自主車輛線性時變模型預測路徑跟蹤控制

張亮修， 吳光強,2， 郭曉曉

(1. 同濟大學 汽車學院， 上海 201804； 2. 東京大學 生產技術研究所， 東京 153-8505)

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自主車輛線性時變模型預測路徑跟蹤控制

張亮修1， 吳光強1,2， 郭曉曉1

(1. 同濟大學 汽車學院， 上海 201804； 2. 東京大學 生產技術研究所， 東京 153-8505)

為提高自主車輛路徑跟蹤控制的實時性和魯棒性，研究一種線性時變模型預測路徑跟蹤控制方法.建立用于控制器仿真驗證的縱向&側向二維車輛非線性動力學模型；從二輪三自由度模型出發(fā)，推導出線性時變路徑跟蹤預測模型；引入向量松弛因子解決優(yōu)化求解過程中硬約束導致的控制算法非可行解問題，基于模型預測控制理論將路徑跟蹤控制算法轉化為帶軟約束的在線二次規(guī)劃問題；最后通過Matlab/Simulink實現(xiàn)車輛動力學建模和控制器設計，雙移線工況仿真結果表明，所設計的控制器能夠適應不同車速、不同設計參數(shù)的魯棒性要求.

自主車輛； 線性時變模型； 向量松弛因子； 模型預測控制； 路徑跟蹤

路徑跟蹤控制是自主車輛的關鍵技術，主要通過主動車輪轉向或差動制動實現(xiàn).國內外學者對自主車輛路徑跟蹤問題進行了研究，提出了proportion integration differentiation(PID)控制[1]、自抗擾控制[2]、模糊自適應純追蹤模型控制[3]、模型預測控制[4-5]等多種方法.但由于差動制動會影響到車輛縱向運動，且因高速車輛路徑跟蹤的復雜性和不確定性，通過前輪主動轉向實現(xiàn)復雜工況下的實時路徑跟蹤是目前技術難點.

模型預測控制(model predictive control，MPC)是20世紀70年代后期提出并于近年來被廣泛應用的一種新型控制方法.MPC利用歷史信息以及預測模型，通過對未來時刻的性能指標在線滾動優(yōu)化，并根據實測對象的輸出進行反饋校正，修正預測模型，將控制策略的設計轉化為一個在線的優(yōu)化命題.預測模型、滾動優(yōu)化、反饋校正為預測控制的三個基本特征[6].MPC被應用于自適應巡航[7]、主動前輪轉向[8]、底盤集成控制[9]等，能夠有效處理多個優(yōu)化目標以及系統(tǒng)約束問題，并能及時彌補模型失配、時變、干擾等引起的不確定性等，適合于自主車輛的路徑跟蹤控制.

本文從自主車輛路徑跟蹤控制的實時性和魯棒性角度，研究了線性時變模型預測路徑跟蹤控制方法.首先建立了用于控制器仿真驗證的車輛非線性動力學模型；其次,從二輪車輛模型出發(fā)，推導出線性時變路徑跟蹤預測模型；然后推導出預測優(yōu)化問題的矩陣表達式，將線性時變模型預測路徑跟蹤控制轉化為帶約束的在線二次規(guī)劃問題；最后通過Matlab/Simulink實現(xiàn)車輛動力學建模和控制器設計，仿真驗證控制器的可行性和魯棒性.

1 車輛動力學建模

圖1 車輛動力學模型

(1a)

(1b)

(1c)式中:m為整車質量；Iz為車輛橫擺轉動慣量；∑Fx為車輛在x方向受到的外力；∑Fy為車輛在y方向受到的外力；∑Mz為車輛在z方向受到的外力矩.

在不考慮空氣作用力情況下，∑Fx,∑Fy,∑Mz主要由地面輪胎力提供，即

(2a)

(2b)

(2c)

慣性坐標系下車輛的運動表示為

(4a)

聯(lián)合式(1a)～(4b)建立非線性車輛系統(tǒng)動力學模型(Nonlinear Vehicle System Dynamics Model, 簡稱NVSDM)，此模型具有高度的非線性和耦合性，用作控制器效果的仿真驗證.

2 線性時變預測模型

2.1 二輪三自由度車輛模型

輪胎模型的非線性因素使得NVSDM難以直接用于控制器的設計，假設圖1所示四輪車輛模型關于車輛縱向平面對稱，得到經典的二輪三自由度車輛模型，如圖2所示.

圖2 二輪三自由度車輛模型

此時，∑Fx,∑Fy和∑Mz變?yōu)?/p>

(5a)

(5b)

(5c)

(6a)

前、后輪的側偏角近似表示為

(7a)

(7b) 將式(6a)—式(7b)代入式(5a)—式(5c)中，并聯(lián)合式(1a)—式(1c)得到前輪轉角較小(cosδf≈1，sinδf≈δf)和輪胎模型線性化后的車輛動力學模型，即

(8a)

(8b)

(8c)

將式(8a)—(8c)和慣性坐標系下的車輛運動方程式,(4a)和式(4b)用狀態(tài)空間形式表示，即

(9a)

2.2 線性時變預測模型推導

為便于控制器的設計，將式(9a)與式(9b)寫為離散形式，并用F(*)表示

(10a)

η(t)=h·ξ(t)

(10b)

式中，T為離散系統(tǒng)采樣時間.

線性化和離散化后的車輛系統(tǒng)仍具有非線性因素，非線性模型預測控制難以滿足控制器實時性要求，且直接導致了復雜的非線性約束[12]，因此還要對式(10a)和式(10b)進行進一步的線性化，得到線性時變預測模型.

(11a)

(11b)

(11c) 將非線性系統(tǒng)(10a)在工作點[ξ0，uc0]用泰勒公式展開，只保留一階項，得到

Bk,0(uc(k)-uc0)

(12)

用式(12)減去式(11a)，可以得到

Bk,0(uc(k)-uc0)

(13)

進一步整理為

ξ(k+1)=Ak,0ξ(k)+Bk,0uc(k)+dk,0(k)

(14)

在每個采樣時刻t，式(14)可表示為

(15a)

(15b)式中，系數(shù)矩陣Ak,t,Bk,t,dk,t都是線性時變矩陣，其表達式為

其中Ak,t各元素表達式為

式(15a)與式(15b)即為推導出的線性時變預測模型(Linear Time-Varying Predictive Model, 簡稱LTVPM)，此模型為路徑跟蹤控制器設計的基礎.

3 線性時變模型預測路徑跟蹤控制器設計

3.1 目標函數(shù)和I/O約束設計

目標函數(shù)和I/O約束是優(yōu)化問題的主體.目標函數(shù)要保證自主車輛快速且平穩(wěn)地追蹤參考路徑，為避免被控系統(tǒng)的控制量發(fā)生突變而影響控制量的連續(xù)性，用控制增量取代控制量并加入向量松弛因子，防止求解過程中出現(xiàn)無可行解的情況.本文采用如下二次型形式的目標函數(shù),即

(16)

I/O約束分別對控制量uc、控制增量Δuc和輸出量η進行約束，并加入松弛因子，即

(17)

式中，uc min，Δuc min，ηmin分別為各約束下界；uc max，Δuc max，ηmax分別為各約束上界；ε1,ε2,ε3,ε4為松弛因子；v1min,v2min,v3max,v4max約束下界松弛系數(shù)；v1maxv2max,v3max,v4max約束上界松弛系數(shù).

車輛路徑跟蹤控制器的設計轉化為下述問題：min (16)

s.t. (15a)(15b)(17)

(18)

3.2 預測優(yōu)化問題推導

引入新的狀態(tài)變量形

(19)

此時，式(15a)和式(15b)可以表示為

事業(yè)單位的本質為，國有資產出資創(chuàng)立、主要運營方向帶有濃郁的社會公益色彩，并受到黨的直接領導與管控，事業(yè)單位主要為學校等教育事業(yè)單位、醫(yī)院等衛(wèi)生事業(yè)單位組成。而因事業(yè)單位的特殊性決定，黨對其掌控力度的強弱至關重要，而政工工作作為黨控制事業(yè)單位的主要工作內容與表現(xiàn)形式，極大增強了事業(yè)單位中黨的實際控制能力。

(20a)

(20b)

其中

式(20a)與式(20b)在預測時域Np內的輸出量表示為

(21)其中

Γt=

為了進一步提高控制器的實時性，認為

聯(lián)合(21)式，目標函數(shù)(16)寫成如下形式：

(22)

其中

進一步整理為：

(23)

預測優(yōu)化問題需將公式(17)中的I/O約束也寫成矩陣形式，即

(24)

其中

此外，數(shù)值求解時優(yōu)化變量還要給出一定的邊界條件，即

(25)

3.3 線性時變模型預測路徑跟蹤控制

基于以上推導，線性時變模型預測路徑跟蹤控制最終轉化為帶約束的在線二次規(guī)劃問題，即：min(23)

(26)

在每個控制周期內，利用式(26)完成最優(yōu)求解后，得到控制時域內的一系列控制輸入增量和松弛因子，即

(27)

(28)

進入下一個控制周期后，重復上述過程，通過在線滾動優(yōu)化實現(xiàn)對期望路徑的跟蹤控制.

4 仿真驗證

4.1 車輛參數(shù)和仿真工況設置

表1 車輛參數(shù)

主要控制器設計參數(shù)如下：

Q=diag(200,100)；R=5×104；

uc min=-8°；uc max=8°；Δumin=-0.7°；

v1min=-2；v1max=2；v2min=-0.1；v2max=0.1；

v3min=-0.03；v3max=0.02；

v4min=-0.3；v4max=0.5.

(30)

4.2 仿真分析

為了全面驗證控制器算法的可行性和魯棒性，本文進行了不同車速、不同控制參數(shù)下的雙移線軌跡跟蹤驗證.

圖3為不同車速下的控制器路徑跟蹤對比結果，其中預測時域Np=20，控制時域Nc=5.

a

b

c

d

e

f

對比仿真結果，當車速為30 km·h-1和60 km·h-1時，控制器能夠較好地追蹤參考路徑，控制量和輸出量都在可控制范圍之內，表明所設計的控制器對速度具有較強的魯棒性，且車速越高，控制增量越大.當車速為80 km·h-1時，在雙移線參考路徑的出口處，車輛不在沿著參考軌跡行駛，出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，分析其原因為：高速引起大的側向加速度使得車輪側偏特性進入非線性區(qū)域，控制器計算得到的前輪控制量超出約束范圍，產生非可行解.此種情況下，單純通過前輪轉向作為輸入控制量已不能解決，可以考慮聯(lián)合直接橫擺力矩控制車輛橫擺角速度，實現(xiàn)高速時的路徑跟蹤.

為了尋求控制器設計參數(shù)對控制器的影響，進行了60 km·h-1車速下，不同預測時域和控制時域下的控制器仿真驗證.

圖4為控制時域Nc=5,不同預測時域下的仿真對比結果，從圖4a和4b中可以看出，當Np=20或Np=30時，車輛能夠較好地跟蹤參考軌跡，控制量和輸出量都在可控制范圍之內，而當Np=10時，車輛不在沿著參考軌跡行駛，出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，分析其原因為：預測時域較小時，控制器難以準確地建立預測系統(tǒng)未來的輸出，控制量出現(xiàn)非可行解.從圖4c中發(fā)現(xiàn)，預測時域越大，控制器尋優(yōu)所需時間越長.

a

b

c

圖5為預測時域Np=20、不同控制時域下的仿真對比結果，可以看出，控制時域的變化對路徑跟蹤效果影響較小，因為每個控制周期將控制序列中的第一個元素作為實際的控制輸入增量作用于系統(tǒng).從圖5c中發(fā)現(xiàn)，Nc=10時控制器尋優(yōu)所需時間最短，因此選取合適的控制時域可以提高控制器實時效率.

a

b

c

5 結論

(1) 從二輪三自由度車輛模型出發(fā)，通過線性化輪胎模型、離散化、泰勒公式展開等一系列變換，推導出線性時變路徑跟蹤預測模型，作為路徑跟蹤控制器設計的基礎.

(2) 引入向量松弛因子解決了優(yōu)化求解過程中硬約束導致的控制算法非可行解問題，基于模型預測控制理論推導出預測優(yōu)化問題的矩陣表達式，將線性時變模型預測路徑跟蹤控制轉化為帶軟約束的在線二次規(guī)劃問題.

(3) 基于matlab/simulink實現(xiàn)了車輛動力學系統(tǒng)建模和控制器設計，將所設計控制器用于NVSDM在雙移線工況的仿真驗證，仿真結果表明，所設計的控制器能夠適應中低車速、不同設計參數(shù)的魯棒性要求.

(4) 車輛高速行駛引起的大側向加速度容易使得車輪側偏特性進入非線性區(qū)域，此時單純通過前輪轉向作為輸入控制量難以實現(xiàn)，后續(xù)工作可以考慮聯(lián)合直接橫擺力矩控制車輛橫擺角速度，實現(xiàn)高速時的路徑跟蹤.

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Path Tracking Using Linear Time-varying Model Predictive Control for Autonomous Vehicle

ZHANG Liangxiu1，WU Guangqiang1,2，GUO Xiaoxiao1

(1. College of Automotive Studies, Tongji University, Shanghai 201804, China; 2. Institute of Industrial Science, the University of Tokyo, Tokyo 153-8505, Japan)

In order to improve real-time robustness of autonomous vehicle, a path tracking approach based on linear time-varying model predictive control is investigated. The longitudinal and lateral vehicle nonlinear dynamics model is established for verification of controller simulation. Starting from two-wheeled model with 3 degrees of freedom (DOFs), linear time-varying path tracking predictive model is deduced. Vector relaxation factors are introduced to deal with the non-feasible solution caused by the hard constraints in the optimization process. Based on model predictive control theory, the design of path tracking algorithm can be transformed into an online quadratic programming problem with soft constraints. Finally, both vehicle modeling and controller design are realized based on the Matlab/Simulink software, simulation results of double lane change show that the controller can adapt to robustness of different speeds and design parameters.

autonomous vehicle； linear time-varying model； vector relaxation factors; model predictive control； path tracking

2015-07-02

國家自然科學基金(51575393)；上海汽車工業(yè)科技發(fā)展基金會項目(1526)

張亮修(1982—)，男，博士生，主要研究方向為車輛動力學集成控制技術.E-mail:zhangliangxiu@163.com

吳光強(1965—)，男，教授,博士生導師，工學博士,主要研究方向為汽車現(xiàn)代設計理論與方法以及車輛動力學及其控制.

E-mail:wuguangqiang@#edu.cn

TP242.6

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