Reich-Takahashi迭代序列的收斂性

劉 輝

(黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院)

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Reich-Takahashi迭代序列的收斂性

劉 輝

(黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院)

研究了在具有一致Gteaux范數(shù)的Banach空間框架下， Reich-Takahashi迭代序列在一致L-Lipschitz非擴(kuò)張映射T的不動(dòng)點(diǎn)的收斂性問(wèn)題，其中壓縮映射Sn(z)=(1-dn)x+dnTnz的不動(dòng)點(diǎn)序列{zn}強(qiáng)收斂于T的這一不動(dòng)點(diǎn).

Banach空間；Reich-Takahishi迭代序列； Gteaux可微

0 引言

定義1 設(shè)D是E非空閉凸子集，x0∈D是一給定的點(diǎn)，T:D→D是一映射

(1)如果T是一致L-Lipschitz非擴(kuò)張映射，則由下式定義的序列{xn}：

(1)

及由下式定義的序列{xn}

(2)

均稱(chēng)為偽Reich-Takahashi迭代序列，其中{αn},{βn},{δn},{σn}均是[0,1]中的序列且αn+δn=1，βn+σn=1.

(2)如果T是非擴(kuò)張映射，則序列{xn}：

(3)

及由下式定義的序列{xn}：

(4)

都稱(chēng)為Reich-Takahashi迭代序列，其中{αn},{βn},{δn},{σn}均是[0,1]中的序列且αn+δn=1，βn+σn=1.

引理1[3]假設(shè)E是一實(shí)Banach空間，J:E→2E*是對(duì)偶映射，則對(duì)x,y∈E,有如下的結(jié)論成立：

(1) ‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x+y)〉,

j(x+y)∈J(x+y);

(2) ‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,j(x)〉,

j(x)∈J(x).

引理2[4]令{an},{bn},{cn}是三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)序列，且滿(mǎn)足以下條件：若存在自然數(shù)n0滿(mǎn)足

an+1≤(1-λn)an+bn+cn,?n≥n0

引理3[5]設(shè){an},{bn}是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)序列，且設(shè)存在自然數(shù)n0滿(mǎn)足

an+1≤(1-λn)an+bn,?n≥n0

an→0(n→∞)

1 Reich-Takahashi迭代序列的收斂性

設(shè)F(T)非空，再設(shè){αn},{βn},{δn},{σn}是[0,1]中給定的序列，αn+δn=1,βn+σn=1,且滿(mǎn)足條件：

對(duì)給定的x∈D及n≥1，定義壓縮映射Sn:D→D

Sn(z)=(1-dn)x+dnTnz,

其中

(5)

由Banach壓縮原理，設(shè)zn是Sn的唯一的不動(dòng)點(diǎn)，于是zn滿(mǎn)足：

zn=Sn(zn)=(1-dn)x+dnTnzn,n≥1.

(6)

如果下面條件滿(mǎn)足：

(1){zn}強(qiáng)收斂于某一z∈F(T);

則由(1)式的序列{xn}強(qiáng)收斂于z∈F(T).

證明 由條件(1)，{yn}是有界的，又由條件(2)，{zn}強(qiáng)收斂于某一z∈F(T)，于是由(1)式有

αn‖x-z‖+δnL2‖xn-z‖≤M1.

(7)

其中

另外，因?yàn)?/p>

‖Tnxn-z‖≤L‖xn-z‖,?n≥0

(8)

(9)

由(7)，(8)，(9)知{xn},{Tnxn}，{Tnyn}均為有界列.另由(1)式及T的漸近非擴(kuò)張性有：

‖yn-z‖ =‖βn(xn-z)+

σnL‖xn-z‖≤L‖xn-z‖

(10)

另由命題1知，正規(guī)對(duì)偶映射J:E→2E*在E的每一有界集上由E的范數(shù)拓?fù)涞紼*上的弱*拓?fù)涫且恢逻B續(xù)的.故由(1)式及引理1，有

‖xn+1-z‖2=‖αn(x-z)+

(11)

現(xiàn)在考察(11)式右端的第一項(xiàng)，由(10)式有

δn‖xn-z‖2+δn(L4-1)‖xn-z‖2≤δn‖xn-z‖2+(L4-1)‖xn-z‖2≤

(1-αn)‖xn-z‖2+M2

(12)

其中

現(xiàn)在考察(11)式右端的第二項(xiàng)，由(6)式有

xn-zm=xn-(1-dm)x-dmTmzm=(1-dm)(xn-x)+dm(xn-Tmzm),?n≥0,?m≥1

(13)

由引理1及(13)式有

‖xn-zm‖2=‖(1-dm)(xn-x)+

2(1-dm)‖xn-zm‖2+2(1-dm)〈zm-x,

J(xn-zm)〉

(14)

因{xn},{zm}有界，記

(15)

對(duì)(14)式化簡(jiǎn)后得

(16)

其中

由條件(3)及(15)知當(dāng)n→∞時(shí)，關(guān)于m∈N一致地有

(17)

于是由(16)，(17)及定理1的條件(4)有

又因dm→1(m→∞)，從而有

(18)

另由(15)知‖zm-xn‖≤M,‖xn-z‖≤M,?n≥0,m≥1.現(xiàn)取r≥2M，并記Br={x∈E:‖x‖≤r}.由定理的假定E是一實(shí)Banach空間，其范數(shù)是一致Gteaux可微的，故由命題1知，對(duì)偶映射J:E→2E*是單值的，而且在閉球Br上是由E 的范數(shù)拓?fù)涞紼*的弱*拓?fù)湟恢逻B續(xù)的.于是對(duì)任給的ε>0，存在δ(ε)>0，使得對(duì)任意的x,y∈Br，當(dāng)‖x-y‖<δ時(shí)，對(duì)一切u∈E一致地有

|〈u,J(x)-J(y)〉|<ε

(19)

因zm→z，故存在正整數(shù)N0使得‖zm-z‖<δ,?m>N0.另由(13)知，對(duì)任意的n≥0及任意的m≥1,xn-z∈Br,xn-zm∈Br.因‖(zm-xn)-(z-xn)‖=‖zm-z‖<δ,?m>N0,于是由(17)對(duì)一切u∈E一致地有

|〈u,J(zm-xn)-J(z-xn)〉|〈ε,?m〉N0,n≥0

(20)

于是當(dāng)m>N0,n≥0時(shí)，有

〈x-z,J(xn-z)〉=〈x-z,J(xn-zm)-J(xn-zm)〉+〈x-zm+zm-z,J(xn-zm)〉≤

|〈x-z,J(xn-z)-J(xn-zm)〉|+〈x-zm,J(xn-zm)〉+〈zm-z,J(xn-zm)〉=ε+〈x-zm,J(xn-zm)〉+‖zm-z‖·‖xn-zm‖≤ε+

〈x-zm,J(xn-zm)〉+‖zm-z‖M.

于是有：

(21)

在(21)中再讓m→∞取上極限，并注意到(15)，即得：

由于ε>0的任意性，有

(22)

令ωn=max{〈x-z,J(z-xn)〉,0}，由(22)易知0≤ωn，而且ωn→0.

把(12)和(22)代入(11)，并簡(jiǎn)化之得

‖xn+1-z‖2=(1-αn)‖xn-z‖2+

2αnωn+M2

在引理3中取an=‖xn-z‖2,λn=αn,

bn=2αnωn,cn=M2，易知引理2中的所有條件均被滿(mǎn)足，從而得知xn→z(n→∞).

結(jié)論證畢.

在定理1中取βn=1,?n≥0則可得下面的結(jié)果.

D→D是一致L-Lipschitz非擴(kuò)張映射.

設(shè)F(T)非空，再設(shè){αn},{βn},{δn},{σn}是[0,1]中的序列，αn+δn=1,βn+σn=1,且滿(mǎn)足下面的條件：

對(duì)給定的x∈D及對(duì)n≥1，定義壓縮映射Sn:

D→D如下

Sn(z)=(1-dn)x+dnTnz,

其中

(23)

設(shè)zn是Sn的唯一不動(dòng)點(diǎn)，即zn滿(mǎn)足：

zn=Sn(zn)=(1-dn)x+dnTnzn,n≥1

(24)

如果下面的條件滿(mǎn)足：

(1){zn}強(qiáng)收斂于某一z∈F(T);

則由定理2迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于z∈F(T).

定義壓縮映射St:D→D如下

St(z)=(1-t)x+tT(z),z∈D

(25)

其中0

證明 因T是非擴(kuò)張的，故T是具常數(shù)列{1}的漸近非擴(kuò)張映射，在(11)到(18)及(21)式中取L=1,t→1-,zm=zt,Tmzm=Tzt，仿效定理1的證明，類(lèi)似可證定理3的結(jié)論成立，證畢.

2 結(jié)束語(yǔ)

[1] Tian Y X, Chang X X, Huang J L.On the approximation problem of common fixed points for a finite-family of non-self asymptotically quasi-nonexpansive-typemappings in Banach spaces. Computers & Mathematics with Applications, 2007，53:1847-1853.

[2] MOUDAFI A. Viscosity Approximation Methods for Fixed Points Problems[J]. J Math Anal Appl, 2000, 241(1): 46-55.

[3] Chang S S.Some problems and results in the study of nonlinear analysisi[J].Nonlinear Anal TMA,1997,30(7):4197-4208.

[4] Liu L S.Ishikawa and Mann iterative process with errors for expansive mapping in Banach spces[J].J Math Anal Appl,1995,194:114-125.

[5] Deimling K.Nonlinear Functional Analysis [M].Beilin, Springer Verlag,1985.

[6] 張石生． Banach空間中漸近非擴(kuò)張映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代逼近題[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，24(2)：236-241.

[7] 楊莉，張石生．漸近非擴(kuò)張映象具誤差的迭代序列的收斂性[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36(12)：261-268.

(責(zé)任編輯：于達(dá))

Convergence of Reich-Takahashi Iterative Sequence

Liu Hui

(Heilongjiang University of Finance and Economics)

The proof of the convergence of Reich-Takahashi iterative sequence to the fixed point of the uniformly L-Lipschitz non-expansive mappingsTis given in this paper, which the mappingsSn(z)=(1-dn)x+dnTnzconverge to.

Banach space；Reich-Takahashi iterative sequence；Gteaux Differentiable

2016-01-23

O177

A

1000-5617(2016)02-0069-04