一種求解Bose-Hubbard模型的簡單方法

張丹偉

(1.華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州510006； 2.廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州510006)

?

一種求解Bose-Hubbard模型的簡單方法

張丹偉1，2

(1.華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州510006； 2.廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州510006)

針對描述晶格中多體相互作用玻色子體系的Bose-Hubbard模型，首先計(jì)算相互作用能與跳躍能比值趨于無窮大和趨于零兩種極限的基態(tài)，分別得到了莫特絕緣態(tài)和超流態(tài)兩個(gè)量子相。其次利用平均場近似引入超流序參量，通過二階微擾解析計(jì)算基態(tài)能量，從而得到體系從超流態(tài)到絕緣態(tài)的量子相變的邊界方程。最后通過數(shù)值軟件求解邊界方程得到Bose-Hubbard模型的相圖。該求解Bose-Hubbard模型的平均場方法不僅能夠得到完整相圖，而且整個(gè)過程物理圖像清晰、簡潔明了便于理解。

Bose-Hubbard模型；超流態(tài)；莫特絕緣態(tài)；平均場近似；相圖

引言

在凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，Hubbard于1963年提出了研究窄帶中電子強(qiáng)關(guān)聯(lián)效應(yīng)的多體相互作用模型[1]，被稱為Hubbard或Fermi-Hubbard模型。該模型成功解釋了電子材料中電子的關(guān)聯(lián)效應(yīng)可以導(dǎo)致金屬態(tài)到莫特絕緣態(tài)的量子相變，因此在理論和實(shí)驗(yàn)上都受到廣泛關(guān)注和研究[2-11]。Fisher等人提出Bose-Hubbard模型[12]，用于研究多體相互作用玻色子體系的類似問題。理論上發(fā)現(xiàn)，對于周期晶格中具有短程排斥相互作用的玻色子體系，其晶格間跳躍能量與相互作用強(qiáng)度比值的變化會導(dǎo)致體系在超流態(tài)和莫特絕緣態(tài)之間發(fā)生量子相變。由于在研究玻色超流和量子相變等問題具有重要意義，Bose-Hubbard模型一直受到凝聚態(tài)物理理論和實(shí)驗(yàn)研究人員的廣泛關(guān)注[13-21]。在求解Bose-Hubbard模型方面，主要有基于格林函數(shù)和量子場論等解析方法[13-17]，以及基于量子蒙特卡羅和密度矩陣重整化群等數(shù)值方法[18-21]。然而這些求解方法都比較復(fù)雜，不容易對Bose-Hubbard模型及其物理圖像形成清晰的理解。

本文提出一種基于平均場近似求解Bose-Hubbard模型的簡單方法。對于晶格中多體相互作用玻色子體系，首先計(jì)算相互作用能與跳躍能比值趨于無窮大和趨于零兩種極限的基態(tài)，分別得到了莫特絕緣態(tài)和超流態(tài)兩個(gè)量子相。其次，利用平均場近似，引入描述超流態(tài)的序參量，通過二階微擾解析計(jì)算基態(tài)能量，從而得到體系從超流態(tài)到絕緣態(tài)的量子相變的邊界條件方程。最后，通過數(shù)值軟件求解邊界方程得到Bose-Hubbard模型的相圖。該求解Bose-Hubbard模型的簡單方法不僅能夠得到完整相圖，而且整個(gè)過程物理圖像清晰、簡潔明了便于理解。

1Bose-Hubbard模型的基態(tài)

描述周期晶格中多體相互作用玻色子體系的Bose-Hubbard模型的哈密頓量為[12]：

(1)

(2)

首先考慮相互作用很大的極限，即U/J→∞，此時(shí)可以只考慮相互作用項(xiàng)：

(3)

在粒子數(shù)表象中，可以寫出相應(yīng)的本征態(tài)為：

(4)

其中，M為格點(diǎn)總數(shù)。這個(gè)基態(tài)表明每個(gè)粒子都局域于各自的格子中，對應(yīng)體系處于莫特絕緣態(tài)。對產(chǎn)生和湮滅算符做傅里葉變換，即

(5)

可以得到動量空間粒子數(shù)的期望值

(6)

(7)

考慮U/J→0情況，此時(shí)可以只考慮晶格間的跳躍，即

(8)

同樣通過傅里葉變換可得

(9)

進(jìn)一步化簡可以得到

(10)

(11)

假如開始時(shí)U/J很小，該Bose-Hubbard體系的基態(tài)為超流態(tài)，隨著U/J逐漸增大到某一個(gè)臨界值時(shí)，基態(tài)是莫特絕緣態(tài)，則體系出現(xiàn)了從超流到莫特絕緣態(tài)的量子相變。那么關(guān)鍵問題就是如何求解這個(gè)量子相變的邊界。利用平均場近似方法簡潔有效地計(jì)算出相變邊界方程以及整個(gè)相圖。

2平均場方法求解相變邊界

(12)

將(12)式代入到方程(1)中，可以得到平均場近似下的Bose-Hubbard模型的簡化哈密頓量：

(13)

其中，Z=2d為配位數(shù)。平均場近似下的基態(tài)為：

(14)

那么描述每個(gè)格點(diǎn)中粒子的哈密頓量為：

(15)

利用二階微擾求體系的本征能量。把哈密頓量重新寫為：

H=H(0)+ψV

(16)

(17)

(18)

另外，可算得二階近似的本征能量為：

(19)

因此，體系的基態(tài)能量可記為：

Eg(ψ)=a0+a2ψ2+O(ψ4)

(20)

其中，零階和二階能量泛函為：

為了使體系能量更低，即min{Eg(ψ)}，可以得到：

(1)當(dāng)a2>0時(shí)ψ=0，此時(shí)基態(tài)為莫特絕緣態(tài)。

(2)當(dāng)a2<0時(shí)ψ≠0，說明a2=0是超流態(tài)和絕緣態(tài)的邊界條件。由a2=0可得到

(21)

進(jìn)一步計(jì)算得到邊界條件為：

(22)

根據(jù)邊界條件方程(22)，利用數(shù)學(xué)軟件Matlab求解該方程。編寫的Matlab程序語言如下：

clear all;

g=1;

y=0:0.01:1;

x=(g-y).*(y-g+1)./(g*(g-y)+(g+1)*(y-g+1));

plot(x,y);

hold on;

g=2;

y=1:0.01:2;

x=(g-y).*(y-g+1)./(g*(g-y)+(g+1)*(y-g+1));

plot(x,y);

hold on;

g=3;

y=2:0.01:3;

x=(g-y).*(y-g+1)./(g*(g-y)+(g+1)*(y-g+1));

plot(x,y);

hold on;

g=4;

y=3:0.01:4;

x=(g-y).*(y-g+1)./(g*(g-y)+(g+1)*(y-g+1));

plot(x,y);

hold on;

xlabel('ZJ/U');

ylabel('mu/U');

Bose-Hubbard模型的相圖如圖1所示。在參數(shù)區(qū)域(J/U,μ/U)中，固定化學(xué)勢μ而對于不同填充數(shù)g，J/U較小時(shí)基態(tài)為莫特絕緣態(tài)而逐漸增大該比值體系可發(fā)生相變到超流態(tài)，而且莫特絕緣態(tài)的參數(shù)區(qū)間呈現(xiàn)凸顯結(jié)構(gòu)，區(qū)間隨著g增大而減小。此外，當(dāng)化學(xué)勢與相互作用能量的比值μ/U為整數(shù)時(shí)，體系處于絕緣態(tài)與超流態(tài)的臨界，這是因?yàn)榇藭r(shí)體系基態(tài)的最低激發(fā)能量剛好為零，即滿足方程(20)中a2=0的條件。從圖1中可估算，對于填充數(shù)為g=1的情況，莫特絕緣區(qū)間凸顯處對應(yīng)的相變臨界值U/J≈5.8Z，對于g>1的情況，該臨界值為U/J≈4gZ。這個(gè)完整的相圖和邊界值與其他解析或者數(shù)值模擬得到的結(jié)果定量上一致[13-21]。

注：其中SF代表超流態(tài)，MI代表莫特絕緣態(tài)。圖1Bose-Hubbard模型的平均場相圖

3結(jié)論

(1)對于描述晶格中多體相互作用玻色子體系的Bose-Hubbard模型，計(jì)算相互作用能與跳躍能比值趨于無窮大和趨于零兩種極限的基態(tài)，分別得到了莫特絕緣態(tài)和超流態(tài)兩個(gè)量子相。

(2)利用平均場近似，引入超流態(tài)序參量，通過二階微擾解析計(jì)算基態(tài)能量，從而得到體系從超流態(tài)到絕緣態(tài)的量子相變的邊界條件方程。通過數(shù)值軟件求解邊界方程得到Bose-Hubbard模型的相圖。

(3)這種求解Bose-Hubbard模型的平均場近似方法不僅能夠得到完整相圖，而且整個(gè)過程物理圖像清晰，簡潔明了。

[1] HUBBARD J.Electron correlations in narrow energy bands[J].Proc Roy Soc 1963,276(1365):238-257.

[2] 李正中.固體理論[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3] 馮端,金國鈞.凝聚態(tài)物理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2013.

[4] SACHDEV S.Quantum phase transitions[M].Oxford:Cambridge University Press,2011.

[5] AFFLECK I,MARSTON J B.Large n limit of the Heisenberg-Hubbard model:Implications for high-Tc superconductors[J].Phys Rev B,1988,37(7):3774-3777.

[6] GEORGES A,KOTLIAR G.Hubbard model in infinite dimensions[J].Phys Rev B,1992,45(12):6479-6483.

[7] MURMANN S,BERGSCHNEIDER A,KLINKHAMER V M,et al.Two fermions in a double well:Exploring a fundamental building block of the Hubbard model[J].Phys Rev Letts,2015,114:Art 080402,5pp.

[8] JOHNSON T H,YUAN Y,BAO W,et al.Hubbard model for atomic impurities bound by the vortex lattice of a rotating Bose-Einstein condensate[J].Phys Rev Letts,2016,116:Art 240402,5pp.

[9] HART R A,DUARTE P M,YANG T L,et al.Observation of anti ferromagnetic correlations in the Hubbard model with ultracold atoms[J].Nature,2015,519(7542):211-214.

[10] 趙紅霞,趙暉,陳宇光,等.一維擴(kuò)展離子Hubbard模型的相圖研究[J].物理學(xué)報(bào),2015,64(10):213-218.

[11] 張龍,翁征宇.Hubbard模型中的相位弦效應(yīng)與交互Chern-Simons理論[J].物理學(xué)報(bào),2015,64(21):9-23.

[12] FISHER M P,WEICHMAN P B,GRINSTEIN G,et al.Boson localization and the superfluid-insulator transition[J].Phys Rev B,1989,40(1):546-570.

[13] JAKSCH D,BRUDER C,CIRAC J I,et al.Cold bosonic atoms in optical lattices[J].Phys Rev Letts,1998,81(15):3108-3111.

[14] GREUNER M,MANDEL O,ESSLINGER T,et al.Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms[J].Nature,2002,415:39-44.

[16] ZHANG D W,CHEN J P,SHAN C J,et al.Superfluid and magnetic states of an ultracold Bose gas with synthetic three-dimensional spin-orbit coupling in an optical lattice[J].Phys Rev A,2013,88:Art 013612,8pp.

[17] SENGUPTA K,DUPUIS N.Mott insulator to superfluid transition in the Bose-Hubbard model:A strong coupling approach[J].Phys Rev A,2005,71:Art 033629,8pp.

[18] 許瑩,李晉斌.大粒子數(shù)二維硬核玻色子系統(tǒng)的量子蒙特卡羅模擬[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(11):61-69.

[19] 陳錕,鄧友金.用量子蒙特卡羅方法研究二維超流-莫特絕緣體相變點(diǎn)附近的希格斯粒子[J].物理學(xué)報(bào),2015,64(18):1-13.

[20] 周偉,周文慧,謝明軒.拓展Bose-Hubbard模型的有限系統(tǒng)密度矩陣重整化群算法[J].長沙理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,12(2):78-82.

[21] 周文慧,王佳,符力平.玻色哈伯德模型的有限系統(tǒng)密度矩陣重整化群算法[J].量子光學(xué)學(xué)報(bào),2011,17(4):284-288.

A Simple Method to Solve the Bose-Hubbard Model

ZHANGDanwei1,2

(1.School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University,Guangzhou 510006,China;2.Guangdong Provincial Key Laboratory of Quantum Engineering and Quantum Materials,Guangzhou 510006,China)

For the Bose-Hubbard model that describes many-body interacting boson system in lattices,the ground states of the system when the ratios between the interaction and hopping energies tend to infinity and zero limits are respectively calculated.The Mott insulator and superfluid phases in these two cases are respectively obtained.Secondly,based on the mean-field approximation and the second-order perturbation method with the order parameter for the superfluid states,the ground-state energy of the system is calculated and then the boundary equation of the quantum phase transition from the superfluid state to the insulating state is obtained.Finally,the phase diagram of the Bose-Hubbard model is obtained by solving the phase boundary equation by using numerical software.This mean-field method for solving the Bose-Hubbard model is not only able to obtain the complete phase diagram,but also able to provide the concise physical figure which is clear in the whole process and easy to understand.

Bose-Hubbard model; superfluid state; Mott insulator state; mean-field approximation; phase diagram

2016-05-24

廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016A030313436)；廣東省高校優(yōu)秀青年創(chuàng)新人才培育項(xiàng)目(2015KQNCX023)

張丹偉(1986-)，男，廣東潮州人，講師，博士，主要從事超冷原子與凝聚態(tài)物理方面的研究，(E-mail)zdanwei@126.com

1673-1549(2016)04-0074-04

10.11863/j.suse.2016.04.16

O469

A