混合信道下LDPC碼穩(wěn)定條件分析及度序列優(yōu)化

孫康寧，馬林華,2，茹樂，范文同，胡星，黃紹城

（1. 空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西 西安 710038；2. 西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；3. 解放軍94626部隊(duì)，福建 福州 350002）

混合信道下LDPC碼穩(wěn)定條件分析及度序列優(yōu)化

孫康寧1，馬林華1,2，茹樂1，范文同3，胡星1，黃紹城1

（1. 空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西 西安 710038；2. 西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；3. 解放軍94626部隊(duì)，福建 福州 350002）

在高斯噪聲和隨機(jī)刪除同時(shí)存在的背景下，提出LDPC碼度序列的穩(wěn)定收斂條件，理論證明了高斯信道下閾值較高的度序列不適用于混合信道，并仿真驗(yàn)證了該結(jié)論。將隨機(jī)粒子群算法和模擬退火算法相結(jié)合，不同刪除概率下尋找到了一些高閾值混合信道的度序列，刪除概率為40%時(shí)，度序列信噪比閾值最大可提高1.615 9 dB，適用于光記錄、伴隨窄帶阻塞干擾的跳頻通信等混合信道環(huán)境。

低密度奇偶校驗(yàn)碼；混合信道；高斯近似；隨機(jī)粒子群優(yōu)化；模擬退火

1 引言

低密度奇偶校驗(yàn)（LDPC, low density parity check）碼由于其逼近香農(nóng)限的優(yōu)異性能[1～4]，已經(jīng)成為一種應(yīng)用范圍廣泛的信道編碼。設(shè)計(jì)性能優(yōu)異的LDPC碼的一個(gè)關(guān)鍵因素就是尋找合適的高閾值度序列，且滿足穩(wěn)定收斂條件[5]。LDPC的糾錯(cuò)性能具有門限效應(yīng)，即當(dāng)實(shí)際信噪比大于度序列的閾值σ時(shí)，隨著碼字長(zhǎng)度的增大并經(jīng)過一定次數(shù)的迭代后，錯(cuò)誤概率可以小于任意的數(shù)ε。

當(dāng)前，在各類信道上的度序列設(shè)計(jì)已經(jīng)取得了豐碩的成果，Richardson等[5]對(duì)高斯信道、二進(jìn)制對(duì)稱信道、二進(jìn)制刪除信道下的LDPC碼度序列設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，提出了廣義的穩(wěn)定收斂條件，并給出了一些高斯信道下優(yōu)秀的度序列。Hou等[6]提出了瑞利信道下的度序列穩(wěn)定收斂條件，仿真了一些瑞利信道下優(yōu)秀的度序列。然而，針對(duì)高斯噪聲和隨機(jī)刪除同時(shí)存在的混合信道的LDPC碼度序列卻一直未被人們所關(guān)注，適合不同刪除概率的混合信道度序列一直未被提出，這種信道廣泛地存在于光記錄、伴隨窄帶阻塞干擾的跳頻通信等應(yīng)用環(huán)境中，且在工程實(shí)際中一般都是運(yùn)用高斯信道下性能優(yōu)異的度序列[7～10]。

本文首先從理論和仿真實(shí)驗(yàn)這2個(gè)方面證明了高斯信道下性能好的度序列在混合信道下性能不一定好，尤其是在高刪除概率時(shí)，性能退化較為嚴(yán)重，因此在該環(huán)境下設(shè)計(jì)優(yōu)化的度序列是很有必要的。其次，結(jié)合混合信道下的高斯近似方法[11,12]，利用隨機(jī)粒子群與模擬退火相結(jié)合的尋優(yōu)算法[13,14]，對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行合理的降維，在不同刪除概率的條件下搜索出一些閾值較高的度序列，較高斯信道下閾值較高的度序列應(yīng)用在混合信道時(shí)優(yōu)勢(shì)明顯,可以較好地適應(yīng)實(shí)際中的光記錄及伴隨窄帶阻塞干擾的跳頻通信環(huán)境。

2 混合信道特性

在光記錄環(huán)境中，由于光介質(zhì)表面劃痕的存在，會(huì)在進(jìn)行激光激勵(lì)寫入操作時(shí)造成信息無法寫入，發(fā)生數(shù)據(jù)刪除，加上熱表面高斯噪聲，嚴(yán)重影響讀取時(shí)的數(shù)據(jù)恢復(fù)能力[11]；在帶有窄帶阻塞干擾的跳頻通信中，由于在部分頻帶的強(qiáng)干擾壓制，使在這些頻點(diǎn)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)嚴(yán)重失真，在接收端通過信道估計(jì)手段可確定受干擾的頻點(diǎn)，從而將這些頻點(diǎn)傳輸?shù)男畔h除，需要利用從其他頻點(diǎn)接收到數(shù)據(jù)進(jìn)行糾錯(cuò)恢復(fù)。上述2種環(huán)境的信道均可被稱為混合信道，如圖1所示。

其中，x表示二進(jìn)制源信息{0,1}；c表示LDPC碼編碼并經(jīng)過BPSK映射的信息{+1,?1}；n表示加性高斯白噪聲表示乘性刪除噪聲，為未進(jìn)行譯碼迭代時(shí)信道初始刪除概率；r為信道輸出值；表示經(jīng) LDPC碼譯碼器譯碼并進(jìn)行了 BPSK解調(diào)的{0,1}信息。信道輸出數(shù)值r的概率密度函數(shù)如圖2所示，其中表示c=±1時(shí)譯碼器前端接收信號(hào)數(shù)值的概率密度函數(shù)為沖擊函數(shù)。當(dāng)r=0時(shí)，一種情況是未被刪除的，由于高斯噪聲造成的信道輸出值為 0；另一種情況是該碼元被刪除的，在譯碼端被視為0。

因此，信道輸出概率密度函數(shù)的 LLR(對(duì)數(shù)似然比)可以表示為

本文在進(jìn)行高斯近似分析及穩(wěn)定收斂條件推導(dǎo)時(shí)均基于上述信道。

3 混合信道下非規(guī)則碼的高斯近似

Jeongseok等[11]把高斯近似拓展到了混合信道，利用該方法在混合信道下計(jì)算度序列閾值，混合信道下高斯近似簡(jiǎn)述如下。

為了描述非規(guī)則碼度序列，設(shè)

其中，λ(x)、ρ(x)分別為變量節(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度分布，λi和ρi分別代表與度為i的變量節(jié)點(diǎn)、校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)相連的邊占總邊數(shù)的比率。

由于概率密度函數(shù)滿足對(duì)稱性條件，則第k次迭代時(shí)，變量消息和校驗(yàn)消息u(k)的分布，分別近似服從和分布，其中，為k次迭代時(shí)變量（校驗(yàn)）節(jié)點(diǎn)消息的平均值，并且可得為噪聲方差

與高斯信道下的高斯近似不同，隨機(jī)刪除的存在導(dǎo)致了混合信道下校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)消息均值回歸方程[11]變?yōu)?/p>

其中，φ(x)為定義的單調(diào)遞減函數(shù)如下

4 混合信道下度序列的穩(wěn)定收斂條件

Richardson等[5]提出了LDPC碼的廣義穩(wěn)定收斂條件，具體如下。

必要性：如果度序列滿足λ′(0)ρ′(1) gt;er，存在一個(gè)常數(shù)，當(dāng)譯碼迭代次數(shù)，錯(cuò)誤概率

充分性：如果度序列滿足λ′(0)ρ′(1) lt;er，存在一個(gè)常數(shù)，當(dāng)譯碼迭代次數(shù)，錯(cuò)誤概率

也就是說，如果給定的度序列不滿足所在信道的穩(wěn)定收斂條件，其誤碼率會(huì)存在一個(gè)下限，影響LDPC碼的糾錯(cuò)性能。

根據(jù)上述理論，本文給出了混合信道下LDPC碼度序列穩(wěn)定性條件，過程如下。

根據(jù)廣義穩(wěn)定收斂條件[5]得

混合信道

由式(9)可以推斷出：高斯信道下性能較好的度序列在混合信道條件下不一定是最優(yōu)的，尤其是在高刪除概率條件下。

下面通過混合信道密度進(jìn)化的高斯近似，給出混合信道下編碼效率為0.5的2個(gè)度序列在不同刪除概率條件下與香農(nóng)限距離的變化曲線，如圖3所示。

度序列A為

度序列B為

圖3 不同刪除概率下與香農(nóng)限的距離

從圖3中可以看出，度序列A雖然在沒有數(shù)據(jù)刪除的高斯信道下性能較度序列B差，但是隨著刪除概率的提高，其性能逐漸超越度序列B。此變化趨勢(shì)驗(yàn)證了上述推導(dǎo)的結(jié)論。

5 混合隨機(jī)粒子群優(yōu)化

李森、孫藝等[13,14]提出了一種混合隨機(jī)粒子群算法，能確保解為全局最優(yōu)解，在高斯信道下尋找到了更接近香農(nóng)限的度序列，本文將此方法用于尋找混合信道下優(yōu)化的度序列。其基本思想就是將隨機(jī)粒子群算法與模擬退火算法結(jié)合，對(duì)停止進(jìn)化的粒子以高斯變異的方法產(chǎn)生一個(gè)鄰域內(nèi)的變異點(diǎn)，以此進(jìn)行模擬退火尋找最優(yōu)點(diǎn)。

The procedure for the sample preparation of flavonoids was the same as that for alkaloids, except that the extraction solvent of methanol (40 mL) was used, and the volumes of the successive filtrate and injection were 20 mL and 20 mL, respectively.

隨機(jī)粒子群算法的主要計(jì)算式如下

實(shí)現(xiàn)過程：1) 初始化各參數(shù)及粒子的位置，并計(jì)算各粒子的適應(yīng)值 f(?)，也稱為目標(biāo)函數(shù)；2) 對(duì)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)并且其他的粒子也無法找到更優(yōu)解時(shí)，則會(huì)出現(xiàn)粒子聚集的現(xiàn)象，喪失搜索能力，此時(shí)為改善此現(xiàn)象，記錄最好位置pg，并在搜索范圍內(nèi)重新隨機(jī)生成粒子j的新位置其他粒子仍然按照式(12)、式(13)進(jìn)化；3) 最后，若滿足停止條件，則輸出解，否則返回過程2)，繼續(xù)進(jìn)行尋優(yōu)。

為了使隨機(jī)生成粒子j的新位置更加趨近于最優(yōu)解，本文利用具有局部最佳逃離能力的模擬退火(SA)算法更新位置。

停止進(jìn)化粒子的模擬退火更新過程如下。

在進(jìn)行模擬退火更新時(shí)需引入一個(gè)高斯變異波動(dòng)方差值δ控制新位置的范圍，避免新位置的過分偏離，根據(jù)度序列約束條件，本文設(shè)定

文獻(xiàn)[15,16]中提出，校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)的度序列的性能限影響不大，且一般只有2～3項(xiàng)，本文在優(yōu)化過程中選取具有2個(gè)非零項(xiàng)的校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度序列，根據(jù)已知的碼率和尋找到的最優(yōu)變量節(jié)點(diǎn)的度分布即可推算出校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)度分布，以此降低搜索難度，解空間的圍數(shù)降至，簡(jiǎn)化了粒子群優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。本文粒子群優(yōu)化問題變?yōu)閷ふ遥渲?，f(λ)為最小化目標(biāo)函數(shù)，為利用混合信道下高斯近似得到的給定度序列的閾值。

6 混合信道高閾值度序列

本文搜索到了一些刪除概率為0.1～0.4的混合信道條件下閾值較高的度序列，與文獻(xiàn)[5]中的度序列在混合信道時(shí)的閾值進(jìn)行了對(duì)比，并將閾值的提高轉(zhuǎn)化成信噪比閾值之差ΔSNR的形式進(jìn)行表示。σ表示本文搜索到的優(yōu)化的度序列在一定刪除概率的混合信道下的閾值，σ*表示文獻(xiàn)[5]中度序列在一定刪除概率的混合信道下的閾值。

由表1～表4可知，本文搜索到的度序列在各個(gè)刪除概率的混合信道下閾值均優(yōu)于文獻(xiàn)[5]中提出的度序列，尤其是在高刪除概率時(shí)，度序列的信噪比容量最大提升了 1.615 9 dB。此外，可以觀察到隨著變量節(jié)點(diǎn)最大度數(shù)的提高，優(yōu)化度序列性能提升的幅度降低，這是因?yàn)樽畲蠖葦?shù)越大，度序列性能越接近香農(nóng)限，可提高的空間也就越小。但最大度數(shù)的提高帶來的是校驗(yàn)矩陣平均列重的增大，提高了編譯碼復(fù)雜度，因此在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)根據(jù)硬件特點(diǎn)合理選擇度序列。

表1 10%刪除概率的混合信道下優(yōu)秀的度序列

表2 20%刪除概率的混合信道下優(yōu)秀的度序列

表3 30%刪除概率的混合信道下優(yōu)秀的度序列

表4 40%刪除概率的混合信道下優(yōu)秀的度序列

7 結(jié)束語(yǔ)

混合信道下LDPC碼的相關(guān)設(shè)計(jì)問題一直以來未能引起研究人員的足夠重視，本文通過對(duì)混合信道下LDPC碼度序列的研究，提出了該信道下度序列穩(wěn)定收斂條件，并與高斯信道度序列穩(wěn)定收斂條件進(jìn)行了對(duì)比，得出了高斯信道下性能較好的度序列在混合信道條件下不一定最優(yōu)的結(jié)論，并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。通過混合粒子群算法進(jìn)行尋優(yōu)，尋找到了一些在不同刪除概率的混合信道下閾值較高的度序列。這些度序列適用于光記錄環(huán)境及伴隨有窄帶阻塞干擾的跳頻通信環(huán)境，能有效提高這些應(yīng)用的抗噪聲性能。

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Analysis of stability condition for LDPC codes and optimizing degree sequences over mixed channel

SUN Kang-ning1, MA Lin-hua1,2, RU Le1, FAN Wen-tong3, HU Xing1, HUANG Shao-cheng1
（1. Aeronautics and Astronautics Engineering College, Air Force Engineering University, Xi'an 710038, China;2. State Key Laboratory of Integrated Services Networks, Xidian University, Xi'an 710071, China;3. PLA 94626 Troops, Fuzhou 350002, China）

Under the circumstance that white Gaussian noise and random erasures exist all at once, the stability condition for LDPC codes over mixed channel was proposed. And it was proved that a good degree sequence of LDPC codes was not optimized over mixed channel. It can also be proved by simulation. The random particle swarm optimization (RPSO)and simulated annealing (SA) algorithm were combined to find some capacity-approaching degree sequences over mixed channel with different erasure probabilities. The threshold of signal-to-noise ratio improves 1.615 9 dB than that of the classical degree sequences calculated by Gaussian approximation over mixed channel. These degree sequences are optimal for optical recording and frequency-hopping communication with narrow-band interference.

low density parity check codes, mixed channel, Gaussian approximation, random particle swarm optimization (RPSO), simulated annealing

s: The National Natural Science Foundation of China (No.61472442), Open Foundation of the State Key Laboratory of Integrated Services Networks, Xidian University (No.INS-15-13), Aviation Science Foundation (No.20155896025)

TN911.22

A

10.11959/j.issn.1000-436x.2016188

2015-08-24；

2016-01-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.61472442）；綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（西安電子科技大學(xué)）開放研究基金資助項(xiàng)目（No.INS-15-13）；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.20155896025）

孫康寧（1991-），男，山東淄博人，空軍工程大學(xué)碩士生，主要研究方向?yàn)樾诺谰幋a、光磁記錄技術(shù)、抗干擾通信。

馬林華（1965-），男，陜西漢中人，博士，空軍工程大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榭垢蓴_通信、信道編碼、無線自組織網(wǎng)絡(luò)。

茹樂（1978-），男，陜西西安人，博士，空軍工程大學(xué)副教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)楣獯庞涗浖夹g(shù)、抗干擾通信。

范文同（1983-），男，江蘇鹽城人，博士，解放軍94626部隊(duì)助理工程師，主要研究方向?yàn)樾诺谰幋a、協(xié)作通信、無線自組織網(wǎng)絡(luò)。

胡星（1990-），男，河南南陽(yáng)人，空軍工程大學(xué)博士生，主要研究方向?yàn)槟M量編碼、衛(wèi)星通信。

黃紹城（1990-），男，廣西貴港人，空軍工程大學(xué)博士生，主要研究方向?yàn)闊o人機(jī)自組織網(wǎng)絡(luò)。