超空泡航行體最優(yōu)控制建模與仿真

陳超倩， 曹偉， 王聰， 魏英杰

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江，哈爾濱 150001)

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超空泡航行體最優(yōu)控制建模與仿真

陳超倩， 曹偉， 王聰， 魏英杰

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院，黑龍江，哈爾濱 150001)

基于空泡獨立膨脹原理分析了超空泡航行體在小機動條件下空泡軸線的偏移，詳細計算了航行體各部分流體動力，建立了超空泡航行體縱向運動非線性動力學模型. 針對該模型存在嚴重的動態(tài)耦合與操縱耦合，利用精確線性化方法進行了解耦處理，進而設計了最優(yōu)控制器，實現(xiàn)了對航行深度的漸進跟蹤控制. 仿真結果表明：該控制系統(tǒng)能夠有效地跟蹤深度信號，具有良好的控制品質(zhì)；航行體能穩(wěn)定在空泡內(nèi)而不與空泡壁面接觸.

流體力學；超空泡；滑行力；非線性；最優(yōu)控制

超空泡航行體由于空泡的包裹而顯著降低了水下運動的阻力，因而具有明顯的速度優(yōu)勢[1-2]. 同時，超空泡技術所引起的浮力缺失、尾拍、強非線性等復雜特性給超空泡航行體的機動及穩(wěn)定控制帶來了極大的困難[3]. 目前，國內(nèi)外針對超空泡航行體非線性動力學建模及控制方面已有部分研究成果發(fā)表. Dzieiski和Kurdila等[4]對超空泡航行體縱平面內(nèi)控制的基準問題進行了研究；Qiang等[5]等基于文獻[4]的模型，采用反步法設計了狀態(tài)反饋控制器，對超空泡航行體進行了穩(wěn)定控制研究；Vanek等[6]改進了文獻[4]中的模型，考慮了空泡的記憶效應，利用反饋線性化方法與極點配置法，設計了雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，實現(xiàn)了跟蹤控制.

本文首先在文獻[4]給出的動力學模型基礎上，考慮了空化器攻角及重力場對空泡形態(tài)的影響，從而建立了更加精確的超空泡航行體非線性動力學模型. 針對該模型本身的強非線性以及存在動態(tài)耦合與操縱耦合的特點，采用精確線性化方法對其進行輸入輸出解耦，進而根據(jù)最優(yōu)控制理論，以跟蹤誤差為優(yōu)化目標，設計了非線性深度跟蹤控制器，獲得了較滿意的仿真結果，對將來超空泡航行體的實際應用具有一定的工程意義.

1 超空泡航行體數(shù)學模型

本文主要研究超空泡航行體巡航階段縱平面內(nèi)的運動. 做如下基本假設：航行體在水平方向的推力與阻力始終保持平衡，直航速度近似看作勻速；航行體為理想剛體且質(zhì)量與質(zhì)心位置保持恒定；航行體在縱平面內(nèi)的運動為小角度機動.

在超空泡狀態(tài)下，由于航行體大部分表面被空泡包裹而幾乎失去了浮力作用. 保持航行體穩(wěn)定及對其進行控制所需的流體動力主要由頭部空化器、尾翼的沾濕部分及尾部滑行力提供. 如圖1所示，超空泡航行體在巡航段主要受力有：空化器所受升力Fc，尾翼所受升力Ff，航行體尾部與空泡壁接觸所形成的滑行力Fp，以及質(zhì)心處所受重力Fg.

1.1 空泡形態(tài)預測及流體動力計算

對空泡形態(tài)的準確預測是超空泡航行體流體動力計算的基礎. 空泡在重力的作用下會發(fā)生一定程度的“上漂”，空化器攻角的變化也會使空泡軸線產(chǎn)生偏移. Logvinovich基于獨立膨脹原理及大量的試驗給出了空泡形態(tài)的半理論半經(jīng)驗預測公式及其修正式[7].

(1)

在空化數(shù)σ<0.1，且弗勞德數(shù)Fr較大的條件下，空泡由于重力影響而產(chǎn)生的軸線偏移量hg為[7]

(2)

式中：ζ=x/Lk；x為空泡截面與空化器間的距離；v為航行體速度；g為重力加速度.

空化器偏轉所產(chǎn)生的空泡軸線偏移量hc為[7]

(3)

式中：θ為航行體俯仰角；δc為空化器偏轉角.

空化器主要有兩方面的作用，一方面在航行體達到一定速度時誘導生成空泡，另一方面空化器可以作為一個控制面，與來流形成適當?shù)墓ソ钱a(chǎn)生穩(wěn)定于控制航行體所需的流體動力. 本文采用文獻[4]中提供的空化器升力估算公式為

(4)

式中：ρ為水的密度；vy為航行體垂向速度；ωz為俯仰角速度；Lc為空化器與質(zhì)心間的距離.

尾翼只有浸入水中與水有直接接觸的沾濕部分才能產(chǎn)生流體動力. 由于空泡與航行體相對位置的不確定性，實際航行過程中尾翼沾濕面積是時變的. 根據(jù)航行體在縱平面內(nèi)做小角度機動的假設，可以近似認為尾翼沾濕面積為常數(shù). 參照文獻[6]的思路，將尾翼看作一種特殊的楔形空化器，得到其升力估算公式為

(5)

式中：n為尾翼升力與空化器升力的相似系數(shù)；Lf為尾翼與質(zhì)心間的距離；δf為尾翼偏轉角.

航行體高速運動過程中，航行體尾部會與空泡壁面發(fā)生碰撞從而產(chǎn)生滑行力. 可以將滑行力簡化為細長體浸入自由液面考慮，采用文獻[8]中的滑行力工程估算公式，同時考慮重力及空化器偏轉的影響，即結合式(2)(3)，得到滑行力為

(6)

(7)

(8)

式中：L′=Lω/v+hc+hg；h′為相對浸入深度；αp為浸入角度；L為航行體長度；R為航行體圓柱段半徑.

1.2 超空泡航行體動力學模型

建立圖1所示固定坐標系與航行體坐標系，固定坐標系的原點E位于垂直平面內(nèi)，豎直向上為正. 航行體坐標系原點O與質(zhì)心重合，Ox軸沿航行體中心線指向前方，Oy軸與Ox垂直，當航行體水平放置時，指向上方為正.

基于前文對超空泡航行體空泡形態(tài)的預測及各部分流體動力的分析計算，利用動量定理與動量矩定理，可得超空泡航行體縱向運動模型表述如下：

(9)

2 最優(yōu)控制器設計及仿真

2.1 系統(tǒng)開環(huán)特性

圖2為系統(tǒng)零初始狀態(tài)下的開環(huán)響應曲線. 從中可以看出，超空泡航行體在無控狀態(tài)下由于重力的作用，航行深度與俯仰角無限制地增加，航行深度在數(shù)值上接近均勻增加，俯仰角在不斷變大的同時出現(xiàn)持續(xù)振蕩，過大的俯仰角最終將導致航行體的傾覆. 垂向速度與俯仰角速度基本保持等幅振蕩. 滑行力是超空泡航行體所受流體動力當中最復雜的一種，從圖2(e)中可知，初始時刻整個航行體完全處于空泡之中而未產(chǎn)生滑行力，隨后由于重力的作用，航行體尾部下沉并穿透空泡下壁面浸入水中而產(chǎn)生向上的滑行力. 滑行力隨尾部浸入深度的增加而迅速變大，導致航行體被彈回空泡中并繼續(xù)向上擺動與空泡上壁面接觸產(chǎn)生反向的滑行力. 航行體在運動過程中尾部不斷擺動，與空泡的上下壁面反復發(fā)生碰撞，滑行力呈現(xiàn)出周期性的振蕩.

根據(jù)以上對開環(huán)運動特性分析可知，在無控狀態(tài)下，系統(tǒng)由于沒有平衡點且存在強非線性項，超空泡航行體的運動是不穩(wěn)定的，其航行深度與俯仰角均不斷加大，滑行力呈現(xiàn)周期性的振蕩. 因此有必要加入反饋控制，使航行體能夠維持在空泡內(nèi)穩(wěn)定運動.

2.2 非線性控制器設計

基于式(9)所建立的非線性數(shù)學模型，采用精確線性化方法，通過適當?shù)姆蔷€性狀態(tài)反饋和反饋變換，實現(xiàn)輸入輸出的精確線性化[9]. 首先，將式(9)改寫為

(10)

式中：

通過求解李導數(shù)可知該MIMO系統(tǒng)的相對階r1=r2=2，總相對階為r=r1+r2=4. 重復對輸出yi進行微分，直至其表達式中出現(xiàn)控制輸入，可得

(11)

式中：

若A(x)可逆，則取狀態(tài)輸入變換為

(12)

式(12)代入式(11)可得如下簡單形式方程：

(13)

通過以上的非線性變換實現(xiàn)了輸入輸出線性化，同時實現(xiàn)了輸入輸出的解耦，即輸入νi僅對yi產(chǎn)生影響.

(14)

式中：

(15)

系數(shù)ki的選擇應使兩個解耦子系統(tǒng)所對應的特征多項式的所有根均位于左半復平面. 將式(15)代入式(14)可得誤差動態(tài)方程為

(16)

由于系統(tǒng)完全能控，因此存在狀態(tài)反饋控制器. 選取如下二次型性能指標泛函：

(17)

當式(17)取最小值時，可得線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為

(18)

式中P為滿足Riccati方程的正定對稱矩陣.

(19)

聯(lián)立式(12)(15)(18)，可得基于反饋線性化的最優(yōu)控制器最終表達式為

(20)

2.3 控制算法仿真分析

令系統(tǒng)在初始時刻的航行深度ye=-2 m，俯仰角分別為θ=1°，2°，3°，垂向速度vy=-3 m/s，俯仰角速度ωz=10°/s. 綜合考慮響應速度及控制面輸入的飽和等因素，選擇適當?shù)目刂破鲄?shù). 采用前述基于反饋線性化的最優(yōu)控制器對深度信號yr=-sint-2進行深度跟蹤控制仿真，得到仿真結果如圖3所示.

對圖3分析可知，當航行體存在初始擾動的條件下，由于航行體初始垂向速度為負，因此航行深度在初始階段略小于跟蹤信號. 而后在控制器的調(diào)節(jié)下快速地趨向指定深度信號，調(diào)節(jié)過程中超調(diào)較小. 在3種不同初始俯仰角條件下，穩(wěn)態(tài)誤差均小于2%，調(diào)節(jié)時間小于1.0 s，滿足控制精度的要求，較好地實現(xiàn)了深度跟蹤任務. 同時，如圖3(e)與圖3(f)所示，空化器及尾翼流體動力所產(chǎn)生的力矩在1.5 s后基本相互抵消，因此俯仰角及俯仰角速度能夠趨向恒定，即航行體的姿態(tài)得到了較好地控制. 此時深度方向的位移與速度的變化主要依賴空化器、尾翼流體動力的垂向分量及重力的共同作用下實現(xiàn).

系統(tǒng)以空化器及尾翼的偏轉作為控制輸入，對于實際執(zhí)行機構而言，其可操縱的范圍是有限的. 從圖3(g)與圖3(h)中可以看出，控制面在初始階段由于外部干擾的影響偏轉幅度較大，之后控制量迅速下降. 空化器偏轉范圍±6°，尾翼偏轉范圍±20°，控制面偏轉角度均在實際可以容許的范圍之內(nèi).

圖3(i)為航行體尾部滑行力隨時間的變化曲線. 分析可知航行體在初始階段產(chǎn)生了較大的滑行力，在控制器的調(diào)節(jié)下滑行力迅速從峰值下降，約1 s后滑行力變?yōu)?. 表明此時航行體尾部與水脫離接觸并完全處于空泡包裹中.

3 結 論

在精確線性化方法的基礎上，采用最優(yōu)控制理論設計了超空泡航行體縱平面運動深度跟蹤控制器，通過數(shù)值仿真得到以下結論：

① 超空泡航行體在無控狀態(tài)下的運動是不穩(wěn)定的，滑行力周期性地出現(xiàn)加速了航行體的失穩(wěn)，有必要加入主動控制以增強航行體的穩(wěn)定性；

② 控制器成功實現(xiàn)了對航行體的深度跟蹤，系統(tǒng)響應迅速且具有較高的控制精度；

③ 控制面偏轉角被較好地限制在可容許范圍內(nèi)，能夠滿足工程實際要求；

④ 在控制器的調(diào)節(jié)下，航行體在較短時間內(nèi)過渡到無滑行力狀態(tài)，尾部能夠穩(wěn)定在空泡內(nèi)而不與空泡壁面相互碰撞，提高了航行體的穩(wěn)定性，同時一定程度上降低了尾部的摩擦阻力.

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(責任編輯：劉雨)

Modeling and Simulating of Supercavitating Vehicles Based on Optimal Control

CHEN Chao-qian， CAO Wei， WANG Cong， WEI Ying-jie

(School of Astronautics， Harbin Institute of Technology， Harbin, Heilongjiang 150001， China)

The deviation of cavitation axis under maneuver conditions was investigated based on the principle of cavity expansion independence. Through computing the hydrodynamic forces acting on supercavitating vehicles, a nonlinear dynamics model of supercavitating vehicles was presented for the longitudinal plane. Regarding the problem of serious dynamic coupling and control coupling characteristics in the nonlinear system, precision linearization method was used to achieve decoupling. Then an optimal controller was designed to realize the progressive tracking in a given depth. The simulation results show that the control system is able to track depth signals effectively and possesses good control performance; supercavitating vehicles can maintain stability in cavity and have no contact with the cavity surface.

fluid mechanics; supercavitation; planing force; nonlinear; optimal control

2015-06-10

中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(HIT.NSRIF.2013033)

陳超倩(1987—)，男，博士生，E-mail:chenchaoqian321@163.com.

TJ 630.1

A

1001-0645(2016)10-1031-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.10.009