5.2圖形的相似與解直角三角形

左緒芳

重點(diǎn)難點(diǎn)易混易錯(cuò)點(diǎn)剖析

復(fù)習(xí)重點(diǎn)：

（1）比例的基本性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定，

（2）銳角三角函數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（主要是解決測量、航行、工程等生活中的實(shí)際問題，要注意把握各類圖形的特征及解法），

復(fù)習(xí)難點(diǎn)：

（1）根據(jù)題目中給出的條件選擇合適的方法進(jìn)行相似三角形的判定是復(fù)習(xí)的難點(diǎn)，判定兩個(gè)三角形相似一般先找兩組對應(yīng)角相等：若只能找到一組對應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對應(yīng)成比例；若找不到角相等，就判斷三邊是否對應(yīng)成比例，否則可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”，要針對具體的圖形，有平行線的可圍繞平行線找相似；有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例：有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對應(yīng)邊，

當(dāng)問題中出現(xiàn)比例、線段的積、邊或角所在三角形與已知的邊或角所在三角形不全等的情況時(shí)。一般借助相似解決問題，如果題目中沒有直接給出兩個(gè)相似三角形，那么可以結(jié)合題目中的條件，通過適當(dāng)添加“輔助線”構(gòu)造出相似三角形，進(jìn)而應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解決相關(guān)問題。

（2）解直角三角形問題中運(yùn)用“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的基本思想是難點(diǎn)，解直角三角形時(shí)，如果題中有現(xiàn)成、直接可用的直角三角形，我們可直接運(yùn)用解直角三角形的知識求解；否則需要作輔助線構(gòu)造直角三角形來解決，常見的輔助線添加方法有兩種，一種是作高線構(gòu)造直角三角形，另一種是作平行線構(gòu)造直角三角形，注意靈活應(yīng)用，在計(jì)算時(shí)不能直接算出某些量時(shí)，可利用方程思想加以解決，

易混易錯(cuò)點(diǎn)：

（1）相似也是指圖形間的一種相互關(guān)系，但它與“全等圖形的形狀、大小完全相同”不同，這兩個(gè)圖形僅僅形狀相同，大小不一定相同，其中一個(gè)圖形可以看成是另一個(gè)圖形按一定比例放大或縮小而成的，這種變換是相似變換，當(dāng)放大或縮小的比例為1：l時(shí)，這兩個(gè)圖形就是全等的，全等是相似的一種特殊情況，

（2）利用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題時(shí)要弄清楚仰角、俯角、方位角、方向角、象限角、坡度、坡角等有關(guān)概念的含義，只有掌握了這些概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關(guān)系。才能利用這些關(guān)系結(jié)合實(shí)際問題建立模型，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過計(jì)算、推理等方式使實(shí)際問題得到解決，

點(diǎn)撥：平行線分線段成比例是探究相似三角形最重要最基本的工具，利用它一方面可以直接判定具有一定位置關(guān)系的四條線段成比例；另一方面，當(dāng)不能直接證明某個(gè)比例式成立時(shí)，常利用這個(gè)基本事實(shí)把兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比，當(dāng)三角形中出現(xiàn)平行線求線段的長時(shí)，常利用平行線分線段成比例定理或相似三角形的判定與性質(zhì)建立比例式，通過解方程求解，此類問題容易出錯(cuò)的地方是對應(yīng)邊對應(yīng)出錯(cuò)，

點(diǎn)撥：解答與平行有關(guān)的相似三角形問題時(shí)，要善于挖掘題中隱含的相似三角形的基本圖形，從而將形的關(guān)系轉(zhuǎn)化為對應(yīng)邊成比例求解，常見的相似三角形的基本圖形有6種，圖形及其關(guān)系如圖3所示。

三角形相似類似于三角形全等，仍然強(qiáng)調(diào)對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)相似三角形尋找比例關(guān)系要嚴(yán)格按照對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊以及對應(yīng)角來探索；切忌混亂，

點(diǎn)撥：解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形，此類問題在求解時(shí)，首先利用圖中出現(xiàn)的特殊角（或題后所給出三角函數(shù)的角），構(gòu)造直角三角形求解，

本題是一個(gè)測量物體高度的問題，這類問題的常見模型如表1，

此類問題易錯(cuò)之處有：（1）混淆三角函數(shù)的概念以及角的相關(guān)概念；（2）不能利用方程思想列出方程；（3）計(jì)算時(shí)由于多次取近似值造成較大的誤差。