基于分段三次函數(shù)的最大熵方法的收斂性

王 潔，王 濤

(哈爾濱師范大學(xué))

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基于分段三次函數(shù)的最大熵方法的收斂性

王 潔，王 濤

(哈爾濱師范大學(xué))

提出了分段三次函數(shù)最大熵方法，通過求解Frobenius-Perron算子方程不動點給出了穩(wěn)態(tài)密度的估計，證明了方法的收斂性并說明了在一定條件下方法的收斂速度可以達到O(n-4).

最大熵；分段三次函數(shù)；密度函數(shù)

0 引言

最大熵方法是一種數(shù)值計算方法，由Jayne在1957年首次提出，用來解決有限齊次的Hausdorff矩問題，并給出了不變映射S:[0,1]→[0,1]的穩(wěn)態(tài)密度. 這種方法的有效性和簡便性受到越來越多的學(xué)者關(guān)注，并用來解決各領(lǐng)域的問題[1-3].

原始的最大熵方法是用以{1,x,x2,…,xn}為基的多項式進行運算求解，在方法的運算過程中需要求解非線性方程，但有時用這種方法計算矩會產(chǎn)生很大的條件數(shù)，從而引起函數(shù)值的相對誤差較大，因此導(dǎo)致了最大熵方法應(yīng)用上的困難.為了克服這些困難，一些學(xué)者提出了改進的最大熵方法，如利用正交多項式基代替原來的多項式基等[4]. Ding在文獻[5]中提出了一種分段常數(shù)最大熵方法，將非線性方程的求解轉(zhuǎn)換為線性方程的求解，取得了較好的效果.為了增加算法的收斂速度，2011年Ding又提出應(yīng)用分段線性函數(shù)來估計穩(wěn)態(tài)密度[6]，這種方法有效，且收斂速度達到了O(n-2).2015年他又進一步提出分段二次函數(shù)最大熵方法[7]，該方法的收斂速度是O(n-3).

該文提出了基于分段三次函數(shù)的最大熵方法，通過第二節(jié)的計算與證明可以得出，在一定的條件下提出的方法收斂的速度更快，可以達到O(n-4).

1 預(yù)備知識

在最大熵方法中，非線性函數(shù)H是一個Boltzmann熵，定義為：

它滿足的約束條件為

(1)

其中D≡{f ≥0:f ∈L1(0,1),‖f‖1=1}是所有密度函數(shù)組成的集合，{g1,g2,…,gk}?L∞(0,1)，m1,m2，…，mk是給定的k個常量. 最大熵方法的核心就是解決如下的最大熵問題,

1≤i≤r}

(2)

Lasota和Mackey在文獻[8]中首先給出了滿足約束條件(1)的最大熵問題(2)的解為

2 分段三次函數(shù)最大熵方法的收斂性

令S:[0,1]→[0,1]是一個非線性變換，使得相應(yīng)的Frobenius-Perron算子的不動點方程Psf=f有解f*.由文獻[6]知道，當f*滿足一定的光滑性條件時，密度函數(shù)的最大熵估計依范數(shù)收斂于f*.

Δn={φ:φ∈C0[0,1],φ|Ii∈P3(Ii),i=1,2,…,n}

其中C0[0,1]是定義在[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，P3(Ii)是定義在Ii上的三次函數(shù)空間.定義

集合{φ0,φ1,…,φ2n}是2n+1維向量，它是Δn空間的一組基，滿足

將分段三次函數(shù)φi代入上述最大熵問題(2)，由文獻[7]可知最大熵問題的解為

構(gòu)造基函數(shù)φ0,φ1,…,φn如下：

定理1 令g∈C4[0,1]，設(shè)

p(x)=aφ2j(x)+bφ2j+2(x)+cφ2j+2(x)

其中x∈[xj,xj+1]?[0,1]，j=0,1,…,n-1，且對?x,y∈[0,1]，有g(shù)(x)-g(y)≤(x-y)4，那么g(x)-p(x)=O(h4).

證明 由于

將g(x)在x=jh處用泰勒公式展開后有

其中ξ∈(jh,x)，則

(3)

由于g(x)-g(y)≤(x-y)4，可知g(x)-p(x)=O(h4)，定理證畢.

定理2 令g∈C4[0,1],φ0,φ1,…,φn是分段三次函數(shù)的基，那么

證明 在每一個子區(qū)間[xj,xj+1],j=0,1,2,…,n-1上應(yīng)用定理1即可完成證明.

證明 仿照文獻[7]定理4.5的證明即可得到定理3.

[1] Mead LR, Papanicolaou N. Maximum entropy in the problem of moments [J]. J Math Phys, 1984(25): 2404-2417.

[2] Ding J. A maximum entropy method for solving Frobenius-Perron operator equations [J]. Appl Math Comput, 1998(93): 155-168.

[3] Ding J, Mead L. Maximum entropy approximation for Lyapunov exponents of chaotic maps [J]. J Math Phys 2002(43): 2518-2522.

[4] Ding J, Rhee N. A maximum entropy method based on orthogonal polynomials for Frobenius-Perron operators [J]. Adv Appl Math Mech, 2011, 3(2): 204-218.

[5] Ding J, Rhee NH. Birkhoff’s ergodic theorem and the piecewise-constant maximum entropy method for Frobenius-Perron operators [J]. Int J Comput Math, 2012(89):1083-1091.

[6] Ding J, Jin C, Rhee NH. A maximum entropy method based on piecewise linear functions for the recovery of a stationary density of interval mappings [J]. J Stat Phys, 2011(145): 1620-1639.

[7] Upadhyay T, Ding J, Rhee NH. A piecewise quadratic maximum entropy method for the statistical study of chaos [J]. J. Math Anal Appl, 2015(421): 1487-1501.

[8] Lasota A, Mackey M. Chaos, Fractals and Noises [M]. New York: Spring-Verlag, 1994.

(責任編輯：季春陽)

Convergence of A Maximum Entropy Method Based on Piecewise Cubic Function

Wang Jie, Wang Tao

(Harbin Normal University)

A maximum entropy method based on piecewise cubic function is proposed in this paper. By solving Frobenius-Perronoperator equation, the stationary density estimation is given, which is the fixed point of the operator. Then the convergence of the given method is proved, with the rate O(n-4).

Maximum entropy; Piecewise cubic function; Density function

2016-01-15

O211

A

1000-5617(2016)02-0040-03