非自治Kuramoto-Sivashinsky方程一致吸引子的存在性、一致有界性和收斂性

沈曉鷹, 馬巧珍

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

?

非自治Kuramoto-Sivashinsky方程一致吸引子的存在性、一致有界性和收斂性

沈曉鷹, 馬巧珍*

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 蘭州 730070)

討論了具有奇異振動外力項的Kuramoto-Sivashinsky方程

ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t)+ε-ρh(t/ε),u|t=τ=uτ

和相應(yīng)的Kuramoto-Sivashinsky方程

ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t),u|t=τ=uτ

Kuramoto-Sivashinsky方程; 一致吸引子; 一致有界性; 收斂性

令ρ∈[0,1]和ε>0,考慮如下Kuramoto-Sivashinsky方程

(1)

(2)

不失一般性,定義

u(x+2dei,t),x∈Ω,t≥0.i=1,2},

mu(x+2dei,t),x∈Ω,t≥0.i=1,2},

m=1,2.

1 預(yù)備知識

為了證明本文的主要結(jié)論,下面的概念和抽象結(jié)果是需要的,詳細內(nèi)容請看文獻[8-9].

(3)

(4)

關(guān)于φ∈H(φ0)一致.

假設(shè)1令{T(h)|h≥0}是作用在符號空間Σ上的一族算子,滿足

i) T(h)Σ=Σ,?h∈R+;

ii) 平移恒等式,

Uσ(t+h,τ+h)=UT(h)σ(t,τ),?σ∈Σ,t≥τ,τ∈R,h≥0.

引理2[9]設(shè)E是一致凸Banach空間,則滿足假設(shè)1的過程族{Uσ(t,τ)},σ∈Σ在E中有緊的一致(關(guān)于σ∈Σ)吸引子AΣ,且

AΣ=ω0,Σ(B0)=ωτ,Σ(B0),?τ∈R,

如果它滿足

i) 有有界一致(關(guān)于σ∈Σ)吸收集B0;

ii) 滿足一致(關(guān)于σ∈Σ)條件(C).

進一步,如果E是一致凸Banach空間或Hilbert空間,定理的逆也成立.

2 一致吸引子的存在性

2.1 一致吸收集

為了證明方程(1)和(2)的一致吸引子,先證明方程

(5)

一致吸引子的存在性.

u(t)∈C(Rτ;V),?tu∈C(RT;H).

(6)

證明根據(jù)標準的Galerkin方法[11]，很容易得到解的存在唯一性.

(7)

(8)

所以

‖u(t)‖2≤‖uτ‖2e-α1(t-τ)+

另外,對式(8)從t到t+1積分得

從而

‖u(t)‖‖Δu(s)‖2ds≤I1.

(9)

證明在H中用-Δu與(5)作內(nèi)積,并利用Cauchy不等式得

(10)

取α2=Cλ1-2-η>0,則上式變?yōu)?

(11)

對式(11)從s到t積分,其中,t-1≤s≤t,

‖u(t)‖2≤‖‖,

再對上式關(guān)于s從t-1到t積分得

‖‖‖.

令t1=t0+1,則當t≥t1時,

‖‖,

由式(10)得

(12)

對式(12)從t到t+1積分得

‖u(t+1)‖2-‖u(t)‖2+

因此

‖Δu(t)‖≤ρ2.

(13)

證明在H中用Δ2u與(5)作內(nèi)積,并利用Cauchy不等式得

故

(14)

對式(14)從s到t積分,其中,t-1≤s≤t,

再關(guān)于s從t到t+1積分得

取t2=t1+1,則當t≥t2時

2.2 一致吸引子

AH(f0)=ω0,H(f0)(B1)=ωτ,H(f0)(B1),

(15)

其中,B1是空間V中的有界一致(關(guān)于f∈H(f0))吸收集.

證明由定理4和引理2可知,只需證明過程族Uf(t,τ),f∈H(f0)在空間V中滿足一致(關(guān)于f∈H(f0))條件(C).

0<λ1≤λ2≤…≤λj≤…,j→∞,λj→+∞,

(16)

Aωj=λjωj,?j∈N.

設(shè)Vm=span{ω1,…,ωm}是空間V的m維子空間,Pm:V→Vm是標準正交投影.對任意的u∈D(A)可分解為:

u=Pmu+(I-Pm)uu1+u2.

(17)

在空間V中用Au2與(5)式做內(nèi)積,可得

進一步,

(18)

由引理2,當m充分大時,對任意的ε>0,

因此

‖Δu2‖2≤ε,?t≥T,f∈H(f0),

從而過程族Uf(t,τ),f∈H(f0)在空間V中滿足一致(關(guān)于f∈H(f0))條件(C).

2.3 吸引子Aε的一致有界性

(19)

的解,其中,ε∈(0,1],且滿足不等式

‖Δv(t)‖2≤Cε.

(20)

根據(jù)Gronwall引理得

證明令u是方程(1)在初值uτ∈V下的解.對?ε>0,考慮方程

(21)

類似定理6,有

‖Δv(t)‖2≤Cε1-ρ,

(22)

令w(t)=u(t)-v(t),則w(t)是滿足方程

wt+Δ2w+Δw+B(w+v,w+v)=

g(x,t),w|t=τ=uτ.

(23)

再用w與式(23)作內(nèi)積,可得

|b(w+v,v,w)|+(g(x,t),w),

估計三線性型b(w+v,v,w),

|b(w,v,w)|≤C‖w‖·‖Δw‖·‖Δv‖≤

|b(v,v,w)|≤C‖v‖·‖Δv‖·‖Δw‖≤

2C‖w‖2‖Δv‖2+2C‖v‖2‖Δv‖2+2C‖g‖2,

‖w(t)‖2≤

由u=w+v和式(22)可得

(24)

因此,過程族Uε(t,τ)有一個不依賴于ε的吸收集B*.由于Aε?B*,則定理得證.

3 一致吸引子的收斂性

為了證明定理8,首先需要比較當初始值相同時,方程(1)和(2)的解.記

uε(t)=U(t,τ)uτ,

其中,uτ屬于吸收集B*.由式(24)可得一致估計,

(25)

特別地,當ε=0時,由于uτ∈B*,則有

(26)

其中,R0=R0(ρ),因為B*的大小依賴于ρ.

定理9對?ε∈(0,1],τ∈R和?uτ∈B*,令

w(t)=uε(t)-u0(t),

(27)

其中,uε(0)=u0(0)=uτ,對任意的不依賴于ε的常數(shù)C,滿足

證明由于誤差w(t)是方程

wt+Δ2w+Δw+B(uε,uε)-B(u0,u0)=

的解.

令q(t)=w(t)-v(t),其中,v(t)是方程(21)的解,則q(t)滿足

qt+Δ2q+Δq+B(uε,uε)-B(u0,u0)=0,

q|t=τ=0,

(28)

注意到

(B(uε,uε)-B(u0,u0),q)=b(u0,v,q)+

b(q,u0,q)+b(v,u0,q)+b(q,v,q)+b(v,v,q),

所以,用q與式(28)作內(nèi)積得

2C(‖Δu0‖2+‖Δv‖2)‖q(t)‖2+

再用Δ2q與式(28)作內(nèi)積得

C(‖Δu0‖2+‖Δv‖2+

(29)

由w=q+v和式(22)可得

為了研究一致吸引子的收斂性,實際上需要定理9更一般的形式,其對應(yīng)的方程簇為:

(30)

對任意的ε∈(0,1],令

定理10如下不等式成立,

且

結(jié)合定理10,當t=0和τ=-L時,有

令L=T,結(jié)合上述兩個不等式,可得

由于uε∈Aε是任意的,則

其中,δ>0是任意的常數(shù),證畢.

[1] KURAMOTO Y. Difusion induced chaos in reaction systems[J].Progr Theoet Phys Suppl, 1978, 64:346-367.

[2] SIVASHINSKY G. On flame propagation under conditions of stoichiometry[J].SIAM J Appl Math, 1980, 64:67-82.

[3] GUO B L, SU F Q. The global attractors for the periodic initial value problem of generalized Kuramoto-Sivashinsky type equations in multi-dimensions[J].J Partial Diff Eqs, 1993, 6:217-236.

[4] GUO B L, GAO H J. Global attractor for axially symmetric Kuramoto-Sivashinsky equation in annular domains[J].J Math Study, 1996, 29:1-4.

[5] 王冠香, 劉曾榮. Kuramoto-Sivashinsky 方程的漸近吸引子[J].應(yīng)用數(shù)學學報, 2000, 23:329-336.

[6] WANG S Y, MU L G,ZHANG Y H. Global attractors of strong solution for the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation[J].Chinese Quart J Math, 2008, 23:75-82.

[8]LUSS,WUHQ,ZHONGCK.Attractorsfornon-autonomous2DNavier-Stokesequationswithnormalexternalforce[J].DiscrContDynSys, 2005, 13:701-719.

[9]MAQF,WANGSH,ZHONGCK.Necessaryandsufficientconditionsfortheexistenceofglobalattractorsforsemigroupsandapplications[J].IndianaUnivMath, 2002, 51:1541-1557.

[10]ANHACT,TOANBND.NonclassicaldiffusionequationsonRNwith singularly oscillating external forces[J].Applied Mathematics Letters, 2014, 38:20-26.

[11] BABIN A V, VISHIK M I. Attractors of Evolution Equations[M]. Amsterdam:North-Holland, 1922.

ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t)+ε-ρh(t/ε),u|t=τ=uτ

forρ∈[0,1] andε>0 and the corresponding K-S equation:

ut+Δ2u+Δu+u·u=g(x,t),u|t=τ=uτ, as ε=0.

Furthermore, the uniform (w.r.t.ε) boundedness of a class of uniform attractorsAεare verified as well as the convergence of the attractorsAεfor the first equation to the attractorA0of the second one asε→0+.

Existence,uniform boundedness and convergence of uniform attractors for the non-autonomous Kuramoto-Sivashinsky equations

SHEN Xiaoying, MA Qiaozhen

(College of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou 730070)

Kuramoto-Sivashinsky equation; uniform attractors; uniform boundedness; convergence

2015-08-23.

國家自然科學基金項目(11101334);甘肅省自然科學基金項目(1107RJZA223);甘肅省教育廳高?？蒲袠I(yè)務(wù)費項目.

1000-1190(2016)02-0168-06

O175.29

A

*通訊聯(lián)系人. E-mail: maqzh@nwnu.edu.cn.