環(huán)Z4+uZ4+u2Z4上的循環(huán)碼

王艷萍,劉 麗

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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環(huán)Z4+uZ4+u2Z4上的循環(huán)碼

王艷萍,劉 麗

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009)

循環(huán)碼;環(huán)同態(tài);Gray映射;準(zhǔn)循環(huán)碼

1 環(huán)R=Z4+uZ4+u2Z4

設(shè)環(huán)R=Z4+uZ4+u2Z4(u3=0),則R是一個(gè)特征為4的交換環(huán),且其同構(gòu)如下：

環(huán)R中元素z有如下形式:z=a+ub+u2d,其中a,b,d∈Z4;環(huán)R的單位為{±1+iu+ju2|i,j∈Z4},環(huán)R的非單位為{l+mu+nu2|l=0,2;m,n∈Z4}。顯然環(huán)R的所有理想中,I2,u={i+ju+ku2|i=0,2;j,k∈Z4}是Z4+uZ4+u2Z4中唯一包含所有非單位的理想,因此I2,u是環(huán)R唯一極大理想且非主理想。

本文將環(huán)R的單位分成ο1和o2兩組,即

則對(duì)?b∈R,有

2 商環(huán)Rn及其性質(zhì)

2.1 定義

設(shè)Q為有限環(huán),Qn是分量屬于Q的n元數(shù)組，環(huán)Q上長(zhǎng)為n的線性碼是Qn的Q-子模，Q[x]是系數(shù)屬于Q的多項(xiàng)式環(huán)，商環(huán)Qn=Q[x]/〈xn-1〉。

定義1 對(duì)于任意的環(huán)Q,若N滿足N(c0,c1,…,cn-1)=(cn-1,c0,…,cn-2),其中,ci∈Q,i=1,2,…,n,則稱N是Q上的一個(gè)循環(huán)移位。

定義2 設(shè)C是環(huán)Q上長(zhǎng)為n的線性碼,若對(duì)?(c0,c1,…,cn-1)∈C,都有N(c0,c1,…,cn-1)=(cn-1,c0,…,cn-2)∈C,則稱C是Q上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼。

定義映射:

則映射η是一一映射。容易驗(yàn)證。

引理1 環(huán)Q上長(zhǎng)為n的線性碼C是循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng)η(C)是Q[x]/〈xn-1〉的理想。

2.2 環(huán)Rn的性質(zhì)

為了研究環(huán)R上循環(huán)碼的結(jié)構(gòu),首先要研究商環(huán)Rn=(Z4+uZ4+u2Z4)[x]/〈xn-1〉的結(jié)構(gòu)。

引理2 環(huán)Rn不是主理想環(huán)。

證明 由文獻(xiàn)[11]知,對(duì)任意有限環(huán)Q,Q[x]/〈xn-1〉?QM,QM是群環(huán),M是一個(gè)n階循環(huán)群M=〈m:mn=1〉。定義滿同態(tài)如下:

μ:QM→Q,

μ(u0+u1m+…+un-1mn-1)=u0+u1+…+un-1。

因此,可以定義同態(tài)映射如下:

顯然映射μ為滿同態(tài)。又因?yàn)榄h(huán)R的理想I=〈2,u〉不是主理想,可以令K=μ-1(I),顯然K是Rn的一個(gè)理想。又因?yàn)棣淌菨M射,所以μ(K)=μ(μ-1(I))=I。若K是主理想,則μ(K)=I也是主理想,這與I不是主理想矛盾。所以K不是主理想,從而環(huán)Rn不是主理想環(huán)。

命題1 當(dāng)n=2ks(s為大于1的奇數(shù))時(shí),環(huán)Rn是非局部環(huán)。

證明 由文獻(xiàn)[12]知,一個(gè)環(huán)是局部環(huán)，當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)的所有非單位構(gòu)成它的唯一極大理想。當(dāng)n=2ks(s是大于1的奇數(shù))時(shí),在Rn中,有

令h1(x)=x2k(s-1)+x2k(s-2)+…+1,則h1(x)是Rn的非單位。

又因?yàn)閟是大于1的奇數(shù),所以

令h2(x)=x2k(s-2)+x2k(s-3)+…+1。因?yàn)棣淌黔h(huán)同態(tài)映射,所以h2(x)是非單位。因?yàn)?/p>

所以μ(h1(x)+h2(x))=1+2(s-1)=1,從而h1(x)+h2(x)是Rn的單位,即在Rn中,非單位與非單位的和為單位。由此推出Rn的所有非單位不能構(gòu)成Rn的一個(gè)理想,結(jié)論成立。

命題2 若環(huán)Rn中的元素a不是0也不是單位,則a是Rn的零因子。

證明 設(shè)0≠a∈Rn是一個(gè)非單位,則

從而

于是存在b1,b2∈Rn,b1≠b2,使得：

b1a=b2a,

即

由此可得a是Rn的零因子。

定理1 若n=2k(k≥2),則環(huán)Rn是局部環(huán)。

證明 一個(gè)環(huán)是局部環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)該環(huán)的所有非單位構(gòu)成它的唯一極大理想。而在R2k中非單位乘以其任意一個(gè)元素都不可能是單位,因此只需證R2k的所有非單位構(gòu)成其一個(gè)加法子群。在環(huán)Rn中,若λ是環(huán)R的非單位,則δ+λf(x)是Rn中的單位(其中δ∈R)當(dāng)且僅當(dāng)δ是環(huán)R中的單位。

若Δ={1,3,1+2u2,3+2u2}，則Δ可以表示成Δ=1+2z的形式。

若Δ={0,2,2+2u2}，則Δ可以表示成Δ=2z的形式,其中z∈R。

因此,元素p=p0+p1x+…+p2k-1x2k-1是一個(gè)非單位當(dāng)且僅當(dāng)存在偶數(shù)個(gè)pi是單位,也就是有偶數(shù)個(gè)pi是非單位。又因?yàn)樵诃h(huán)R中,非單位與非單位的和為非單位,單位與單位的和為非單位,單位與非單位的和為單位。由此推出所有包含偶數(shù)個(gè)pi是單位的元素p構(gòu)成了R2k的一個(gè)加法子群。證畢。

2.3 Rn中單位和非單位的特點(diǎn)

用循環(huán)矩陣來(lái)表示RM，即:

由文獻(xiàn)[13]知,對(duì)于任意的ε∈Rn是單位當(dāng)且僅當(dāng)det(δ(ε))在環(huán)R中是單位,其中det表示循環(huán)矩陣行列式。

命題3ε=c0+c1x+…+cn-1xn-1是Rn中的單位當(dāng)且僅當(dāng)det(δ(ε))在R上是單位;ε∈Rn是非單位當(dāng)且僅當(dāng)det(δ(ε))∈I2,u。

例如,當(dāng)n=4時(shí),

ε在R4中是單位當(dāng)且僅當(dāng)det(δ(ε))在環(huán)R上是單位;ε在R4中是非單位當(dāng)且僅當(dāng)det(δ(ε))∈I2,u。

3 環(huán)R上循環(huán)碼結(jié)構(gòu)

記

S=Z4+uZ4,

R=Z4+uZ4+u2Z4,

為了尋求R4上循環(huán)碼的生成元,需要求出Sn上循環(huán)碼的生成結(jié)構(gòu)。首先,給出Z4[x]/〈xn-1〉的結(jié)構(gòu)。

引理3 設(shè)D為Z4[x]/〈xn-1〉中的循環(huán)碼[14],則有：

(1) 若n為奇數(shù),則Z4[x]/〈xn-1〉為一個(gè)主理想環(huán),D=〈g(x),2a(x)〉=〈g(x)+2a〉,其中,g(x),a(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,且a(x)|g(x)|(xn-1)mod 2。

(2) 若n為偶數(shù),且g(x)=a(x),則D=〈g(x)+2p(x)〉,其中，g(x),p(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,且g(x)|(xn-1)mod 2,g(x)|p(x)((xn-1)/g(x))；g(x)≠a(x),則D=〈g(x)+2p(x),2a(x)〉,其中,g(x),a(x),p(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,且a(x)|g(x)|(xn-2)mod 2,a(x)|p(x)((xn-1)/g(x))，degg(x)> dega(x)>degp(x)。

定義映射φ1:R→S,使得φ1(a+ub+u2d)=a+ub,易證φ1是同態(tài)映射,且kerφ1=u2Z4。此映射可擴(kuò)展為多項(xiàng)式環(huán)上的一個(gè)同態(tài)映射Ψ1:

設(shè)C是R上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼,則C是Rn的理想。將Ψ1限制在C上,則Ψ1(C)在循環(huán)移位下也是不變的，因此C在Ψ1下的像Im (Ψ1)為S上的循環(huán)碼,而ker (Ψ1)是u2Z4上的循環(huán)碼。

同樣定義映射φ2:S→Z4,使得φ2(a+ub)=a。易證φ2是同態(tài)映射,kerφ2=uZ4,擴(kuò)展映射如下:

設(shè)F是S上的循環(huán)碼,則F是Sn的理想。將Ψ2限制在F上,則Ψ2(F)在循環(huán)移位下也是不變的，因此F在Ψ2下的像Im(Ψ2)是Z4上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼,而ker(Ψ2)是u2Z4上的循環(huán)碼。

定理2 設(shè)F是Sn上的循環(huán)碼,則

(1) 若n為奇數(shù),則有：

ug2(x)+2ua2(x)〉,

其中g(shù)i(x),ai(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,ai(x)|gi(x)|(xn-1)mod 2,i=1,2,b(x)∈Z4[x]/〈xn-1〉。

(2) 若n為偶數(shù),則有：

2a1(x)+ub2(x),

ug2(x)+2up2(x),2ua2(x)〉,

其中,gi(x),ai(x),pi(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,bi(x)∈Z4[x]/〈xn-1〉,滿足：

若gi(x)=ai(x),則有：

ug2(x)+2up2(x)〉,

其中,gi(x)|pi(x)((xn-1)/gi(x)),i=1,2；b3(x)∈Z4[x]/〈xn-1〉。

證明 (1) 若n為奇數(shù),則Z4[x]/〈xn-1〉中的理想D′=〈g(x),2a(x)〉=〈g(x)+2a(x)〉。

因?yàn)镮m(Ψ2)是Z4上的循環(huán)碼,所以

其中,a1(x)|g1(x)|(xn-1)mod 2。又因?yàn)閗er(Ψ2)是uZ4上的循環(huán)碼,所以

其中,a2(x)|g2(x)|(xn-1)mod 2。結(jié)論成立。

(2) 若n為偶數(shù),則Z4[x]/〈xn-1〉中的理想D″=〈g(x)+2p(x),2a(x)〉。

因?yàn)镮m(Ψ2)是Z4上的循環(huán)碼,所以

又因?yàn)閗er(Ψ2)是uZ4上的循環(huán)碼,所以

其中,gi(x)、ai(x)、pi(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,且滿足ai(x)|pi(x)((xn-1)/gi(x)),ai(x)|gi(x)|(xn-1)mod 2。結(jié)論成立。

定理3 設(shè)C為Rn中的循環(huán)碼,

(1) 若n為奇數(shù),則有：

ug2(x)+2ua2(x)+u2d2(x),

u2g3(x)+2u2a3(x)〉，

其中，gi(x),ai(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,ai(x)|gi(x)|(xn-1)mod 2,i=1,2,3，b1(x),d1(x),d2(x)∈Z4[x]/〈xn-1〉。

(2) 若n是偶數(shù),則

2a1(x)+ub2(x)+u2r2(x),

ug2(x)+2up2(x)+u2r3(x),

2ua2(x)+u2r4(x),

其中,gi(x),ai(x),pi(x)∈Z2[x]/〈xn-1〉,i=1,2,3；bj(x),rk(x)∈Z4[x]/〈xn-1〉,j=1,2;k=1,2,3,4,滿足ai(x)|pi(x)((xn-1)/gi(x)),ai(x)|gi(x)|(xn-1)mod 2。

若gi(x)=ai(x),則有：

ug2(x)+2up2(x)+u2r6(x),

其中,gi(x)|pi(x)((xn-1)/gi(x));b3(x),rk(x)∈Z4[x]/〈xn-1〉,k=5,6。

證明 (1) 若n為奇數(shù),則環(huán)Sn中的理想F′=〈g1(x)+2a1(x)+ub1(x),ug2(x)+2ua2(x)〉。

因?yàn)镮m(Ψ1)是環(huán)S上的循環(huán)碼,所以Im(Ψ1)=〈g1(x)+2a1(x)+ub1(x),ug2(x)+2ua2(x)〉。又因?yàn)閗er(Ψ1)是u2Z4上的循環(huán)碼,所以有：

其中,ai(x)|gi(x)|(xn-1)mod 2,i=1,2,3,4。

綜上可得環(huán)Rn上的長(zhǎng)為n的循環(huán)碼為:

ug2(x)+2ua2(x)+u2d2(x),

u2g3(x)+2u2a3(x)〉。

(2) 若n為偶數(shù),證明方法同上。

例 當(dāng)n=7時(shí),x7-1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1)mod 2。取

則環(huán)Sn上的循環(huán)碼如下:

環(huán)Rn上的循環(huán)碼如下:

2u(x3+x+1)+u2(2x+3),u2(x3+

4 環(huán)R上循環(huán)碼的Gray像

定義3 設(shè)C是環(huán)R上長(zhǎng)度為n=ml的線性碼，若對(duì)任意(c0,c1,…,cn-1)∈C,有

其中,下角標(biāo)作模n運(yùn)算,則C稱為R上的l-準(zhǔn)循環(huán)碼。

定義映射:

其中,a、b、d∈Z4。

顯然映射ξ為雙射。映射ξ可擴(kuò)展為:

定義4 定義R上的Lee重量wL為:

wL(a+ub+u2b)=wL(d,d+b,a+b+d),

環(huán)Rn中碼字的Lee重量為其碼元的Lee重量之和,2個(gè)碼字c、c′的Lee距離為c-c′的Lee重量,因此可得以下定理。

引理4 設(shè)N是一個(gè)循環(huán)移位,則

綜上可得ξ°N=N3°ζ。

定理5 若P是R上長(zhǎng)為n的線性碼且碼字個(gè)數(shù)為K,則ξ(P)是Z4上長(zhǎng)為3n的線性碼且碼字個(gè)數(shù)也為K。

證明 由定理4可知ζ是保距映射。由ζ的定義知,ζ(P)的長(zhǎng)度為3n。令

對(duì)于0≤i≤n-1,有

于是

若α∈Z4,p∈R,則有：

由上可知,ζ保持線性運(yùn)算。又因?yàn)棣剖请p射,所以P和ζ(P)有相同的碼字。

定理6 若P是R上長(zhǎng)為n的循環(huán)碼,則ζ(P)是Z4上長(zhǎng)為3n的3-準(zhǔn)循環(huán)碼。

證明 設(shè)P是R上的循環(huán)碼,則N(P)=P。由引理4得:

結(jié)論成立。

5 結(jié) 論

本文主要對(duì)環(huán)Z4+uZ4+u2Z4上任意長(zhǎng)度的循環(huán)碼進(jìn)行了研究,得到了循環(huán)碼的結(jié)構(gòu),并研究了環(huán)Z4+uZ4+u2Z4上循環(huán)碼的一個(gè)Gray像。對(duì)于有限非鏈環(huán)上循環(huán)碼理論的研究,本文具有一定的推廣價(jià)值及借鑒意義。環(huán)Z4+uZ4+u2Z4上常循環(huán)碼或負(fù)循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)與性質(zhì),將是進(jìn)一步研究的方向。

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(責(zé)任編輯 朱曉臨)

Cyclic codes over the ringZ4+uZ4+u2Z4

WANG Yanping,LIU Li

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

cyclic code; ring homomorphism; Gray map; quasi-cyclic code

2015-04-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201107；11401154)

王艷萍(1989-),女,安徽太和人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生;

劉 麗(1965-),女,安徽樅陽(yáng)人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.10.027

TN911.22

A

1003-5060(2016)10-1432-06