蜿蜒河流的數(shù)學(xué)刻畫及其自組織*

汪富泉

（廣東石油化工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院，廣東茂名525000）

蜿蜒河流的數(shù)學(xué)刻畫及其自組織*

汪富泉

（廣東石油化工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院，廣東茂名525000）

為探討蜿蜒河流河床演變中的自組織，應(yīng)用微分幾何方法建立了河道基本單元的數(shù)學(xué)模型，并通過求解數(shù)學(xué)模型得到了拐點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)實(shí)測(cè)資料和數(shù)學(xué)模型，繪制了下荊江在近500年間的5次河道軸線變化趨勢(shì)及拐點(diǎn)分布，觀察其變化趨勢(shì)發(fā)現(xiàn)拐點(diǎn)的平面坐標(biāo)是慢弛豫變量，拐點(diǎn)間距分布具有赫斯特效應(yīng)，河道平面形態(tài)具有分形特征。由此探討了河床演變中的自組織臨界性及河型轉(zhuǎn)換的內(nèi)外部根源。

蜿蜒河流；下荊江；河床演變；自組織

蜿蜒河流在世界上分布廣泛，對(duì)人類的生存和發(fā)展具有重大影響，關(guān)于其演變規(guī)律的研究一直受到研究者的高度重視。筆者最近對(duì)蜿蜒河流進(jìn)行了系統(tǒng)研究：計(jì)算了蜿蜒河流的量規(guī)維數(shù)，探討了它們與河床演變的關(guān)系［1］；應(yīng)用分形方法探討了河灣之間的相互作用［2］；根據(jù)理論和實(shí)測(cè)資料分析了水動(dòng)力軸線的非線性變化、流域來水來沙的隨機(jī)性和河流自身的能量耗散性對(duì)我國典型蜿蜒河流下荊江河床演變的影響［3－5］，建立了一個(gè)計(jì)算蜿蜒河道自仿射性的算法，并由此探討了下荊江河道的橫向擺動(dòng)特征［6］；在總結(jié)前人和自己研究成果的基礎(chǔ)上，提出了河流動(dòng)力系統(tǒng)關(guān)聯(lián)、協(xié)同、自適應(yīng)等6個(gè)自組織原理［7］。如何定量描述河床演變的自組織則是一個(gè)新的研究課題。本文將運(yùn)用微分幾何方法分析蜿蜒河流局部的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)模型來計(jì)算河流軸線的拐點(diǎn)，并分析拐點(diǎn)坐標(biāo)的變化特征，然后應(yīng)用所得理論結(jié)果對(duì)下荊江500多年來河床演變的自組織進(jìn)行探討。

1 蜿蜒河流的數(shù)學(xué)刻畫

蜿蜒河流的中心線（軸線）實(shí)際上是一條球面曲線，將其投影到一個(gè)固定平面（如海平面）上，得到一條平面曲線C，C的擺布方式則稱為蜿蜒河流的平面構(gòu)象。一般來說，該平面構(gòu)象比較復(fù)雜，通常具有彎曲折疊的幾何形狀，因此難以寫出這條平面曲線的具體方程。如果考慮到它的精細(xì)結(jié)構(gòu)（分形結(jié)構(gòu)），那么它的局部也難以用解析式表達(dá)。但是，分析平面曲線的局部結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：它由一系列正反相間的河灣和介于其間的較為順直的過渡段組成［8］，即兩個(gè)正反向間的河灣和順直段是組成平面構(gòu)象的基本單元。如果我們忽略基本單元的某些細(xì)節(jié)（如在一定比例尺的地形圖上所看到的形狀），則可用微分幾何［9］方法刻畫基本單元的結(jié)構(gòu)。設(shè)C的矢量式參數(shù)方程為：

在基本單元上實(shí)測(cè)4個(gè)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為｛（xi，yi）∶i＝0，1，2，3｝，則可得變量為a，b，c，d的四元一次方程組，如下所示：

解上述四元一次方程組得a，b，c，d的值，代入（3）得基本單元的數(shù)學(xué)模型。由微分幾何知曲線（3）的相對(duì)曲率為：

2 應(yīng)用示例

位于長江中游的下荊江，其河道中心線（軸線）蜿蜒曲折，是典型的蜿蜒河流。謝鑒衡給出了下荊江近500年的5次河道地形圖［8］，筆者用上述數(shù)學(xué)模型繪制的這5次河道軸線與拐點(diǎn)分布見圖1。

通過圖1可以發(fā)現(xiàn)，1490—1644年下荊江河道軸線上的大部分拐點(diǎn)（見圖中標(biāo)記4～6、10～13、15～17）的平面位置均與其余4個(gè)時(shí)期的拐點(diǎn)相去甚遠(yuǎn)。1975年河道軸線的部分拐點(diǎn)（如a，b，c，d，e，f）也有不同程度的偏離。相比之下，在1835—1959年，除河灣蠕動(dòng)和裁彎增減的拐點(diǎn)外，各軸線的拐點(diǎn)基本上是成團(tuán)分布的，拐點(diǎn)平面位置的變化很小。拐點(diǎn)附近的河段，即兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向相反的拋物型河灣間過渡段的位置變化也較小，這說明拐點(diǎn)的平面坐標(biāo)是慢弛豫變量［10］。它有兩層含義：其一，拐點(diǎn)坐標(biāo)隨時(shí)間變化較緩慢，如1835—1959年這段時(shí)間就是如此；其二，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生突變（即拐點(diǎn)偏離原來位置較遠(yuǎn)）以后，要恢復(fù)到它原來的位置則需要相當(dāng)長的時(shí)間，例如1490—1644年與其它時(shí)期相比較，清楚地說明了這點(diǎn)。Hacken［10］在協(xié)同學(xué)中，根據(jù)狀態(tài)參量在相變（突變）過程中所起的作用，把它們分成兩類：快弛豫參量和慢弛豫參量。后者為數(shù)極少（往往是一個(gè)或幾個(gè)），但是卻主宰著系統(tǒng)的演化和結(jié)局，原因在于它們是集體變量，是子系統(tǒng)合作的產(chǎn)物，相變過程的邊界條件適合其發(fā)展。慢弛豫變量的漲落易得到子系統(tǒng)的響應(yīng)，從而席卷整個(gè)系統(tǒng)，使系統(tǒng)的序或狀態(tài)發(fā)生改變，所以慢弛豫變量也就是序參量。河流系統(tǒng)的序結(jié)構(gòu)是一種自組織結(jié)構(gòu)，Rodriguez Iturbe［11］，Sapozhnikov等［12］都曾從自組織角度研究過河流和地貌的演化，筆者認(rèn)為他們的論證都有值得商榷的地方。下面筆者通過理論分析和數(shù)據(jù)計(jì)算來檢驗(yàn)下荊江河床演變中的自組織特征，并由此推測(cè)下荊江河型突變的誘因。

圖1 下荊江河道中心線近500年的變化及拐點(diǎn)分布

林一山［13］收集分析了下荊江一千多年的河道資料，認(rèn)為藕池決口對(duì)下荊江蜿蜒河道的形成起決定作用。林承坤等［14］認(rèn)為圍墾堵塞穴口導(dǎo)致河道內(nèi)流量增加是決定性因素。筆者認(rèn)為決定性因素是系統(tǒng)內(nèi)、外部諸要素的非線性相互作用，而外部作用如洞庭湖頂托或人類活動(dòng)則是導(dǎo)致下荊江河型突變的觸發(fā)力量［3］。外界的一個(gè)擾動(dòng)使它附近的拐點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)偏離，在河流系統(tǒng)內(nèi)外部因素作用下，這種偏離得到整個(gè)河床系統(tǒng)各河灣的響應(yīng)，使大多數(shù)拐點(diǎn)產(chǎn)生了較大的偏離，并促進(jìn)河灣不斷發(fā)育，從而導(dǎo)致了河型的轉(zhuǎn)變。一個(gè)局部的漲落為什么能夠得到整個(gè)河段的響應(yīng)呢？從系統(tǒng)自組織出發(fā)可能較好地回答這一問題。河型轉(zhuǎn)變以后，由于河灣個(gè)數(shù)和形態(tài)的變化，不僅拐點(diǎn)的位置發(fā)生了變化，相鄰拐點(diǎn)的間距也發(fā)生了改變，為此，筆者引入了拐點(diǎn)間距進(jìn)行量化分析。用〈R2i，i＋n〉表示第i和第i＋n個(gè)拐點(diǎn)之間距離的平方。當(dāng)n＝1時(shí)，有：

給定一系列d0值，可根據(jù)河道地形圖的測(cè)量結(jié)果計(jì)算出p（di，i＋1＞d0），在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下做線性回歸可得到q值，根據(jù)圖1的實(shí)測(cè)資料和式（8）得到的q值如表1所示。

另一方面，蜿蜒河道的平面形態(tài)可看成一個(gè)物理粒子在正方形點(diǎn)陣上作自回避隨機(jī)行走（SARW）得到的軌跡。SARW與普通隨機(jī)行走的區(qū)別是粒子有記憶性，走過的路不再重復(fù)，因此其軌跡是一條無圈的蜿蜒曲線，蜿蜒河流的軸線正是這樣的曲線。描述SARW的數(shù)理模型是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，其特征是赫斯特（Hurst）指數(shù)H（0＜H＜1）［15］。H＝0.5時(shí)，序列相互獨(dú)立；H＞0.5時(shí)，序列具有持續(xù)性，H越大，持續(xù)性越強(qiáng)；H＜0.5時(shí)，序列具有反持續(xù)性，H越小，反持續(xù)性越強(qiáng)。H和q的關(guān)系如下：H＝1/q，此外H與河道平面形態(tài)的分形維數(shù)df的關(guān)系如下：df＝2－H［16］。下荊江河道中心線拐點(diǎn)分布計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 下荊江河道中心線拐點(diǎn)分布特征

下荊江是由許多單元組成的復(fù)雜系統(tǒng)。在表1中，均有H＞1/2，這說明下荊江河灣之間關(guān)系密切，具有復(fù)雜的內(nèi)部非線性相互作用和長程相關(guān)性，與筆者最近的研究結(jié)果［2］一致。1975年，河道軸線拐點(diǎn)分布的非均勻系數(shù)最大，H指數(shù)最小，這說明河灣之間的長程關(guān)聯(lián)不如其它時(shí)期密切，但非線性相互作用更強(qiáng)烈，這可能與下荊江河道在70年代發(fā)生的人工和自然裁彎有關(guān)［4］。1490—1644年，河道軸線的γ值較大且H值遠(yuǎn)大于1/2，河灣之間同時(shí)存在較強(qiáng)的長程關(guān)聯(lián)和較強(qiáng)的非線性相互作用［2］。這樣就不難理解為什么河道在該時(shí)期的變化較大，且和其它時(shí)期的平面形態(tài)相比具有明顯的界限。此外，河流與水系具有分形特征［1－2，6］，這里的Hurst效應(yīng)和分形特征揭示了河道各河灣相互作用所形成的自組織。

3 結(jié)果與討論

歸納起來，本文得到如下結(jié)果：（1）拐點(diǎn)的位置（坐標(biāo)）是慢弛豫變量，這種隨時(shí)間緩慢變化的特性實(shí)質(zhì)上等價(jià)于負(fù)冪律分布，其頻譜分布則具有1/f噪聲的特征。（2）赫斯特（Hurst）指數(shù)H與分形維數(shù)有關(guān)，這說明河道平面形態(tài)具有空間分形結(jié)構(gòu)。（3）以d0為尺度，相鄰拐點(diǎn)間距分布滿足式（8）。因此，在河灣的形成和發(fā)展中，總是大河灣數(shù)量少，小河灣數(shù)量多。由這三點(diǎn)和Bak等人［17］提出的自組織臨界性理論知，下荊江河床作為一個(gè)系統(tǒng)處于自組織臨界狀態(tài)。水流動(dòng)力軸線的非線性特征對(duì)河床起著調(diào)制作用［3］，流域因素和水力輸沙條件的隨機(jī)性對(duì)系統(tǒng)起著擾動(dòng)作用［4］。此外，系統(tǒng)外部對(duì)系統(tǒng)的干擾如洞庭湖頂托及人類活動(dòng)等也不可忽略。對(duì)于自組織臨界系統(tǒng)而言，擾動(dòng)是系統(tǒng)突變的觸發(fā)力量。一個(gè)局部的擾動(dòng)可使整個(gè)系統(tǒng)得到響應(yīng)，產(chǎn)生多米洛骨牌倒塌那樣的連鎖反應(yīng)。因此，洞庭湖頂托和人類圍垸堵穴等對(duì)河床自組織臨界狀態(tài)的擾動(dòng)，是下荊江河型轉(zhuǎn)變的誘因。當(dāng)它們對(duì)河床產(chǎn)生擾動(dòng)時(shí)，不同尺度的河灣都可能形成，各個(gè)部分之間的協(xié)同作用相當(dāng)于一種正反饋，促使河床形態(tài)逐漸由微彎型向蜿蜒型發(fā)展。由此可見，外界的干擾是擾動(dòng)河床系統(tǒng)的一種隨機(jī)力，是一種直接誘因（外因），而內(nèi)在原因是河流系統(tǒng)處于自組織臨界狀態(tài)，兩者缺一不可。這樣能更好地理解為什么上、下荊江河型原來均為微彎型，水力輸沙條件、河床物質(zhì)組成基本相同，而自明清以后，下荊江經(jīng)過突變而轉(zhuǎn)換為蜿蜒型河道這一段疑難問題。

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［6］汪富泉.自仿射曲線分形標(biāo)度指數(shù)的算法及其應(yīng)用［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31（5）：728－732.

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Mathematical Characterization of Winding River and Its Self－organization

WANG Fuquan
（College of Continuing Education，Guangdong University of Petrochemical Engineering，Maoming 525000，China）

To explore self－organization in bed evolution of winding rivers，differential geometrymethod is applied to establish themathematicalmodel of basic unit，solvingmathematicalmodel to get inflection point coordinates.The Lower reach of Jingjiang in nearly 500 years with five axis change trend and inflection point distribution is drawn according to themathematicalmodel and themeasured data.Observing its change trend，the author finds out that plane coordinate of the turning point is slow relaxation variables，inflection point distribution shows the Hurst effect，and channel planemorphology has fractal characteristics.Thus the author discusses the self－organized criticality of riverbed evolution and river pattern conversion of internal and external causes.

Winding river；Lower Jingjiang；Fluvial process；Self－organizations

TV147

A

2095－2562（2016）01－0065－04

（責(zé)任編輯：梁曉道）

2015－08－15；

2015－11－02

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）（2013cB036401）；國家自然科學(xué)基金（51179110）

汪富泉（1955—），男，四川南充人，博士，教授，主要從事水文學(xué)及河流動(dòng)力學(xué)研究。