基于非局部全變差和部分支撐已知的CS-MR圖像重建方法

趙地，杜慧茜，韓宇，梅文博

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

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基于非局部全變差和部分支撐已知的CS-MR圖像重建方法

趙地，杜慧茜，韓宇，梅文博

(北京理工大學(xué) 信息與電子學(xué)院，北京 100081)

提出一種基于壓縮感知(CS)的磁共振(MR)圖像重建方法.利用參考圖像和目標(biāo)圖像結(jié)構(gòu)的相似性，提取參考圖像在小波域中L個(gè)大系數(shù)的索引集作為目標(biāo)圖像的已知支撐集，約束已知支撐集補(bǔ)集中小波系數(shù)的l1范數(shù).此外，采用非局部全變差(NLTV)作為規(guī)整化項(xiàng)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)快速合成分離算法(FCSA)重建目標(biāo)圖像.仿真結(jié)果證明，該方法能有效保留圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息，抑制噪聲干擾，在相同采樣數(shù)據(jù)量下，重建性能優(yōu)于經(jīng)典CS-MRI和其他同類(lèi)方法.

核磁共振成像；壓縮感知；非局部全變差；Modified-CS；快速合成分離算法

核磁共振成像(magnetic resonance imaging，MRI)技術(shù)在醫(yī)學(xué)診斷中起著重要的作用，然而由于成像設(shè)備的物理特性和人體本身的生理特點(diǎn)等因素，成像速度慢，數(shù)據(jù)采集時(shí)間長(zhǎng)是多年來(lái)難以突破的瓶頸.近年來(lái)提出的壓縮感知理論(compressed sensing，CS)[1-3]利用信號(hào)的稀疏性作為先驗(yàn)信息，可以由少量觀測(cè)值精確地恢復(fù)原信號(hào).將CS理論應(yīng)用到MRI領(lǐng)域可在保證成像質(zhì)量的前提下，大幅縮短掃描時(shí)間，提高成像速度[4-7].Lustig等[4]首先提出了基于CS的MR圖像重建模型(以下稱(chēng)經(jīng)典的CS-MRI模型)：

(1)

經(jīng)典的CS-MRI只利用了圖像的稀疏特性.而在實(shí)際的MRI應(yīng)用中，往往需要在同一場(chǎng)景下不同時(shí)間段獲取多幅MR圖像.這種情況下，獲取的多幅圖像之間有著非常相似的結(jié)構(gòu)，高分辨率參考圖像可以為目標(biāo)圖像的重建提供更多的先驗(yàn)信息，從而進(jìn)一步降低采樣數(shù)據(jù)量.如文獻(xiàn)[8-10]就是將目標(biāo)圖像建模為參考圖像與差異圖像的組合，利用差異圖像的稀疏性，將目標(biāo)圖像的重建問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)差異圖像的CS重建.

不同于上述方法，本文不引入差異圖像，而是直接利用目標(biāo)圖像與參考圖像的結(jié)構(gòu)相似性提出一種新的重建模型.模型中包括數(shù)據(jù)保真項(xiàng)和兩個(gè)規(guī)整化項(xiàng).由于目標(biāo)圖像與參考圖像的結(jié)構(gòu)相似，本文將參考圖像在小波域中大系數(shù)的索引集作為目標(biāo)圖像的已知支撐集，約束已知支撐集補(bǔ)集中小波系數(shù)的l1范數(shù)，以降低采樣數(shù)據(jù)量.同時(shí)還約束目標(biāo)圖像的非局部全變差(nonlocal total variation，NLTV)[11-13]，目的是為了保持圖像邊緣及細(xì)節(jié)信息，避免TV規(guī)整化引起的塊狀效應(yīng)和圖像質(zhì)量的退化.本文提出的重建模型包含兩個(gè)非光滑的規(guī)整化項(xiàng)，傳統(tǒng)的求解方法(如共軛梯度法[4]，偏微分方程法[14])收斂速度慢，制約著MR成像的速度.本文采用近年來(lái)由J.Huang等[12，15]提出的快速合成分離算法(fast composite splitting algorithm，F(xiàn)CSA)求解目標(biāo)圖像.該算法將復(fù)雜的復(fù)合規(guī)整化問(wèn)題分解為多個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題并行求解，收斂速度快，能夠在提高重建精確度的同時(shí)降低計(jì)算的復(fù)雜度.仿真結(jié)果證明，本文方法在重建性能上優(yōu)于經(jīng)典方法和其他同類(lèi)方法，可以在保證重建質(zhì)量的前提下，進(jìn)一步降低采樣數(shù)據(jù)量，提高成像效率.

1 重建方法

1.1 重建模型

本文基于參考圖像和目標(biāo)圖像之間結(jié)構(gòu)的相似性，利用參考圖像獲取先驗(yàn)信息，并結(jié)合NLTV的優(yōu)勢(shì)，提出一種新的MR圖像重建模型：

(2)

重建模型中第2項(xiàng)的理論依據(jù)來(lái)自N.Vaswani[16]提出的Modified-CS.該理論證明，若已知信號(hào)的部分支撐，則可通過(guò)約束該信號(hào)在已知支撐集補(bǔ)集上的l1范數(shù)，獲得相同測(cè)量率下更為精確的重建.已知支撐集信息的獲取需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用確定.由于參考圖像與目標(biāo)圖像具有結(jié)構(gòu)相似性，其小波域支撐中具有較大幅值的小波系數(shù)遵循近似相同的分布，因此，參考圖像Ir在小波域中的大系數(shù)的索引集可視為目標(biāo)圖像的已知支撐集T.本文約束目標(biāo)圖像在Tc上的l1范數(shù)作為規(guī)整化項(xiàng)，以提高重建精確度.

式(2)中第3項(xiàng)約束目標(biāo)圖像的NLTV范數(shù)，此規(guī)整化項(xiàng)可有效克服經(jīng)典TV規(guī)整化帶來(lái)的塊狀效應(yīng)，保持圖像的邊緣及細(xì)節(jié)信息，同時(shí)抑制噪聲干擾.對(duì)一幅定義在Ω上的圖像x，其N(xiāo)LTV定義為[11-12]

(3)

式中：x(u)和x(v)表示像素u和v處的像素值(u和v為二維向量，表征像素點(diǎn)坐標(biāo)).權(quán)重函數(shù)w(u，v)表征像素點(diǎn)u和v之間的差異被懲罰的程度，由下式給出：

(4)

其中，

(5)

(6)

定義了以像素u和v為中心，大小為m×m(m為奇數(shù))的圖塊qx(u)和qx(v).

由式(4)定義的權(quán)重函數(shù)度量了圖塊qx(u)和qx(v)的相似性.對(duì)于每一對(duì)(u，v)，權(quán)重w(u，v)為標(biāo)量，且具有非負(fù)性和對(duì)稱(chēng)性，即w(u，v)=w(v，u).Zx為歸一化因子，參數(shù)σ制約圖塊間的相似程度.

經(jīng)典TV僅考慮相鄰像素點(diǎn)間的作用，故具有“局部性”.而式(3)定義下的NLTV，除考慮相鄰像素點(diǎn)外，還包含更大范圍(甚至整個(gè)圖像域)，“非局部”的命名也由此而來(lái).

1.2 算 法

對(duì)于經(jīng)典的CS-MRI重建，一幅256×256的圖像就需求解數(shù)萬(wàn)個(gè)參數(shù)，對(duì)于此類(lèi)復(fù)雜的大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，前人多采用共軛梯度法，偏微分方程法等求解，然而這些算法收斂速度慢，計(jì)算復(fù)雜度高，嚴(yán)重制約了其在實(shí)際MRI中的應(yīng)用.近年來(lái)提出的TVCMRI[17]和RecPF[18]方法可以實(shí)現(xiàn)經(jīng)典的CS-MRI圖像的快速重建，但并未給出關(guān)于計(jì)算復(fù)雜度邊界的理論證明.本文采用更為先進(jìn)的FCSA算法求解所提出的重建問(wèn)題，該算法基于變量可分離和算子可分離技術(shù)，將復(fù)雜的復(fù)合規(guī)整化問(wèn)題分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題并行求解，然后對(duì)子問(wèn)題的最優(yōu)解進(jìn)行加權(quán)平均，經(jīng)過(guò)若干次迭代重建出目標(biāo)圖像.每次迭代中的復(fù)雜度邊界為O(plogp)，其中p為待重建圖像的像素個(gè)數(shù)[15].

應(yīng)用FCSA算法求解本文重建模型的步驟如下：

步驟1 對(duì)參考圖像進(jìn)行小波分解，選取最大的L個(gè)小波系數(shù)的索引集作為目標(biāo)圖像的已知支撐集T.

fork=1toKdo

xg=rk-ρ

end for

上述算法中有關(guān)記號(hào)和函數(shù)的定義說(shuō)明如下：

② 關(guān)于連續(xù)的凸函數(shù)g(x)的近似映射(proximalmap)定義為

(7)

式中ρ>0為標(biāo)量.

③ 投影函數(shù)x=project(x，[l，u])定義為

(8)

由于本文中所用圖像均為8-bit的灰度MR圖像，因此選取l=0，u=255.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文實(shí)驗(yàn)均在Matlab2011b環(huán)境下運(yùn)行，PC平臺(tái)配置為Pentium E5300，2.6 GHz CPU，2 GB內(nèi)存.實(shí)驗(yàn)中所用MR圖像的尺寸均為256×256.為了評(píng)估本文方法的重建性能，并分析參考圖像提供的支撐信息和NLTV規(guī)整化項(xiàng)對(duì)重建的貢獻(xiàn)，選取兩組實(shí)際的MR圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與下列3種方法進(jìn)行比較：

① 經(jīng)典的CS-MRI重建方法[4]，即式(1).

②l1-NLTV方法[12]，重建模型如式(9)：

(9)

③ Modified-CS-TV方法，重建模型如式(10).

(10)

以上各重建方法均采用FCSA算法求解，選定參數(shù)ρ=1.本文實(shí)驗(yàn)采用如圖1所示的變密度采樣模板獲取k空間數(shù)據(jù).NLTV中圖塊大小都選定為5×5(即m=5).對(duì)多幅MR圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)可知，一般選擇參考圖像最大的前20%小波系數(shù)為目標(biāo)圖像提供已知支撐.

2.1 實(shí)驗(yàn)1

首先選取圖2(a)為參考圖像，2(b)為待重建的目標(biāo)圖像，它們來(lái)自同一病人腦部掃描序列.

圖3顯示了10%測(cè)量率下各種方法的重建結(jié)果.此實(shí)驗(yàn)中，選取參考圖像最大的L=10 036個(gè)小波系數(shù)對(duì)應(yīng)的索引集作為目標(biāo)圖像在小波域的已知支撐集，規(guī)整化參數(shù)λ=10-2，α=5×10-3.

從圖3所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，由于采樣數(shù)據(jù)量有限，經(jīng)典的CS-MRI方法無(wú)法獲得清晰的重建圖像.NLTV規(guī)整化項(xiàng)的引入，使l1-NLTV方法的重建性能有所提升，重建結(jié)果證明了NLTV較TV能更好地保持邊緣及細(xì)節(jié)信息，并有效抑制噪聲，提高信噪比.Modified-CS-TV方法利用了參考圖像的支撐信息，重建質(zhì)量較經(jīng)典的CS-MRI方法也有明顯改善.圖3(d)為本文方法的重建結(jié)果，將NLTV和Modified-CS結(jié)合，利用更多的先驗(yàn)信息約束重建，同時(shí)消除了TV帶來(lái)的塊效應(yīng)，獲得了最好的重建效果.

表1列出了上述4種方法在10%測(cè)量率下重建目標(biāo)圖像的相對(duì)誤差和峰值信噪比(PSNR)，表中數(shù)據(jù)也充分說(shuō)明了本文方法的優(yōu)越性.

圖4中的曲線比較了各種重建方法在不同測(cè)量率下的相對(duì)誤差，結(jié)果表明本文方法均能取得最好的重建結(jié)果.尤其是在低測(cè)量率下，優(yōu)越性更為顯著(在不同測(cè)量率下規(guī)整化參數(shù)的選取略有不同，范圍為λ=10-3～10-2，α=5×10-3).

表1 各種方法重建圖像的相對(duì)誤差與PSNR

Tab.1 Relative errors and PSNR values of reconstructed images by different methods

方法實(shí)驗(yàn)1實(shí)驗(yàn)2RPSN/dB相對(duì)誤差/%RPSN/dB相對(duì)誤差/%經(jīng)典CS-MRI28.260418.1527.447311.14l1-NLTV30.115114.9730.07388.91Modified-CS-TV31.223612.4928.66228.89本文方法32.615710.5833.80635.79

2.2 實(shí)驗(yàn)2

本組實(shí)驗(yàn)選取圖5(a)為參考圖像，5(b)為目標(biāo)圖像.參考圖像與目標(biāo)圖像之間存在對(duì)比度差異以及局部形變.圖6和表1顯示了15%測(cè)量率下各方法的重建結(jié)果.此處，選取參考圖像在小波域中最大的10 536個(gè)系數(shù)的索引作為目標(biāo)圖像的已知支撐集，規(guī)整化參數(shù)λ=8×10-3，α=10-3.

重建結(jié)果顯示出和上一組實(shí)驗(yàn)類(lèi)似的結(jié)論.本文方法無(wú)論在相對(duì)誤差數(shù)值還是視覺(jué)效果上都取得了最優(yōu)的重建結(jié)果.由于掃描成像設(shè)備的局限性，原始目標(biāo)圖像中存在噪聲，從重建圖像可以看出，本文方法在很好地保留圖像信息的前提下，一定程度上抑制了噪聲干擾，提升了圖像的視覺(jué)質(zhì)量.

圖7中的曲線顯示了不同測(cè)量率下各種方法重建圖5(b)得到的重建結(jié)果的相對(duì)誤差(規(guī)整化參數(shù)選取范圍為λ=10-3～10-2，α=10-3).從圖中曲線可知，4種方法的重建誤差都隨著測(cè)量率的提高明顯降低，而本文方法在不同測(cè)量率下均具有最低的重建誤差.這充分說(shuō)明，所提出的重建方法有效可行，能夠在保證重建質(zhì)量的前提下，進(jìn)一步減少采樣數(shù)據(jù)量.

本文給出了兩組實(shí)驗(yàn)中規(guī)整化參數(shù)在不同測(cè)量率下的取值范圍.多組MR圖像重建實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，對(duì)同一目標(biāo)圖像，不同測(cè)量率下，最優(yōu)規(guī)整化參數(shù)的選取在一定范圍內(nèi)具有魯棒性，即選擇同樣參數(shù)，本文方法仍可在各測(cè)量率下獲得優(yōu)于經(jīng)典CS-MRI及其他同類(lèi)方法的重建性能.

3 結(jié) 論

本文提出一種新的利用參考圖像結(jié)構(gòu)信息的CS-MRI重建方法.利用已獲取的高分辨率參考圖像與待重建目標(biāo)圖像之間的結(jié)構(gòu)相似性，從參考圖像中提取目標(biāo)圖像的已知支撐集，以降低采樣數(shù)據(jù)量.此外，該方法使用NLTV規(guī)整化，克服了經(jīng)典的TV規(guī)整化帶來(lái)的塊狀效應(yīng)以及邊緣和細(xì)節(jié)信息丟失的問(wèn)題.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法的重建性能優(yōu)于經(jīng)典的CS-MRI方法以及其他同類(lèi)方法，能夠在保證重建質(zhì)量的同時(shí)進(jìn)一步降低測(cè)量率，提高M(jìn)RI成像速度.對(duì)于實(shí)際的MRI應(yīng)用(動(dòng)態(tài)MRI，介入式治療等)和其他成像領(lǐng)域，具有實(shí)用價(jià)值.

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(責(zé)任編輯：劉芳)

Compressed Sensing MR Image Reconstruction Based on Nonlocal Total Variation and Partially Known Support

ZHAO Di，DU Hui-qian，HAN Yu，MEI Wen-bo

(School of Information and Electronics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China)

By exploiting the similarity of the structure between the reference and the target images, a novel compressed sensing (CS)-based reconstruction method was proposed for MR image.Indexes of theLlargest wavelet coefficients of the reference image were extracted and regarded as the known part of the desired target image’s support, and thel1norm of the wavelet coefficients belonging to the complement to the known support was constrained.Furthermore, the nonlocal total variation (NLTV) was utilized as a regularization term to construct the objective function.Then the target image was reconstructed via a fast composite splitting algorithm (FCSA).Experimental results demonstrate that the proposed method can preserve edges and details while suppressing noise efficiently.It outperforms conventional CS-MRI and other similar reconstruction methods under the same sampling rate.

magnetic resonance imaging;compressed sensing;nonlocal total variation;Modified-CS;fast composite splitting algorithm

2013-10-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61077022)

趙地(1986—)，女，博士，E-mail:dizhao0811@163.com.

杜慧茜(1972—)，女，博士，副教授，E-mail:duhuiqian@bit.edu.cn.

TP 391

A

1001-0645(2016)03-0308-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.03.016