基于BFGS攝動(dòng)法的固定梁損傷檢測(cè)*

黃振南, 胡 彪

(1.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 蘭州，730050) (2.電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 成都，611731)

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基于BFGS攝動(dòng)法的固定梁損傷檢測(cè)*

黃振南1, 胡 彪2

(1.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 蘭州，730050) (2.電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院 成都，611731)

運(yùn)用損傷結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題,建立擬牛頓法的BFGS優(yōu)化攝動(dòng)方法來(lái)檢測(cè)固定梁的損傷情況。 多單元兩端固定梁的損傷位置與程度, 可以從首幾對(duì)振動(dòng)模態(tài)在數(shù)次迭代內(nèi)準(zhǔn)確獲取。首先，攝動(dòng)展開(kāi)損傷結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、特征值和特征向量, 并代入損傷結(jié)構(gòu)的特征值方程；然后，集合p階的彈性模量攝動(dòng)項(xiàng),以顯式直接推導(dǎo)特征參數(shù)的p階攝動(dòng)系數(shù)；最后，把系數(shù)代入攝動(dòng)方程，對(duì)于多個(gè)彈性模量進(jìn)行BFGS擬牛頓優(yōu)化迭代, 其目標(biāo)函數(shù)由攝動(dòng)方程剩余項(xiàng)的總和產(chǎn)生。 使用兩端固定梁的有限元模型,五單元至九單元梁的損傷檢測(cè)驗(yàn)證了該方法在有限模態(tài)參數(shù)與減少自由度模型的有效性。在終止準(zhǔn)則方面，使用了d-模與t-模比較不同迭代階段的收斂性, 并精確地在0.06～0.001彈性模量誤差內(nèi)檢測(cè)了小至大損傷的各個(gè)單元號(hào)及其損傷程度。

BFGS攝動(dòng)法；兩端固定梁；損傷檢測(cè)；擬牛頓優(yōu)化

引 言

各種敏感度分析在過(guò)去幾十年得到了快速的發(fā)展。Fox等[1]在考慮結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量的基礎(chǔ)上，計(jì)算出特征參數(shù)的變化率。Rogers[2]將他們的研究發(fā)展到非對(duì)稱特征值問(wèn)題中。Nelson[3]分析了對(duì)稱和非對(duì)稱多系統(tǒng)的特征向量簡(jiǎn)化的導(dǎo)出式。Wanxie等[4]采用穩(wěn)態(tài)雷利商對(duì)于多模態(tài)特征值作出二階敏感性分析。Wicher等[5]確定了結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在頻率域的二階敏感度矩陣。Wilkinson[6]制定了特征值問(wèn)題的攝動(dòng)理論。Brandon[7]以攝動(dòng)分析計(jì)算出特征值和特征向量的二階攝動(dòng)項(xiàng)。Ryland等[8]發(fā)展了二階攝動(dòng)法，可以計(jì)算質(zhì)量和剛度矩陣發(fā)生小攝動(dòng)時(shí)的特征參數(shù)變化。文獻(xiàn)[9-10]推導(dǎo)出扭矩耦合建筑問(wèn)題的二階攝動(dòng)解法。大多數(shù)的攝動(dòng)分析只涉及單變量，而Stahara[11]提出了一階多變量攝動(dòng)程序來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)渦輪葉片的輪廓。然而, 涉及交叉項(xiàng)的多變量攝動(dòng)分析尚未顯示在文獻(xiàn)中。

各種振動(dòng)方法中，可以使用特征值、特征向量或特征向量曲率[12-13]作為優(yōu)化目標(biāo)。這項(xiàng)研究采用了特征向量和特征值構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。多變量p階的攝動(dòng)法得到了發(fā)展，把彈性模量的變化設(shè)為攝動(dòng)變量，令相同階的彈性模量攝動(dòng)項(xiàng)在各特征向量和特征值系數(shù)中相等，特征參數(shù)的各階攝動(dòng)項(xiàng)就可漸次得到，并采用BFGS擬牛頓法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的彈性模量?jī)?yōu)化。從廣義的結(jié)果分析，兩端固定梁的有限元模型驗(yàn)證了算法的收斂性與有效性。

1 BFGS攝動(dòng)法的理論基礎(chǔ)

由于在一個(gè)損傷結(jié)構(gòu)中慣性改變?cè)斐傻挠绊懛浅Ｐ?，往往只考慮損傷中造成的彈性模量改變?？紤]一個(gè)nφ維自由度、線性、時(shí)間不變、不同特征值的自伴系統(tǒng)。未損傷結(jié)構(gòu)的彈性模量為Ghi(i=1,2,...，m)，其中m為彈性模量的數(shù)量，以彈性模量的減少來(lái)描述結(jié)構(gòu)損傷。在每次迭代前損傷結(jié)構(gòu)的彈性模量為Gi(i=1,2,...，m)，而取決于Gi的線性剛度矩陣為K=K(G)，其中G=[G1,G2,...，Gm]T。帶有彈性模量Gi的結(jié)構(gòu)的特征值問(wèn)題為

(1)

式(1)中的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也滿足以下正交關(guān)系

(2)

其中:1≤u≤N;δku為克羅內(nèi)克函數(shù)。

(3)

這幾個(gè)變量可通過(guò)攝動(dòng)方程得到，其中剛度矩陣的一階攝動(dòng)式為

(4)

其中：δGi=Gdi-Gi(i=1,2,...,m)為彈性模量的攝動(dòng)量。

考慮到K為Gi的線性函數(shù)，其Gi更高階的導(dǎo)出式就被消去，因此一個(gè)連續(xù)結(jié)構(gòu)的有限元整體剛度矩陣也會(huì)滿足式(4)。損傷結(jié)構(gòu)的k級(jí)特征值和質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)化的特征向量可通過(guò)攝動(dòng)式與λk和φk相關(guān)聯(lián)

(5)

(6)

所形成的是特征值系數(shù)和特征向量的各階交叉項(xiàng),下標(biāo)括號(hào)中的數(shù)字代表項(xiàng)的階數(shù)。驗(yàn)算這些交叉項(xiàng)，對(duì)于任何p≥1有

(7)

(8)

集合式(8)中的p階變量δGiδGj…δGsδGt得到式(5)、式(6)中的p階攝動(dòng)項(xiàng)

(9)

(10)

在式(9)前乘以(φk)T,并利用式(1)、式(2)與式(10)得

(11)

p階特征值的攝動(dòng)系數(shù)是從式(5)和式(11)中得到,它們各自依賴于p階以下的特征值和特征向量。

在式(9) 前乘以 (φv)T，其中1≤v≤N且v≠k，利用式(1)、式(2)和式(10) 得

(12)

(13)

(14)

整個(gè)優(yōu)化過(guò)程使J極小化, 并采用以下擬牛頓迭代格式

(15)

(16)

(17)

其中:wdn為達(dá)到d-模準(zhǔn)則的最少迭代次數(shù)。

另一個(gè)t-模終止準(zhǔn)則是：當(dāng)wtn次與損傷權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)化特征參數(shù)差模，小于初始與損傷特征參數(shù)差模的tn百分比

(18)

其中:wtn為達(dá)到t-模準(zhǔn)則的最少迭代次數(shù)。

2 兩端固定梁的損傷檢測(cè)

圖1 兩端固定梁的有限元模型Fig.1 Finite element model of fixed-fixed beam

(19)

剛度矩陣為

(20)

集合過(guò)程采用自動(dòng)化程序，可導(dǎo)出2(Ne+1)×2(Ne+1)維的整體系統(tǒng)矩陣。約束邊界兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的橫向位移和轉(zhuǎn)角變量為零，可得到N×N維的系統(tǒng)矩陣，其中N=2(Ne-1)為系統(tǒng)自由度，而系統(tǒng)的位移向量(包括所有無(wú)約束的節(jié)點(diǎn))為[V2,θ2,V3,θ3,…,VNe,θNe]T?，F(xiàn)在使用攝動(dòng)法的計(jì)算機(jī)程序來(lái)檢測(cè)例案5o1_rs 至9o2_rl的五、七和九單元梁受到小、中、大三種程度損傷時(shí)的彈性模量攝動(dòng)量。

2.1 五單元梁的損傷檢測(cè)

首先以一階算法來(lái)檢測(cè)5個(gè)單元固定梁的中損傷[15]，運(yùn)用首五對(duì)模態(tài)參數(shù),即nλ=nφ=5，其t-模值從笫1次迭代的9.72×10-1迅速下降至笫2次的8.27×10-2，達(dá)到10-6的t-模準(zhǔn)則(tn=10-4)。從彈性模量的百分比誤差曲面(見(jiàn)圖2)，各單元的彈性模量在笫2次迭代扭轉(zhuǎn), 其誤差范圍在-12.8% ～3.62%, 然后平穩(wěn)地收斂在極小誤差向量Gdp={-0.006,0.006,0.000,0.031,0.013}%。總結(jié)所有五單元例案，得到1%d-模的收斂見(jiàn)表1。在小損傷的例案中，一階與二階算法的收斂情況是相等的；中損傷的例案，d-模的準(zhǔn)則還未達(dá)到，t-模已達(dá)到，二階算法的收斂速度較快；大損傷檢測(cè)，一階算法需要達(dá)到d-模的次數(shù)較少，因此收斂速度較慢。分析表1的t-模, 在小損傷檢測(cè)中，兩種算法是一樣的；在中損傷檢測(cè)，二階算法相對(duì)更有效，對(duì)應(yīng)d-模的情況；在大損傷檢測(cè)，兩種算法擁有相同的收斂性。

表1 五單元梁損傷檢測(cè)的收斂次數(shù)

Tab.1 Convergence number of five element beam damage detection

例案d-模t-模5ol_rs225o2_rs225o1_rm345o2_rm-25o1_rl275o2_rl77

圖2 例案5o2_rm 五單元梁二階中損傷的檢測(cè)誤差Fig.2 Case 5o2_rm minimum error of five element beam second order medium damage detection

2.2 七單元梁與九單元梁的損傷檢測(cè)

現(xiàn)在把單元數(shù)量增加至7個(gè)與9個(gè)，從表2顯示七單元梁大損傷中，二階算法的1% d-模收斂速度較一階算法快, 迭代次數(shù)分別是2次與3次。在10-6t-模準(zhǔn)則，二階算法(6次)的收斂速度比一階(7次)稍快。運(yùn)用二階的d-模曲線(見(jiàn)圖3)，其值從笫1次迭代的13.5迅速下降至笫2次迭代的1.31，然后收斂到4.44×10-2。分析2階的彈性模量的百分比誤差曲面，所有單元在笫2次迭代下降到 -33.2% ～16.1%的范圍。從笫3次迭代開(kāi)始, 它們嚴(yán)格地收斂到笫7次的極小誤差向量 Gdp={0.001,0.014,-0.004,-0.011,0.010,-0.098,0.000}%。

圖3 例案7o2_rl七單元梁二階大損傷的d-模曲Fig.3 Case 7o2_rl d-norm curve of seven element beam second order large damage detection

Tab.2 Convergence number of seven and nine element beams damage detection

例案d-模t-模7o1_rl277o2_r1469o1_rs229o2_rs22

至于九單元的小損傷，兩種算法的d-模準(zhǔn)則同時(shí)在笫2次迭代收斂。另外，在t-模準(zhǔn)則，一階算法(3次) 的收斂速度比二階的(2次) 較慢。分析二階算法，彈性模量的誤差在笫1次迭代下降到-0.972%～0.253%范圍以內(nèi)，然后在笫2次迭代，有效地收斂到極小誤差向量

Gdp={-0.045,-0.057,-0.034,-0.049,-0.058,-0.051,-0.042,-0.048,-0.049}%

3 結(jié)束語(yǔ)

基于BFGS優(yōu)化的p階攝動(dòng)法已直接推導(dǎo)出來(lái), 準(zhǔn)確檢測(cè)了固定梁的結(jié)構(gòu)損傷。使用首五對(duì)模態(tài)參數(shù), 在五單元的固定梁，檢測(cè)初期的收斂性隨著損傷的程度增加，二階算法達(dá)到精度的速度比一階更快，在迭代末期，兩種算法效率基本一樣。對(duì)于七單元梁的大損傷，在d-模準(zhǔn)則一階算法的收斂性比較強(qiáng)，在t-模準(zhǔn)則二階算法達(dá)到精度的速度較快，極小誤差值在0.1%以內(nèi)。對(duì)于九單元梁的小損傷，在初期兩種算法具有相同的收斂性，在迭代末期一階算法達(dá)到精度的速度較慢，其極小誤差值在0.06%以內(nèi)。所以隨著單元數(shù)量的增加，一階算法在d-模準(zhǔn)則相對(duì)有效，而二階算法在t-模準(zhǔn)則更有效。

[1] Fox R L, Kapoor M P. Rate of change of eigenvalues and eigenvectors[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 1968, 6(12): 2426-2428.

[2] Rogers L C. Derivatives of eigenvalues and eigenvectors[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 1970, 8(5): 943-944.

[3] Nelson R B. Simplified calculation of eigenvector derivatives[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 1976, 14:1201-1205.

[4] Wanxie Z, Gengdong C. Second-order sensitivity analysis of multi-modal eigenvalues and related optimization techniques[J]. Journal of Structural Mechanics, 1986, 14(4): 421-436.

[5] Wicher J, Nalecz A G. Second order sensitivity analysis of lumped mechanical systems in the frequency domain[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, 24: 2357-2366.

[6] Wilkinson J H. The algebraic eigenvalue problem[M]. Oxford: Clarendon Press, 1965: 62-71.

[7] Brandon J A. Derivation and significance of second-order modal design sensitivities[J]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, 1983, 22(5): 723-724.

[8] Ryland G, Meirovitch L. Response of vibrating systems with perturbed parameters[J]. AIAA Journal of Guidance and Control, 1980, 3: 298-303.

[9] Kan C L, Chopra A K. Elastic earthquake analysis of torsionally coupled multistorey buildings[J]. Earthquake Engineering and Structural Mechanics, 1977, 5: 395-412.

[10]Tsicnias T G, Hutchinson G L. A note on the perturbation analysis of the mode shapes of torsionally coupled buildings[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1982, 10: 171-174.

[11]Stahara S S. Development of a turbomachinery design optimization procedure using a multiple-parameter nonlinear perturbation method[R]. USA: NASA Scientific and Technical Information Branch, 1984.

[12]孫增壽,韓建剛,任偉新. 基于曲率模態(tài)和小波變換的結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別方法[J]. 振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2005, 25(4):263-268.

Sun Zengshou, Han Jiangang, Ren Weixin. Structural damages identification based on curvature mode and wavelet transform[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2005, 25(4):263-268.(in Chinese)

[13]李國(guó)強(qiáng),梁遠(yuǎn)森. 振型曲率在板類結(jié)構(gòu)動(dòng)力檢測(cè)中的應(yīng)用[J].振動(dòng)、測(cè)試與診斷, 2004, 24(2):111-117.

Li Guoqiang, Liang Yuansen. Dynamic damage detection of plate-like structure using curvature mode shapes[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2004, 24(2):111-117.(in Chinese)

[14]Patalambros P Y, Wilde D J. Principles of optimal design- modeling and computation, second edition[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2000:338-343.

[15]胡彪. 運(yùn)用攝動(dòng)原理更新工程梁的結(jié)構(gòu)系數(shù)[D]. 成都: 電子科技大學(xué), 2009.

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.021

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50905028，51275554)

2014-05-17；

2015-12-23

TH113.1

黃振南，男，1965年12月生，教授、碩士生導(dǎo)師。曾發(fā)表《Perturbed eigenvalue problem with the davidon-fletcher-powell quasi-Newton approach for damage detection of fixed-fixed beam》(《Mathematics and Mechanics of Solids》 2011,Vol.16,No.2)等論文。

E-mail: znhuang@lut.cn