淺談數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐

李孝輝

(四川師范大學(xué) 四川 成都 610000)

淺談數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐

李孝輝

(四川師范大學(xué) 四川 成都 610000)

數(shù)學(xué)是一門最基本的自然學(xué)科，數(shù)學(xué)的模型思想作為2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想之一。本論文以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)(2013版)五年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角——植樹問(wèn)題”教學(xué)為例，簡(jiǎn)單闡述了數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一般過(guò)程包括：準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、解釋、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模在教學(xué)中的重要作用。

數(shù)學(xué)建模；小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)模型；教學(xué)

1 引言

數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決數(shù)學(xué)問(wèn)題這一過(guò)程的簡(jiǎn)稱[1]。數(shù)學(xué)是一門最基礎(chǔ)的自然學(xué)科，數(shù)學(xué)的模型思想作為2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想之一，尤其應(yīng)當(dāng)提起小學(xué)數(shù)學(xué)教師的重視。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)建模更多地是指使用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來(lái)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，不斷讓小學(xué)生從具體事件或現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)，逐步抽象、概括并建立某種模型，并進(jìn)行解釋和運(yùn)用，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感受，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

以人民教育出版社出版的義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)(2013版)五年級(jí)上冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角——植樹問(wèn)題”教學(xué)為例，試談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的初步嘗試。

2 概念界定

2.1 模型

百度百科這樣解釋模型，通過(guò)主觀意識(shí)借助實(shí)體或者虛擬表現(xiàn)、構(gòu)成客觀闡述形態(tài)、結(jié)構(gòu)的一種表達(dá)目的的物件(物件并不等于物體，不局限于實(shí)體與虛擬、不限于平面與立體)。

2.2 數(shù)學(xué)模型

目前在我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)模型還沒有一個(gè)十分權(quán)威的定義，但比較一致的認(rèn)識(shí)是：數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的原型，為了某一個(gè)特定目的，作出一些必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)模擬。

簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的一類模型。數(shù)學(xué)模型可以是一個(gè)或一組代數(shù)方程、微分方程、差分方程、積分方程或統(tǒng)計(jì)學(xué)方程，也可以是它們的某種適當(dāng)?shù)慕M合，通過(guò)這些方程定量地或定性地描述系統(tǒng)各變量之間的相互關(guān)系或因果關(guān)系。數(shù)學(xué)模型一般是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、數(shù)量關(guān)系或圖形來(lái)呈現(xiàn)的，具有精確性、直觀性、簡(jiǎn)潔性等特點(diǎn)。在小學(xué)階段，主要表現(xiàn)為：數(shù)學(xué)概念、公式、定義、定理、法則等。如關(guān)于三角形(2013版人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè))這一數(shù)學(xué)模型則是由數(shù)學(xué)語(yǔ)言結(jié)合圖形兩種呈現(xiàn)方式來(lái)呈現(xiàn)的，數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述具體為“由3條線段圍成的圖形(每相鄰兩條線段的端點(diǎn)相連)叫做三角形?！蓖瑫r(shí)也是數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式；如加法交換律(2013版人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè))這一數(shù)學(xué)模型，教科書上同時(shí)用了多種形式來(lái)呈現(xiàn)這一模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述為“兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”，“甲數(shù)+乙數(shù)=乙數(shù)+甲數(shù)”，是數(shù)學(xué)語(yǔ)言模型，“▲+★=★+▲”，就轉(zhuǎn)化為了符號(hào)模型，“ɑ+b=b+ɑ”，則是字母模型。

2.3 數(shù)學(xué)建模

從現(xiàn)有資料來(lái)看，對(duì)于“小學(xué)數(shù)學(xué)建?！边@詞尚無(wú)確切定義，一般認(rèn)為數(shù)學(xué)建模利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)等建立數(shù)學(xué)模型這一過(guò)程。就是通過(guò)計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)，來(lái)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程。當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象信息、作出簡(jiǎn)化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言作表述來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是一個(gè)經(jīng)歷觀察、思考、歸類、抽象與總結(jié)的過(guò)程，也是一個(gè)信息捕捉、篩選、整理的過(guò)程，更是一個(gè)思想與方法的產(chǎn)生與選擇的過(guò)程。

3 數(shù)學(xué)建模在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程

從數(shù)學(xué)建模的概念中可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模一般是指解決實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生能把實(shí)際問(wèn)題歸納或抽象成數(shù)學(xué)模型加以解決。我們認(rèn)為：小學(xué)數(shù)學(xué)建模是指學(xué)生在教師預(yù)設(shè)的與學(xué)習(xí)課本知識(shí)有關(guān)的生活情境中，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備數(shù)學(xué)模型、假設(shè)數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)模型、 解釋數(shù)學(xué)模型和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，并以此為載體學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)。可以這樣講，只要有數(shù)學(xué)應(yīng)用的地方，就有數(shù)學(xué)建模。

3.1 準(zhǔn)備數(shù)學(xué)模型

了解小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息。以數(shù)學(xué)思想來(lái)包容問(wèn)題的精髓，數(shù)學(xué)思路貫穿問(wèn)題的全過(guò)程，進(jìn)而用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述問(wèn)題。要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準(zhǔn)確。

在“數(shù)學(xué)廣角——植樹問(wèn)題”這一課例1中，教科書呈現(xiàn)了一段數(shù)學(xué)語(yǔ)言文字并配了一幅圖。數(shù)學(xué)語(yǔ)言文字描述到“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵(兩端要栽)。一共要栽多少棵樹？”而插圖內(nèi)容為：4個(gè)同學(xué)在一棟建筑旁邊隔著一定距離在植樹。明確題目關(guān)鍵信息：總長(zhǎng)是100米，只在小路一邊植樹，兩端要栽，每隔5米栽一棵即間距為5米。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境：1個(gè)同學(xué)代表1棵樹，第一次在皮尺0刻度、5米刻度、10米刻度各站立1名同學(xué)；第二次遞增到20米；第三次遞增到50米。此時(shí)教學(xué)過(guò)程可以這樣進(jìn)行：

通過(guò)計(jì)數(shù)，請(qǐng)同學(xué)回答，總長(zhǎng)10米時(shí)，間隔5米植樹，道路只有一邊栽樹時(shí)，兩端要栽的前提下，

問(wèn)：有幾個(gè)間隔？

答：有兩個(gè)間隔。

問(wèn)：栽了多少棵樹？

答：栽了3棵樹。

問(wèn)：間隔數(shù)與總長(zhǎng)、間距之間的關(guān)系是什么？

答：間隔數(shù)等于總長(zhǎng)除以間距。

問(wèn)：棵數(shù)與間隔數(shù)的數(shù)量關(guān)系是什么？

答：棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。

只有學(xué)生身臨其境，切身體會(huì)到題目所表達(dá)的實(shí)際含義，學(xué)生才能用整體的思維把握整個(gè)過(guò)程。

3.2 假設(shè)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

根據(jù)建模準(zhǔn)備，我們可以提出這樣的假設(shè)1：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數(shù)等于總長(zhǎng)除以間距。假設(shè)2：道路一邊植樹(兩端要栽)，棵數(shù)比間隔數(shù)多1。在題目條件不變的情況下，變化總長(zhǎng)進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生繼續(xù)回答20米呢？通過(guò)計(jì)數(shù)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：總長(zhǎng)20米時(shí)，間隔5米植樹，兩端要栽的前提下，有4個(gè)間隔，間隔數(shù)等于總長(zhǎng)除以間距，栽了5棵樹，棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。50米呢？通過(guò)計(jì)數(shù)，學(xué)生也容易發(fā)現(xiàn)：總長(zhǎng)50米時(shí)，間隔5米植樹，兩端要栽的前提下，有10個(gè)間隔，間隔數(shù)等于總長(zhǎng)除以間距，栽了11棵樹，棵數(shù)比間隔的數(shù)量多1。通過(guò)驗(yàn)證，得出假設(shè)正確。

3.3 建立數(shù)學(xué)模型

在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具)。

通過(guò)準(zhǔn)備過(guò)程、假設(shè)及驗(yàn)證過(guò)程，我們建立這樣的數(shù)學(xué)模型：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數(shù)等于總長(zhǎng)除以間距，數(shù)量關(guān)系式：間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間距。道路一邊植樹(兩端要栽)，棵數(shù)比間隔數(shù)多1，數(shù)量關(guān)系式：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

3.4 解釋數(shù)學(xué)模型

對(duì)所要建立模型的思路進(jìn)行闡述，對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析與解釋。在上題中，通過(guò)題干信息，能夠很容易得出信息：同學(xué)們?cè)谛÷返囊贿呏矘?，小路總長(zhǎng)100米，每隔5米栽一棵，也就是說(shuō)一棵樹與它相鄰最近的一顆樹的距離為5米，即間距為5米，小路兩端要栽，問(wèn)題是一共要栽多少棵樹。根據(jù)除法的意義，很容易得出這樣的結(jié)論：道路一邊植樹(兩端要栽)，間隔數(shù)等于總長(zhǎng)除以間距，即間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間距。再分析栽樹要求，小路一邊栽樹，兩端要栽樹，得出棵樹比間隔數(shù)多1，即棵數(shù)=間隔數(shù)+1。綜上所述，道路一邊植樹(兩端要栽)的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=總長(zhǎng)÷間距+1。

3.5 應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，包括兩個(gè)方面：數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用(練習(xí))和數(shù)學(xué)之外的應(yīng)用(解決具體問(wèn)題)[2]。為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)之外應(yīng)用的教學(xué)[3]。在此僅簡(jiǎn)單舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)本身的應(yīng)用(練習(xí))。在教科書“數(shù)學(xué)廣角——植樹問(wèn)題”練習(xí)題部分，編者設(shè)置了過(guò)手練習(xí)題，即“工人們正在架設(shè)電線桿，相鄰兩根間的距離是200米。在總長(zhǎng)3000米的筆直路上，一共要架設(shè)多少根電線桿(兩端都架設(shè))？”通過(guò)閱讀題目數(shù)學(xué)語(yǔ)言文字信息，得到：道路一側(cè)架設(shè)電線桿相當(dāng)于小路一邊植樹，兩端都架設(shè)相當(dāng)于兩端要栽，間距200米，總長(zhǎng)3000米，問(wèn)題為一共要架設(shè)多少根電線桿。根據(jù)數(shù)學(xué)模型間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間距，得出間隔數(shù)=3000÷200=15，在根據(jù)數(shù)學(xué)模型棵數(shù)=間隔數(shù)+1，得出電線桿總數(shù)=15+1=16(根)?；蛘咧苯痈鶕?jù)道路一邊植樹(兩端要栽)的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=總長(zhǎng)÷間距+1，得出電線桿總數(shù)=3000÷200+1=16(根)。

4 總結(jié)

九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確規(guī)定：“要使學(xué)生受到把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的訓(xùn)練”“形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)”。在教學(xué)中，一線教師經(jīng)?？吹接行W(xué)生遇到一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，無(wú)從下手的情況。當(dāng)我們把這個(gè)問(wèn)題化為數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)后，尤其是數(shù)學(xué)公式表現(xiàn)時(shí)，學(xué)生馬上就會(huì)解了?？梢姡⑦m當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，是利用數(shù)學(xué)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提。解決實(shí)際問(wèn)題，特別是綜合性較強(qiáng)的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。在教學(xué)中解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力。

數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主，教師利用一些事先設(shè)計(jì)好問(wèn)題啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論和辯論，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索，努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng)，培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神、形成一個(gè)生動(dòng)活潑的環(huán)境和氣氛，教學(xué)過(guò)程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力，是解決問(wèn)題的過(guò)程，而不是知識(shí)與結(jié)果。

[1] 孫丹. 淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想的策略與意義[J]. 新課程研究:教師教育, 2011(11):28-29.

[2] 袁明紅. 小學(xué)數(shù)學(xué)的"數(shù)學(xué)建模"教學(xué)策略[J]. 考試周刊, 2015(39):68-68.

[3] 項(xiàng)仁訓(xùn)，沈本領(lǐng).問(wèn)題—建?！獞?yīng)用——構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式的探索[J].江蘇教育，1999，( 6)：36- 37.

李孝輝(1988-)，女，漢族，四川內(nèi)江人，碩士，四川師范大學(xué)，小學(xué)教育。

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