一種基于稀疏約束的穩(wěn)健波束形成方法

解 虎,馮大政,袁明冬

(1.中國空間技術(shù)研究院西安分院西安,陜西西安710100；2.西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安710071)

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一種基于稀疏約束的穩(wěn)健波束形成方法

解 虎1,2,馮大政2,袁明冬2

(1.中國空間技術(shù)研究院西安分院西安,陜西西安710100；2.西安電子科技大學(xué)雷達信號處理國家重點實驗室,陜西西安710071)

通過分析最優(yōu)自適應(yīng)波束形成權(quán)矢量的子空間組成,發(fā)現(xiàn)最優(yōu)權(quán)僅位于低維的干擾加信號子空間中.一般系統(tǒng)所要抑制的干擾數(shù)目遠小于系統(tǒng)自由度,因此一旦估計出干擾空間和信號導(dǎo)向矢量,只需求解一個低維的組合矢量即可求得自適應(yīng)權(quán)矢量,同時也極大地降低了計算復(fù)雜度.本文首先構(gòu)造一個完備的干擾加信號子空間(IPSS),然后對組合矢量進行稀疏約束,找到一組列數(shù)最小的信號加干擾子空間來構(gòu)造自適應(yīng)權(quán).仿真實驗驗證了所提算法的有效性和穩(wěn)健性.

穩(wěn)健波束形成;稀疏約束;導(dǎo)向矢量失配;正則化;凸優(yōu)化

1 引言

波束形成(BeamForming,BF)一直以來都是陣列信號處理的熱點問題之一,被廣泛應(yīng)用于雷達、聲納、語音麥克風(fēng)陣列[1,2,4]、無線通信[3]等領(lǐng)域.波束形成的基本思想[4,5]是使信號方向增益保持恒定的同時對來自其他方位的強干擾進行自適應(yīng)抑制.傳統(tǒng)的波束形成針對的是期望信號導(dǎo)向矢量準確已知且對應(yīng)的協(xié)方差矩陣不存在估計誤差.而實際中,導(dǎo)向矢量不匹配、樣本較少導(dǎo)致估計的協(xié)方差矩陣不準確、接收數(shù)據(jù)包含較強的期望信號[1,6,7]等都會對波束形成的性能產(chǎn)生影響.針對這一問題,學(xué)者們提出了針對不匹配情況下的穩(wěn)健波束形成方法,使得在存在各種不匹配時,算法性能不會嚴重下降.穩(wěn)健波束形成在實際應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用,目前已經(jīng)成為學(xué)者們的研究熱點.

對角加載技術(shù)(Diagonal Loading,DL)是一種公認的行之有效的穩(wěn)健波束形成方法,對陣列流形不匹配和小樣本環(huán)境都具有很好的穩(wěn)健效果,但是當接收信號中存在期望信號時,會產(chǎn)生信號對消現(xiàn)象,導(dǎo)致算法性能嚴重下降.另一方面,關(guān)于如何選取的最優(yōu)的加載量目前尚沒有統(tǒng)一的定論.文獻[8]提出了一種基于最差環(huán)境下的穩(wěn)健BF方法,該方法假設(shè)陣列流形誤差屬于一個球形不確定集,并對目標導(dǎo)向矢量加以約束,并采用最小方差無畸變準則(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)加以推導(dǎo),將非凸問題轉(zhuǎn)化為二階凸優(yōu)化(Second Order Cone Program,SOCP)問題加以求解.已經(jīng)證明該算法本質(zhì)上屬于DL類方法,其加載量由誤差上界確定.文獻[9]將球形不確定集推廣到橢球不確定集,并且提出一種直接求解對角加載量的方法,避免了求解SOCP問題.文獻[10]提出一種采用l1范數(shù)近似的方法來計算加載量.子空間方法是另外一類穩(wěn)健BF方法,對多種不匹配情況均有穩(wěn)健作用.

針對目標導(dǎo)向矢量不匹配導(dǎo)致的波束形成性能損失問題,學(xué)者們提出了許多對應(yīng)的穩(wěn)健方法,文獻[11]提出一種約束目標方位角度一定范圍內(nèi)的方向的增益大于1的穩(wěn)健波束形成并同時抑制干擾.文獻[12]介紹了幾種通過對主瓣內(nèi)多個角度進行線性約束達到展寬波束的穩(wěn)健波束形成,這類方法被稱為線性約束最小方差(Linearly Constrained Minimum Variance,LCMV).通過對最優(yōu)自適應(yīng)權(quán)的構(gòu)成空間進行分析,我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)權(quán)可以通過一個低維的信號加干擾空間進行構(gòu)造.基于最優(yōu)權(quán)的這一特點,本文提出一種基于稀疏約束的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成方法.首先,構(gòu)造一個完備的信號加干擾空間(IPSS),利用權(quán)空間的稀疏特性對組合矢量進行約束,從而達到自適應(yīng)選擇完備IPSS中的最小的一組IPSS來構(gòu)造自適應(yīng)權(quán).

2 最優(yōu)權(quán)矢量的空間構(gòu)成

假設(shè)有一N元均勻線陣,存在P個遠場窄帶干擾.其接收數(shù)據(jù)可以表示為

k=1,2,…,L

(1)

其中a0(k),ai(k);i=1,2…P分別表示信號和干擾在k時刻的復(fù)幅度,且互不相關(guān);s(θ)表示θ角度的陣列導(dǎo)向矢量;θs和θi分別表示目標和干擾方位角;n(k)為接收噪聲,L表示接收樣本個數(shù).在最小方差無畸變準則下,自適應(yīng)權(quán)矢量可以寫作(不考慮常系數(shù)因子)

(2)

其中RI+n為N×N的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣,s(θs)為N×1的目標信號導(dǎo)向矢量(下文中簡化為s).一般干擾加噪聲協(xié)方差矩陣由兩部分組成

RI+n=RI+Rn

(3)

其中,分別為干擾協(xié)方差矩陣和噪聲協(xié)方差矩陣,在高斯白噪聲情況下Rn=σnI(為單位矩陣),不失一般性,我們假設(shè)σn=1.一般情況下,干擾個數(shù)小于陣元個數(shù),即P

其中ΛI為P×P的對角矩陣,其對角元素為RI的特征值,UI是由非零特征值對應(yīng)的特征向量組成的N×P的矩陣.將式(3)代入式(2),并利用矩陣求逆引理[13],可以得到

=[s,UI]c

(4)

其中c為(P+1)×1組合矢量

式(4)表明最優(yōu)自適應(yīng)權(quán)完全位于P+1的期望信號導(dǎo)向矢量加干擾子空間中.

3 構(gòu)造完備的干擾加信號子空間

由式(4)可知當噪聲為高斯白噪聲時,最優(yōu)權(quán)矢量僅由信號導(dǎo)向矢量加干擾空間組成.本節(jié)對信號導(dǎo)向矢量和干擾空間分別進行估計.由于干擾數(shù)目未知,為了保證權(quán)矢量空間的完整性,估計所得的干擾加信號空間必須是完備的.期望信號導(dǎo)向矢量失配是導(dǎo)致傳統(tǒng)波束形成性能下降的主要原因之一,因此首先需要對準確的目標導(dǎo)向矢量進行估計.關(guān)于信號導(dǎo)向矢量的估計,學(xué)者們提出了許多穩(wěn)健估計方法[7,14,15].本文我們采用文獻[7]提出的一種信號導(dǎo)向矢量穩(wěn)健估計方法.

3.1 估計信號導(dǎo)向矢量

對于傳統(tǒng)波束形成方法,當陣列流形精確已知時,目標信號導(dǎo)向矢量是可以直接獲得的.但是實際中由于陣列流形誤差、來波方向不匹配、信號源的局部散射、陣列校準誤差、近場效應(yīng)等,都會導(dǎo)致信號導(dǎo)向矢量的不匹配.根據(jù)文獻[15],信號導(dǎo)向矢量估計問題可以轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題,即

(5)

3.2 干擾加信號子空間

(6)

(7)

應(yīng)當注意到對協(xié)方差矩陣進行EVD分解構(gòu)造干擾空間的一種方法,對其進行SVD分解也同樣可以實現(xiàn).另一方面為了避免對協(xié)方差矩陣進行估計,實際中還可以直接對數(shù)據(jù)矩陣X進行SVD分解也可以獲得與EVD分解同樣的干擾子空間,即

(8)

4 基于稀疏表示的波束形成方法

(9)

根據(jù)最小方差無畸變準則(MVDR)可以得到

(10)

(11)

5 計算量分析

6 實驗

假設(shè)一均勻線陣,陣元個數(shù)為N=16,陣元間距為雷達工作波長的一半.真實的期望信號和三個干擾的來波方向分別為2°和-10°,10°,30°,而假設(shè)的期望信號來波方向為0°,且三個干擾的干噪比為30dB.為了驗證所提算法的有效性,我們將其與對角加載采樣協(xié)方差求逆方法(LSMI)、特征空間投影法、文獻[8]所提的Worst-case 波束形成方法進行比較.其中LSMI的方法[17]的加載量取協(xié)方差矩陣最小特征值的10倍,特征空間法所需要的干擾數(shù)目是準確已知的,Worst-case 波束形成所需要的誤差界為4(導(dǎo)向矢量sHs=N).

實驗1

本實驗主要討論平衡因子(正則化參數(shù))λ以及假設(shè)的干擾數(shù)目K對本文算法的影響.圖1所示輸出SINR隨參數(shù)λ的變化曲線,其中信噪比SNR=10dB,所用樣本數(shù)目為L=100.由圖可以看出,本文算法對參數(shù)λ具有很好的穩(wěn)健,λ在很寬的范圍內(nèi),所提算法的性能都接近最優(yōu)解.

圖2所示為所提算法隨所選擇的特征向量數(shù)目K的變化曲線,其中SNR=10dB,樣本數(shù)L=100.當K<3算法性能嚴重下降,當K≥3時,算法性能接近最優(yōu)值,可以看出所選擇的特征向量數(shù)目必須大于等于干擾數(shù)目,否則算法失效,也從另一個方面驗證了所提算法對于IPSS空間完備性的要求.

實驗2

本實驗主要對所提算法的穩(wěn)健特性進行仿真驗證,并與幾種穩(wěn)健BF進行比較.圖3所示為當導(dǎo)向矢量精確已知時,輸出SINR與輸入SNR變化曲線,其中樣本數(shù)目L=50.由圖可以看出即使期望信號導(dǎo)向矢量精確已知,由于訓(xùn)練樣本中含有期望信號,傳統(tǒng)的LSMI和Worst-case BF由于信號對消性能而導(dǎo)致性能下降.而本文算法不論在高信噪比還是低信噪比,算法性能都優(yōu)于傳統(tǒng)算法.

圖4畫出了幾種算法性能隨樣本變化曲線,輸入SNR=-10dB,其它參數(shù)與圖3保持一致.由圖可以看出所提算法與其它算法的收斂速度相當,收斂速度大約為干擾數(shù)目的2倍.

圖5所示為當目標導(dǎo)向矢量存在指向誤差時,輸出SINR隨輸入SNR變化曲線,假定的目標方位為2°,真實的目標方位為0°.在低信噪比時,特征空間法性能較差,而對角加載、Worst-case BF和所提算法在低信噪比時,性能相當,所提方法略優(yōu)于其他兩種算法.在高信噪比時,對角加載和Worst-case BF 方法性能嚴重下降,本文算法略優(yōu)于特征空間法.圖6所示為不同算法的波束方向圖,其參數(shù)與圖5一致,其中SNR=15dB.由圖可以看出所提算法波束指向準確,且旁瓣較低,而傳統(tǒng)的LSMI方法主瓣角度出現(xiàn)了嚴重的偏差.

圖7所示為期望信號存在局部相關(guān)散射情況時的輸出SINR隨輸入SNR變化曲線.此時由于受到局部相關(guān)散射的影響,期望信號的導(dǎo)向矢量變?yōu)?/p>

(12)

其中s(θs)為直達方位的導(dǎo)向矢量;s(θi)表示相關(guān)散射路徑的導(dǎo)向矢量;θi和φi分別為第i路相關(guān)散射的入射角度和相位,且彼此之間相互獨立;θi和φi分別服從N(θs,1°)和U(0,2π),N(μ,σ2)表示均值為μ,方差為σ2的正態(tài)分布,U(0,2π)表示[0,2π]之間的均勻分布.下述實驗中,每一次獨立實驗中的θi和φi選擇都不相同.由圖7可以看出,在存在局部相關(guān)干擾時,所提算法依然優(yōu)于其他的算法,且對局部相關(guān)信號導(dǎo)致的導(dǎo)向矢量不匹配穩(wěn)健.

圖8所示為受到波前畸變而導(dǎo)致的信號導(dǎo)向矢量失配時,本文算法同其它算法的比較.假設(shè)每個陣元對期望信號的波前相位畸變是相互獨立的[8],每次獨立實驗的取值都不相同,但是單次實驗中其值保持不變,一般采用高斯隨機生成器來產(chǎn)生,其方差為0.01.圖8表明本文算法對波前畸變導(dǎo)致的導(dǎo)向矢量不匹配具有很好的穩(wěn)健性,優(yōu)于傳統(tǒng)算法.

7 結(jié)論

本文通過構(gòu)造一個低維的完備的干擾加信號子空間,采用構(gòu)造的完備IPSS空間來線性表示自適應(yīng)權(quán).首先對信號導(dǎo)向矢量進行穩(wěn)健估計,其次通過對協(xié)方差矩陣進行EVD或者對數(shù)據(jù)矩陣進行SVD來估計干擾加信號空間.由于干擾個數(shù)未知,為了保證IPSS的完備性,構(gòu)造所得IPSS的維數(shù)一般大于等于干擾個數(shù).理論上,最優(yōu)自適應(yīng)權(quán)僅位于IPSS空間中,為了避免自適應(yīng)權(quán)受到構(gòu)造的完備IPSS中非干擾加信號部分的影響,本文通過對組合系數(shù)進行稀疏約束,自適應(yīng)的達到從完備IPSS中篩選出維度最小的一組IPSS來表示自適應(yīng)權(quán),進而達到穩(wěn)健波束形成的目的.仿真實驗表明了所提算法的有效性和穩(wěn)健性.

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解 虎 男，1987年生于陜西渭南，中國空間技術(shù)研究院西安分院博士后，研究方向為陣列信號處理和空時自適應(yīng)信號處理.

E-ail：xiehumor@163.com

馮大政 男，1959年生于陜西安康，西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師.研究方向為雷達信號處理、信號參數(shù)估計、仿大腦信息處理、場景感知、模式識別等.

A Robust Beamforming Method Based on Sparse Constraint

XIE Hu1,2,FENG Da-zheng2,YUAN Ming-dong2

(1.ChinaAcademyofSpaceTechnology,Xi’anBranch,Xi’an,Shaanxi710100,China；2.NationalLaboratoryofRadarSignalProcessing,XidianUniversity,Xi’an,Shaanxi710071,China)

By analyzing the constitution of the optimal adaptive weight,we find that the optimal adaptive weight only lies in a low-dimension subspace spanned by the desired signal steering vector and the interferences subspace.Generally,the number of interferences designed to suppress is much smaller than that of the array sensors.Consequently,once the interference-plus-signal subspace (IPSS) is estimated,only a low-dimension combination vector is needed to compute,which leads to a reduction of the computation complexity.First,we construct a complete IPSS.And then the sparse constraint is imposed on the combination vector to select the least number of column vectors of the complete IPSS to form the adaptive weight.Simulation results validate the effectiveness and robustness of the proposed algorithm.

robust beamforming;sparse constraint;steering vector mismatch;regularization;convex programming

2014-10-23;

2015-12-30；責(zé)任編輯：藍紅杰

國家自然科學(xué)基金(No.61271293)

TN957

A

0372-2112 (2016)09-2276-06

??學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.09.036