gòu)特征變化，帶來(lái)認(rèn)知負(fù)荷的變化，為垂直變式.如：

【例9】如圖16所示，在光滑的水平桌面上有一質(zhì)量為m的物體A，求在F=2mg的作用下物體A的加速度(假設(shè)繩子的質(zhì)量以及繩子與定滑輪之間的摩擦力都可以忽略不計(jì)).

圖16 物體A在拉力F作用下沿桌面運(yùn)動(dòng)

變式1:如圖17所示，如果用質(zhì)量為2m的物體B代替力F，則物體A的加速度為多大?

圖17 物體A在物體B的作用下沿桌面運(yùn)動(dòng)

分析：物體B與A一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故B對(duì)A的拉力不等于B的重力.讓學(xué)生通過(guò)比較上述兩個(gè)情境，批判地、辯證地思考拉力是否等于物體的重力.

變式2：如圖18所示，若將光滑的水平桌面改成傾角為30°角的光滑斜面，則物體A的加速度又為多大?

圖18 物體A在物體B的作用下沿斜面運(yùn)動(dòng)

由變式1到變式2，學(xué)生相應(yīng)解決問(wèn)題的認(rèn)知負(fù)荷增加，需要調(diào)用的解題難度增大，需要用力的合成與分解的知識(shí).還可以認(rèn)為變式1是變式2的一種特例.同樣，在變式2的基礎(chǔ)上還可以變化，使問(wèn)題更具一般性.

變式3：若在圖18中的斜面與物體A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，則物體A的加速度又為多大?

這種物理過(guò)程的背景條件改變構(gòu)造新的題，將條件一般化，變更求解的問(wèn)題，可以將所學(xué)的思維引向深入.