Lindeberg Feller定理及其弱形式的Fourier積分變換的證明

劉雨喆

【摘要】中心極限定理在統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中擁有廣泛應(yīng)用，它揭示了一組相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的和的標(biāo)準(zhǔn)化變量總是服從正態(tài)分布.歷史上第一個(gè)中心極限定理De.MovireLaplace定理是由De.Movire首先發(fā)現(xiàn)，1773年用其估計(jì)大量拋擲硬幣時(shí)正面出現(xiàn)次數(shù)的分布.1812年由Laplace在《Théorie Analytique des Probabilités》一書(shū)中再次提及.那之后，中心極限定理又經(jīng)過(guò)了一定的推廣和發(fā)展，先后出現(xiàn)了LindebergLevy定理，LindebergFeller定理，將獨(dú)立隨機(jī)變量組的規(guī)律推向了更統(tǒng)一的理論中.在現(xiàn)在一般概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中，省略了這三個(gè)定理的證明，這是因?yàn)閲?yán)格的分析證明需要利用一些非初等的內(nèi)容.文章將利用RiemannStieltjes積分以及積分變換，給出LindebergLevy定理和LindebergFeller定理的嚴(yán)格論證，同時(shí)這個(gè)論證也從理論上解釋為何大量統(tǒng)計(jì)結(jié)果中正態(tài)分布總是頻頻出現(xiàn)的原因.

【關(guān)鍵詞】中心極限定理；特征函數(shù)（概率論）；RiemannStieltjes積分；Fourier積分變換