向量優(yōu)化問題近似解的非線性標(biāo)量化刻畫

吳海琴

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

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向量優(yōu)化問題近似解的非線性標(biāo)量化刻畫

吳海琴

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331)

在co-radiant集的基礎(chǔ)上提出了一類新的(C,ε)-(弱)有效解,討論了這類解的一些性質(zhì).研究了向量優(yōu)化問題中Kutateladze 定義的近似解與這類新(C,ε)-(弱)有效解的關(guān)系,用單調(diào)標(biāo)量化方法得到了δq-近似解的充分條件.

近似解;(C,ε)-(弱)有效解; 非線性標(biāo)量化

近幾十年,近似解已成為向量優(yōu)化問題中的研究熱點,這主要源于3個方面：①優(yōu)化模型通常是在對實際問題作出簡化假設(shè)的基礎(chǔ)上建立的;②在計算過程中,數(shù)值算法通常產(chǎn)生的是優(yōu)化問題的近似解;③在非緊性條件下(弱)有效解一般不存在,而近似(弱)有效解在較弱的條件下有可能存在.故從計算和理論的角度,向量優(yōu)化問題近似解的研究具有重要的意義.1979年,Kutaladze在文獻(xiàn)[1]中首次提出了ε-有效解的概念.1984年,Loridan在文獻(xiàn)[2]中引入了一般向量優(yōu)化問題的近似有效解和擬近似有效解的概念.2006年,Gutierrez等在文獻(xiàn)[3]中利用co-radiant集提出了向量優(yōu)化問題的一種新的ε-有效解的概念-(C，ε)有效解,研究了其相關(guān)性質(zhì)和標(biāo)量化特征.2011年,Gao等[4]在基于Benson真有效解思想,利用co-radiant集提出了向量優(yōu)化問題的一類近似真有效解(稱為(C，ε)-真有效解),并給出了其線性標(biāo)量化刻畫.

近年來,諸多學(xué)者利用線性標(biāo)量化方法研究各種近似解及其性質(zhì),兩種常見的標(biāo)量化函數(shù)和性質(zhì)研究見文獻(xiàn)[5-8].受文獻(xiàn)[3-4，9-10]中研究工作的啟發(fā),本文研究了由Kutateladze定義的向量優(yōu)化問題的近似解,給出了一類新的(C，ε)-有效解,討論了這類解的一些性質(zhì),用單調(diào)標(biāo)量化方法得到了這類近似解的充分條件.

1 預(yù)備知識

假設(shè)X和Y是兩個實拓?fù)渚€性空間,集合C?Y,clC,intC分別表示K的拓?fù)溟]包和拓?fù)鋬?nèi)部.若C∩(-C)?{0},則稱集合C是點的;若φ≠C≠Y,則集合C是真的;如果C滿足對任意的d∈C,α>1,均有αd∈C,則C是一個co-radiant集.設(shè)C?Y是真的內(nèi)部非空的co-radiant集.

考慮以下向量優(yōu)化問題：

(VP)minf(x)

其中f:X→Y,S?X,且S≠φ.

引理 1[11]若C是一個真的點凸錐,則：

i) C(ε)是一個實的凸co-radiant集,?ε>0.

ii) C(ε2)?C(ε1),?ε1,ε2>0,ε1<ε2.

定義1[11]設(shè)ε≥0,稱可行點x0∈S是(VP)問題關(guān)于C的ε-有效解(或稱(C,ε)有效解),如果(f(x0)-C(ε))∩f(S)?{f(x0)},記作AE(f,C,ε).

定義2[11]設(shè)ε≥0,稱可行點x0∈S是(VP)問題關(guān)于C的(C,ε)-弱有效解,如果(f(x0)-intC(ε))∩f(S)=φ,記作WAE(f,C,ε).

定義3[11]假設(shè)Y=R,C=R+，稱x0是問題(1)的ε-近似解,如果:

記作Inf(f,S,ε).

2 主要結(jié)果

Gutierrez等在文獻(xiàn)[5-8]中利用co-radiant集提出了向量優(yōu)化問題的一種新的ε-有效解的概念-(C，ε)有效解,研究了其相關(guān)性質(zhì)和標(biāo)量化特征,本文在 (C，ε)-有效解的基礎(chǔ)上給出了一類新的δq-有效解,并討論其相關(guān)性質(zhì).

定義4 設(shè)q∈C，δ>0，稱x0是(VP)問題的一個δq-有效解,如果:

記作AE(f,C,δq，ε).

定義5 設(shè)q∈C{0}，δ>0，稱x0是(VP)問題的一個δq-弱有效解,如果:

記作WAE(f,C,δq，ε).

注1 若δ=0,則(VP)問題的δq-有效解就退化為(C,ε)有效解;δq-弱有效解退化為(C,ε)-弱有效解.

接下來,給出δq-有效解的幾個性質(zhì)及其證明,且定理中的所有δ>0.

定理1 1)AE(f,C,δq,0)?AE(f,C,δq,ε)，?ε>0.

2)AE(f,C,δq,ε1)?AE(f,C,δq,ε2),?ε1,ε2>0,ε1<ε2.

4)設(shè)(xn)?S,(εn)?R+,y∈Rp,使得xn∈AE(f,C,δq,εn),εn→0,f(xn)→y, 則f-1(y)∩S?WAE(f,S,C,δq,0).

證明 1)設(shè)ε>0,若x∈AE(f,C,δq,0),則:

從而x∈AE(f,C,δq,ε).

2)設(shè)ε1,ε2>0,ε1<ε2,若x∈AE(f,C,δq,ε1),則由引理1的(2)知C(ε2)?C(ε1),從而有：(f(x)-δq-C(ε2))∩f(S)?(f(x)-δq-C(ε1))∩f(S)?{f(x)},故x∈AE(f,C,δq,ε).

又由εn→0和引理1的條件(2)知,存在n1>n0,使得:

又因為xn∈AE(f,C,δq,εn),則?n>n1,有f(z)=f(xn),從而取極限,有f(z)=y=f(x),因此(f(x)-δq-int(C)(0))∩f(S)=φ,故x∈WAE(f,C,δq,ε).

考慮下面標(biāo)量化問題:

其中φ：Y→R.

為了得到標(biāo)量化有效解的充分條件，給出下面單調(diào)函數(shù).

定義6[12-13]考慮φ：Y→R且y0∈Y，

1)若y0-y∈D?φ(y)≤φ(y0),則φ在y0處單調(diào).

2)y0-y∈D{0}?φ(y)<φ(y0),則φ在y0處強(qiáng)單調(diào).

3)y0-y∈intD?φ(y)<φ(y0),則φ在y0處嚴(yán)格單調(diào).

下面的定理給出了在弱的調(diào)價下,近似解的單調(diào)標(biāo)量化是向量優(yōu)化中(VP)問題的δq-有效解.

定理2 考慮α≥0，q∈C{0},設(shè)x0∈Inf(φ°f,S,α).

1)若δ>0,φ在f(x0)-δq處單調(diào),且φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)>α,則x0∈AE(f,C,ε,δq).

2)若δ>0,φ在f(x0)-δq處強(qiáng)單調(diào),且φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)≥α,則x0∈AE(f,C,ε,δq).

3)若δ>0,φ在f(x0)-δq處嚴(yán)格單調(diào),且φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)≥α,則x0∈AE(f,C,ε,δq).

證明 1)假設(shè)x0?AE(f,C,ε,δq),則存在x∈S,d∈C{0},使f(x)=f(x0)-δq-εd),由φ在f(x0)-δq處單調(diào),f(x)∈f(x0)-δq-C(ε),則φ(f(x))≤φ(f(x0)-δq),因為x0∈Inf(φ°f,S,α)，x∈S,所以有φ(f(x0))-α≤φ(f(x)).從而φ(f(x0))-α≤φ(f(x0)-δq),因此φ(f(x0))-φ(f(x0)-δq)≤α.矛盾,故x0∈AE(f,C,ε,δq).

結(jié)論2)和結(jié)論3)的證明與結(jié)論1)類似,故略.

注2 若定理2中q∈intC(ε),則x0∈WAE(f,C,ε,δq).其證明與定理2類似,故略.

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責(zé)任編輯：時 凌

Approximate Solution in Vector Optimization Problems via Nonlinear Scalar Characterization

WU Haiqin

(College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

The paper proposed a new class of (C,ε)-(weak) efficient solution basis on co-radiant set and discussed,some properties of these solutions.This paper is to study relations between the approximate solutions in vector optimization problems,defined by Kutateladze and the new (weak) effective solutions,and theδq-(weak)effective solutions′s sufficient condition is obtained by monotonous scalarization means.

approximate solution;(C,ε)-(weak) efficient solution;non-linear scalarization

2016-08-16.

國家自然科學(xué)基金項目(11301574,11271391).

吳海琴(1991-),女,碩士生,主要從事向量優(yōu)化理論的研究.

1008-8423(2016)03-0288-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.011

O224

A