素特征域上gl(0,3)在廣義Witt李超代數(shù)中的中心化子*

田麗媛, 侯 瑩, 鄭克禮

(東北林業(yè)大學(xué))

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素特征域上gl(0,3)在廣義Witt李超代數(shù)中的中心化子*

田麗媛, 侯 瑩, 鄭克禮**

(東北林業(yè)大學(xué))

主要研究素特征域上gl(0,3)在廣義Witt李超代數(shù)W中的中心化子，其中g(shù)l(0,3)是一般線性李超代數(shù)的一個(gè)子代數(shù), 并且同構(gòu)于W的一個(gè)子代數(shù). 計(jì)算從gl(0,3)到廣義Witt型李超代數(shù)的每個(gè)子模的中心化子. 并利用解線性方程組的方法確定gl(0,3)在廣義Witt李超代數(shù)中的中心化子.

中心化子; 子代數(shù); 零維上同調(diào)群; 線性方程組

0 引言

李超代數(shù)最早起源于理論物理中超對(duì)稱現(xiàn)象的研究. 作為超對(duì)稱的數(shù)學(xué)模型, 李超代數(shù)在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中多學(xué)科都有及其重要的應(yīng)用[1]. 對(duì)于非模李超代數(shù)的研究已經(jīng)有了很多深入的結(jié)論[2]. 而模李超代數(shù)正處在發(fā)展階段, 還有許多問題需要解決[3]，比如Cartan型單模李代數(shù)的分類問題, 這方面的研究工作對(duì)進(jìn)一步發(fā)展和完善這一理論尤為重要. 中心化子的概念起源于群結(jié)構(gòu)的研究[4]. 中心化子不僅僅是一個(gè)子集, 還是一個(gè)子代數(shù). 作為李(超)群的線性化對(duì)象, 李(超)代數(shù)自然也存在著中心化子[2,5]. 由于對(duì)于伴隨表示一個(gè)李(超)代數(shù)可以做為其子代數(shù)的自然模, 則中心化子可以等價(jià)的看作零維上同調(diào)群. 近年來Cartan型模李超代數(shù)低維上同調(diào)群(即內(nèi)外導(dǎo)子)被大量的研究(參見文獻(xiàn)[6]及其參考文獻(xiàn)). 文獻(xiàn)[7]對(duì)系數(shù)在Witt上的單模李超代數(shù)gl2|1的低維上同調(diào)進(jìn)行了深入研究, 給出了解決此類問題的同調(diào)方法. 因?yàn)榫€性李超代數(shù)的低維上同調(diào)群對(duì)于李超代數(shù)的分類具有重大意義, 所以這也是該文研究素特征域上一類一般線性李代數(shù)在李超代數(shù)模上的中心化子的主要?jiǎng)訖C(jī).

該文在素特征域上分別計(jì)算了H0(gl(0,3),w)與H0(gl(0,3),ω), 借助已有結(jié)論與解方程組的方法表示出系數(shù)在廣義Witt李超代數(shù)上的gl(0,3)的零維上同調(diào), 即得到gl(0,3)在廣義Witt李超代數(shù)中的中心化子結(jié)構(gòu).

1 素特征域上的CW(gl(0,3))

[8], 廣義Witt李超代數(shù)W有如下結(jié)構(gòu)：

W=w⊕ω,

顯然{eij|i,j=1,2,3}是gl(0,3)的標(biāo)準(zhǔn)基, 其中eij是(i,j)位置為1其他位置為0的矩陣. 由于gl(0,3)是李代數(shù)， 可以證明gl(0,3)同構(gòu)于W的子代數(shù)〈ξidj|i,j=1,2,3〉. 則W可通過伴隨表示看作gl(0,3)-模. 因此存在系數(shù)在W上的gl(0,3)的n-維上同調(diào)群.

由于H0(gl(0,3),W)=H0(gl(0,3),w)⊕H0(gl(0,3),w). 為了決定素特征域上的CW(gl(0,3)), 只需要對(duì)所有的i=0,1,…,n考慮零維上同調(diào)H0(gl(0,3),wi)與H0(gl(0,3),wi)即可. 首先, 將考慮零維上同調(diào)群H0(gl(0,3),w).

命題1 H0(gl(0,3),w0)=〈x(α)Dk|k∈Y0〉

證明 由定義有w0=〈X(α)Dk|k∈Y0〉對(duì)任意的y∈gl(0,3)有[y,x(α)Dk]=0, 則

H0(gl(0,3),w0)=w0=〈x(α)Dk|k∈Y0〉

命題2 H0(gl(0,3),w1)=〈x(α)ξiDk|i∈Y1{1,2,3},k∈Y0〉.

證明 由定義有w1=〈x(α)ξiDk|i∈Y1,

k∈Y0〉. 設(shè)存在

其中cik∈F, 滿足[gl(0,3),a]=0. 設(shè)s=1,2,3; t=1,2,3,則

已知Dk是線性無關(guān)的, 所以ctk=0(t=1,2,3).

這意味著對(duì)所有的y∈gl(0,3)i∈Y1{1,2,3}與k∈Y0有[y,x(α)ξiDk]=0.

命題3 H0(gl(0,3),w2)=〈x(α)ξiξjDk|i,j∈Y1{1,2,3},k∈Y0〉.

證明 由定義有w2=〈x(α)ξiξjDk|i,j∈Y1且i

其中cijk∈F, 滿足[gl(0,3),a]=0. 設(shè)s=1,2,3;t=1,2,3, 則

已知Dk是線性無關(guān)的, 得

c1jk=0(j∈Y1{1})

c2jk=0(j∈Y1{1,2})

c3jk=0(j∈Y1{1,2,3})

這意味著對(duì)所有的y∈gl(0,3),i∈Y1{1,2,3}與k∈Y0有[y,x(α)ξiξjDk]=0.

推論1 H0(gl(0,3),wi)=

〈x(α)ξu-<1>-<2>-<3>Dk||u|=i+3,k∈Y0,0≤i≤n-3〉.

命題4 H0(gl(0,3),wn-2)=0.

證明 由文獻(xiàn)[8]已知H0(gl(0,2),wn-2)=〈x(α)ξE-<1>-<2>Dk〉, 顯然H0(gl(0,3),wn-2)是H0(gl(0,2),wn-2)的子集. 設(shè)存在

則H0(gl(0,3),wn-2)=0.

命題5 H0(gl(0,3),wn-1)=H0(gl(0,3),wn)=0.

定理1 H0(gl(0,3),w)=

其次, 對(duì)于所有i=0,1,…,n, 考慮零維上同調(diào)H0(gl(0,3),ωi).

命題6 H0(gl(0,3),ω0)=〈x(α)dl|l∈Y1{1,2,3}〉.

-csx(α)dt=0

則cs=0 (s=1,2,3).

命題7 H0(gl(0,3),ω1)=〈x(α)ξidl|i,l∈Y1{1,2,3}>⊕〈x(α)(ξ1d1+ξ2d2+ξ3d3)〉.

則ctl=cis=0(t,s=1,2,3), 但c11=c22=c33.

因此H0(gl(0,3),ω1)=〈x(α)ξidl|i,l∈Y1{1,2,3}〉⊕〈x(α)(ξ1d1+ξ2d2+ξ3d3)〉.

命題8 以下命題成立： .

證明 由定義有ω2=〈x(α)ξiξjdl|i,j,l∈Y1〉對(duì)任意的a∈ω1有

設(shè)s=1,2,3;t=1,2,3,則

推論2 以下結(jié)論成立：

H0(gl(0,3),ωi)=〈x(α)ξu-<1>-<2>-<3>dl||u|=i+3,l∈Y1{1,2,3}〉⊕

其中1≤i≤n-3.

命題9 H0(gl(0,3),ωn-2)=

x(α)ξE-<2>-<3>d1+x(α)ξE-<1>-<3>d2+

x(α)ξE-<1>-<3>d3.

證明 顯然地,ωn-2=〈x(α)ξE--dl|i,j,l∈Y1|〉, 以下通過分別考慮兩種情形來完成此命題的證明.

(i)如果i,j,l=1,2,3. 則

設(shè)存在

設(shè)s=1,2,3; t=1,2,3, 令[ξsdt,a]=0,則c1=c2=c4=c6=c8=c9=0, c3=c5=c7即可.

因此有H0(gl(0,3),ωn-2)=

x(α)ξE-<2>-<3>d1+c5x(α)ξE-<1>-<3>d2+

x(α)ξE-<1>-<2>d3.

(ii) i,j,l≠1,2,3, 則易得H0(gl(0,3),ωn-2)為零.

綜上所述, 結(jié)論得證.

命題10 H0(gl(0,3),ωn-1)=0

證明 已知H0(gl(0,2),ωn-1)=x(α)ξE-<1>d2+x(α)ξE-<2>d1, 顯然H0(gl(0,3),ωn-1)是H0(gl(0,2),ωn-1)子集, 又有

[ξ1d3,x(α)ξE-<1>d2+x(α)ξE-<2>d1]≠0.

則H0(gl(0,3),ωn-1)=0.

命題11 H0(gl(0,3),ωn)=0.

定理2 以下結(jié)論成立：

最終,由定理1與定理2 得以下定理.

定理3 以下結(jié)論成立：

參 考 文 獻(xiàn)

[1] Fayet P, Ferrara S. Supersymmetry [J], Phys Rep,1977,32:5:249-334.

[2] Scheunert M. Theory of Lie superalgebras. An introduction [M]. Springer-Verlay, 1979.

[3] 張永正, 劉文德. 模李超代數(shù) [M].科學(xué)出版社, 2004.

[4] Jacobson N. Basic algebra I (2 ed.) [M], Dover Publications, 2009.

[5] Jacobson N. Lie algebras [M]. Interscience Publshers, New York, 1962.

[6] Bai W. and Liu W D. Superderivations for modular graded Lie superalgebras of Cartan type [J]. Algebr. Represent. Theor, 2014, 17: 69-86.

[7] 孫麗萍, 遠(yuǎn)繼霞, 劉文德. 李超代數(shù)gl2|1到Witt 超代數(shù)的低維上同調(diào) [J]. 數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí), 2013, 43: 239-243.

[8] 鄭克禮. 李超代數(shù)的若干結(jié)構(gòu)與表示[D]. 博士學(xué)位論文：東北師范大學(xué), 2014.The Centralizer of gl(0, 3) in the Generalized Witt Lie Superalgebra Over Fields of Prime Characteristic

(責(zé)任編輯：于達(dá))

Tian Liyuan, Hou Ying, Zheng Keli

(Northeast Forestry University)

In this paper, the centralizer ofgl(0,3) in the generalized Witt Lie superalgebrasWover fields of prime characteristic is studied, wheregl(0,3) is a subalgebra of the general linear Lie superalgebra, and it is isomorphic to a subalgebra ofW. The centralizer ofgl(0,3) in each submodule of the generalized Witt Lie superalgebras is calculated. Using the method of solving system of linear equations, the centralizer of thegl(0,3) in generalized Witt Lie superalgebras is determined.

Centralizer; Lie superalgebra; Zero cohomology group; System of linear equations

2016-02-24

*黑龍江省東北林業(yè)大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目(1022520152620);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(2572015BX04);國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11171055, 11471090)

**通訊作者: zhengkl@nefu.edu.cn

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1000-5617(2016)02-0005-03