利用對稱性，巧解函數(shù)題

袁彩輝

利用對稱性，巧解函數(shù)題

袁彩輝

在初中數(shù)學(xué)中，函數(shù)的對稱性主要指的是函數(shù)圖像的對稱性，一般指中心對稱性和軸對稱性.初中階段學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)都具有對稱性.許多中考函數(shù)題，特別是一些選擇題或填空題，如果利用對稱性，可化繁為簡，從而獲得巧妙的解法，有的甚至能直接得出結(jié)果，回避常規(guī)解法的大計(jì)算量與繁雜過程.下面舉例說明，供同學(xué)們參考.

一、巧用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對稱性

1.求特殊關(guān)系點(diǎn)的坐標(biāo)

A.（1，3）B.（-1，-3）

C.（-3，-1）D.（-2，-3）

圖1

【解析】本題一般可以采用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，然后再求出兩函數(shù)圖像的交點(diǎn).但如果能夠利用反比例函數(shù)和正比例函數(shù)都是中心對稱圖形，A、B兩點(diǎn)以原點(diǎn)（0，0）為對稱中心，那么B點(diǎn)坐標(biāo)便容易求出.故本題選C.

2.求特殊圖形的面積

例2如圖2，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn).分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，畫出與y軸相切的兩個圓.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），則圖中兩個陰影部分面積的和是_______.

圖2

【解析】分別求兩個陰影部分面積顯然不可行.由于正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖像都關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.從而⊙A與⊙B也關(guān)于原點(diǎn)對稱，故陰影部分面積和等于⊙A（或⊙B）的面積.⊙A與y軸相切，則⊙A的半徑為1.故陰影部分的面積和等于π×12=π.

3.求代數(shù)式的值

高校檔案館的服務(wù)不能停留在傳統(tǒng)的服務(wù)功能，新時代應(yīng)該有新氣象新作為，站在新的歷史起點(diǎn)上，高校檔案館要大力加強(qiáng)陣地建設(shè)；構(gòu)建具有高校人文特色的檔案資源體系；從高校檔案文化建設(shè)的角度拓展檔案資源開發(fā)利用；把握好高校檔案信息化建設(shè)的長遠(yuǎn)性和可操作性；發(fā)揮優(yōu)勢為檔案事業(yè)發(fā)展培養(yǎng)更多的專業(yè)人才。

圖3

【解析】通過上面例子，大家肯定會發(fā)現(xiàn)本題如利用對稱性解會更簡單.由中心對稱性知A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則x1=-x2，y1=-y2.

∵A、B兩點(diǎn)在雙曲線上，

∴x1y1=4，x2y2=4，

∴2x1y2-7x2y1=-2x1y1+7x2y2=-2×4+7×4=20.

二、巧用反比例函數(shù)?圖像的對稱性

圖4

三、巧用二次函數(shù)的對稱性

例5小穎在二次函數(shù)y=2x2+4x+5的圖像上，依橫坐標(biāo)找到三點(diǎn)（-1，y1），（0.5，y2），（-3.5，y3），你認(rèn)為y1，y2，y3的大小關(guān)系應(yīng)為（）.

A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1

C.y3>y1>y2D.y3>y2>y1

【解析】本題可以把x的值代入函數(shù)求出對應(yīng)的y的值，但這樣計(jì)算量會很大，如果能夠利用二次函數(shù)的對稱性本題就會省去很多的計(jì)算過程了.由題可知該拋物線的對稱軸為x=-1，所以x=0.5時的函數(shù)值與x=-2.5時的函數(shù)值相等，再利用二次函數(shù)的增減性可得出y3>y2>y1.故選D.

2.利用拋物線的對稱性求拋物線的對稱軸和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

例6下表是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的函數(shù)值y與自變量x的對應(yīng)值.

x…-5-3-20356…y…2770-8-5716…

（1）找出拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)_______、_______.

（2）寫出拋物線的對稱軸_______，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_______.

【解析】本題的常規(guī)做法是先求出解析式，然后解出拋物線與x軸的交點(diǎn)，并求出其對稱軸.但若能掌握拋物線是軸對稱圖形，由表中當(dāng)x=-3和x=5時的函數(shù)值都是7，可知這兩點(diǎn)的連線平行于x軸，故被對稱軸垂直平分，所以這兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，從而得出拋物線的對稱軸為x=1.再由當(dāng)x= -2時y=0可知拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為（4，0）.

3.利用拋物線的對稱性求最短距離

例7如圖5，拋物線y=0.5x2+bx-2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且A（-1，0）.若點(diǎn)M是對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)MC+MA的值最小時，求M點(diǎn)的坐標(biāo).

圖5

【解析】本題若按題意可先來解出拋物線解析式，并求出其對稱軸，然后設(shè)出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，利用勾股定理表示出MC和MA的長，最后利用二次函數(shù)求最大（小）值的方法求出對應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo).但若利用拋物線的對稱性可知，由于點(diǎn)M在對稱軸上，所以MA=MB.本題就轉(zhuǎn)化為求MC+MB的最小值了，那么求出直線BC的解析式再代入對稱軸的橫坐標(biāo)即可.

函數(shù)的對稱性是函數(shù)本身內(nèi)在的特性，若能靈活恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用好函數(shù)的這一性質(zhì)，會給解題提供意想不到的幫助.

（作者單位：江蘇省宿遷市鐘吾國際學(xué)校）