估計Logistic模型中的參數(shù)

徐 萍

(哈爾濱遠(yuǎn)東理工學(xué)院)

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估計Logistic模型中的參數(shù)

徐 萍

(哈爾濱遠(yuǎn)東理工學(xué)院)

Logistic模型是廣義線性模型的一種，其用途廣泛，該文將利用差分法對其進(jìn)行分析，并且運(yùn)用Logistic模型解決實(shí)際問題.

Logistic模型；廣義線性模型；差分法

0 引言

Logistic曲線方程是1938年生物數(shù)學(xué)家VerhulstP F為研究人口增長過程而推導(dǎo)出的重要的方程，但由于種種原因，被長期湮沒，直到20世紀(jì)20年代才被Pearl R和Reed L T重新發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用.Logistic曲線方程不僅應(yīng)用于社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象方面，也廣泛應(yīng)用于動植物繁殖過程和生長發(fā)育等領(lǐng)域的研究.該文就Logistic模型中的參數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)實(shí)例得出參數(shù)的具體算法，給出結(jié)論.

經(jīng)典的Logistic模型[1]為

(1)

其中,k為環(huán)境最大容量，r為種群的內(nèi)稟增長率,x為種群的生長量,dx/dt為種群的變化率.并且t≥0,r>0,k>0.該文僅對二參數(shù)Logistic模型進(jìn)行研究，因此下面對兩個參數(shù)k和r分析.

1 差分法估計參數(shù)k和r

Logistic模型在現(xiàn)實(shí)生活中有很大的用處.不僅可以用來尋找某一疾病的危險因素，還可以進(jìn)行預(yù)測判別.在這里，將通過具體問題對Logistic模型進(jìn)行分析 ，來說明實(shí)際數(shù)據(jù)與所建模型是否相容.

由上述Logistic的模型(1)可得

(2)

那么將上式(1)代入，可得

當(dāng)該式為零時,解算出自變量的解為x1=0,

若取樣時間h是等距的，即xi=x0+ih(i=0,1,2,…,n)，其中x0為初始時間，則其一階向前差分公式和k階向前差分公式分別為：

Δfi=fi+1-fi(一階向前差分)

Δkfi=Δk-1(Δfi)=Δk-1fi+1-Δk-1fi(k階向前差分)

若求出一階差分和二階差分，那么就可以根據(jù)差分的最大值利用插值法進(jìn)而求出拐點(diǎn)處的最大值，從而求出參數(shù)k的值.接下來根據(jù)具體事例對上述公式和方法進(jìn)行分析驗(yàn)證.

數(shù)據(jù)選擇黑龍江省林科院動物所與哈爾濱動物園對人工育出的丹頂鶴雛鳥體重測定值，現(xiàn)對其進(jìn)行分析，根據(jù)體重值得出其一階差分和二階差分值，其具體數(shù)據(jù)見表1.

表1 丹頂鶴雛鳥體重值及其差分值

則由表1分析可得，一階差分的最大值為雛鳥第40天和第50天的體重的差分值得出的，用Δx5表示，則Δx5=1319.9，那么對應(yīng)此一階差分的值，其二階差分Δ2x4=138.2>0,Δ2x5=-171<0，因此需要用到Newton向前差分公式.

對于只有兩個節(jié)點(diǎn)x4,x5的函數(shù)，因?yàn)槠渥畲笾迭c(diǎn)在期間，因此令xm=x4+sh，那么向前差分公式為：

N(x)=f(x4)+sΔy

則得到因變量的最大值為

那么

k=2xm=6584.9>max(xi)=5578.8.

因此k足夠大，滿足與丹頂鶴雛鳥體重生長實(shí)測數(shù)據(jù)的相容性條件.

下面對內(nèi)稟增長率r進(jìn)行估計分析，由于x的對數(shù)函數(shù)lnx對t的一階微分[5]為

那么將式(1)代入，則上述方程變形得到：

(3)

則求參數(shù)r的問題就轉(zhuǎn)化為求方程(3)的最小二乘解的問題，可以用向前差分法近似求解，具體過程為：

設(shè)(ti,xi)(i=0,1,2,…,M)為方程(3)的M+1對實(shí)測數(shù)據(jù)，則t=ti處一階導(dǎo)數(shù)可以用前差商[6]近似，則有

由于k值的取得上面已經(jīng)給出具體算法，M為實(shí)測數(shù)據(jù)的數(shù)量值，因此，只要求出使得該式取得最小值時的r值，便可得出Logistic模型的具體公式.模型是針對實(shí)際問題最重要的數(shù)學(xué)手段,但在現(xiàn)實(shí)生活中,存在很多因素是不可避免的,例如在logistic模型中的環(huán)境最大容量k，它并不能消除人為因素的影響.上例中，實(shí)際數(shù)據(jù)能與所建模型相容是最希望的.為了避免不相容的情況發(fā)生，logistic模型成為檢驗(yàn)這類問題的很好的手段.

2 討論

該文給出了Logistic模型的最簡單形式，并且通過差分法和差分公式給出了常數(shù)k的求法.利用黑龍江林科院動物所與哈爾濱動物園對人工育出的丹頂鶴雛鳥體重分別在第1、10、20、30、40、50、60、70d的測定值進(jìn)行差分計算，通過一階差分和二階差分對該實(shí)例進(jìn)行計算，得出環(huán)境最大容量的值以及種群的內(nèi)稟增長率的計算公式，從而得出了針對該數(shù)據(jù)的Logistic模型.實(shí)際生活中，由于Logistic模型不僅可以尋找危險因素，預(yù)測結(jié)果，還可以判別事件發(fā)生的概率，該文在計算參數(shù)k的時候得出了具體值并且滿足與實(shí)測數(shù)據(jù)的相容性條件，因此可取.

[1] 陳元千,胡建國,張棟杰.Logistic模型的推倒及自回歸方法[J].新疆石油地質(zhì),1991(2).

[2] 殷祚云.Logistic曲線擬合方法研究[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2002(1).

[3] 李榮華.廣義差分法及其應(yīng)用[J].吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報,1995(1):26.

[4] 丁恒飛.分?jǐn)?shù)階偏微分方程的有限差分方法[J].上海大學(xué),2014(4):1.

[5] 鄭祖庥.分?jǐn)?shù)微分方程的發(fā)展和應(yīng)用[J].徐州師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,6:15.

[6] 楊士俊,王興華.Hermite差值多項(xiàng)式的差商表示及其應(yīng)用[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯:中文版,2006(3):30.Estimate the Parameters in the Logistic Model

(責(zé)任編輯：李家云)

Xu Ping

(Harbin Far East Institute of Technology)

Logistic Model is one of the generalized linear model,which owns wide use,The finite difference method should be used to analyze, and the logistic model is used to solve the practical problems.

Logistic Model;Generalized Linear Model;Finite Difference Model

2015-12-30

O212

A

1000-5617(2016)02-0073-02