劉光建

[摘 要] 二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，對函數(shù)概念的構(gòu)建有著綜合性作用. 傳統(tǒng)基于一次函數(shù)而得出二次函數(shù)的思路，符合講授法教學(xué)的思路，但忽視了學(xué)生的主動建構(gòu)性. 從工具性與系統(tǒng)性的角度考慮，可以重新設(shè)計二次函數(shù)的教學(xué)，即通過范例的分析與綜合，讓學(xué)生自主構(gòu)建出函數(shù)是描述量的關(guān)系的重要認(rèn)識；通過平移得出二次函數(shù)圖像，可以讓學(xué)生感受到函數(shù)知識的系統(tǒng)性. 重視了工具性與系統(tǒng)性，就重視了學(xué)生的主動建構(gòu)性，從而促進(jìn)了本知識的有效教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；工具性；系統(tǒng)性

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中的地位較為重要，在蘇科版教材的編排中，其處于九年級下冊第五章，用一般的教學(xué)語言來描述，其是沖刺性的知識，是綜合性強(qiáng)的知識.

通常情況下，二次函數(shù)的教學(xué)以一次函數(shù)為基礎(chǔ)，通過回憶一次函數(shù)的相關(guān)知識，引導(dǎo)學(xué)生在類比中建立二次函數(shù)的知識. 這樣的思路符合經(jīng)驗(yàn)，更符合傳統(tǒng)的講授法教學(xué)的需要. 但從學(xué)生建構(gòu)的角度來看，由于對學(xué)生主動建構(gòu)的重視不夠，因而在學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，會出現(xiàn)不那么得心應(yīng)手的情形，因此這段知識出現(xiàn)學(xué)困生的現(xiàn)象也比較常見.

反思這些不足，筆者以為二次函數(shù)的教學(xué)需要引入新的理念，需要設(shè)計新的過程，需要對學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)行新的評價.

二次函數(shù)概念的新理解

二次函數(shù)首先是作為一個概念而存在，其次是作為一個數(shù)學(xué)概念而存在，最后是作為一個教學(xué)內(nèi)容而存在. 眾所周知，函數(shù)是描述數(shù)的變化關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，這種變化關(guān)系往往反映著實(shí)際問題中的變量關(guān)系，函數(shù)的次數(shù)往往與具體的量的關(guān)系有關(guān). 從數(shù)學(xué)概念的角度來看，“二次”給“函數(shù)”界定了次數(shù)關(guān)系，因此對二次函數(shù)概念的理解與對二次函數(shù)教學(xué)的理解，應(yīng)當(dāng)以“函數(shù)”為核心概念，以“二次”為輔助概念；而在實(shí)際教學(xué)的時候，又需要通過對“二次”的強(qiáng)調(diào)，來構(gòu)建二次函數(shù)的概念. 因?yàn)樵诖酥?，學(xué)生已經(jīng)在正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，形成了顯性或隱性的“函數(shù)”概念，因此“二次”才是需要強(qiáng)調(diào)的教學(xué)內(nèi)容.

以上是從概念理解的角度分析二次函數(shù)的，作為教師還需要從教學(xué)的角度分析二次函數(shù). 教學(xué)是一個系統(tǒng)工程，是在師生互動、生生互動的過程中引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的過程，對于二次函數(shù)的教學(xué)而言，考慮到學(xué)生概念建構(gòu)的基礎(chǔ)性，筆者以為需要從工具性、系統(tǒng)性兩個角度來認(rèn)識該概念的建構(gòu). 對于工具性，是指要讓學(xué)生認(rèn)識到二次函數(shù)概念學(xué)習(xí)背后的“數(shù)、量”關(guān)系，要讓學(xué)生認(rèn)識到只有二次函數(shù)才能描述特定的關(guān)系. 只有學(xué)生建立了這樣的思路，那在呈現(xiàn)相關(guān)例子的時候，才有可能真正激活學(xué)生從數(shù)與量的角度進(jìn)行分析的思維（下面會詳述）.

對于系統(tǒng)性，筆者的意思是指二次函數(shù)的教學(xué)，必須明確概念、定義、解析式、表格、圖像、性質(zhì)等角度分類闡述，以幫助學(xué)生建立相對立體的知識體系. 在此需要強(qiáng)調(diào)的是，這一知識體系并不特別指向二次函數(shù)，只不過是因?yàn)樵诔踔袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，二次函數(shù)有一種提綱挈領(lǐng)的地位，能夠綜合前面所學(xué)的相關(guān)函數(shù)，能夠?yàn)楹罄m(xù)的函數(shù)知識學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 同時，在二次函數(shù)的學(xué)習(xí)中，會經(jīng)歷典型的從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程. 從這兩個角度來講，二次函數(shù)的教學(xué)都具有知識結(jié)點(diǎn)的作用，因此有著研究的價值. 有研究表明，初中階段的二次函數(shù)教學(xué)可以深化學(xué)生此前形成的關(guān)于一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）和反比例函數(shù)的認(rèn)識. 從心理學(xué)的角度來看，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生以函數(shù)這個宏觀概念，將初中階段的三大基本函數(shù)整合到一起，從而形成一個大的知識組塊，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的記憶與理解.

從工具性與系統(tǒng)性兩個角度建立了對二次函數(shù)的理解，那在實(shí)際教學(xué)的時候就有了“綱”. 俗話說，綱舉目張，一旦教學(xué)思路明確，那教學(xué)設(shè)計就要據(jù)此而行.

二次函數(shù)教學(xué)的新設(shè)計

基于以上理解，筆者在教學(xué)設(shè)計時注重兩點(diǎn)：

一是強(qiáng)調(diào)數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)工具性. 在蘇教版教材中，教材在復(fù)習(xí)一次函數(shù)的基礎(chǔ)上通過三個實(shí)例引入二次函數(shù). 這三個實(shí)例分別是：水滴激起的波紋不斷向外擴(kuò)展，所形成的圓面積S與半徑r之間的函數(shù)關(guān)系；用16 m長的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，怎樣圍可使小兔的活動范圍較大；一面長與寬之比為2 ∶ 1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，加工費(fèi)為45元. 那么總費(fèi)用為多少元.

這三個問題的呈現(xiàn)方式是一樣的，都是將已知條件與未知條件明確出來，以讓學(xué)生在具體的數(shù)量關(guān)系的尋找中發(fā)現(xiàn)二次聯(lián)系的存在. 可惜的是，對于初中階段的學(xué)生而言，只有第一個例子能夠順利解決，而第二和第三個例子中涉及的量的關(guān)系，在初中階段之前并沒有涉及，因此多出來的這個攔路虎，某種程度上分散了學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力. 而為了強(qiáng)調(diào)這種數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)出函數(shù)在數(shù)量關(guān)系研究中體現(xiàn)出來的工具性，筆者以為可以回避以上第二、第三個例子，另尋存在的二次關(guān)系. 其實(shí)為了體現(xiàn)這種工具性，可以讓學(xué)生仿照第一個例子去尋找第二個例子，而教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生尋找的例子一定會與第一個例子非常近似但又不完全相同，這無形當(dāng)中符合數(shù)學(xué)概念構(gòu)建所需要的變式；而直接加工學(xué)生所舉的例子，往往更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而讓不同二次關(guān)系所表現(xiàn)出來的共同點(diǎn)可以更為明確. 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了數(shù)量的二次關(guān)系時，實(shí)際上也就是二次函數(shù)概念形成之時.

更重要的是，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三個不同的二次關(guān)系可以用同一種方式即二次函數(shù)的解析式來表達(dá)時，這個時候在學(xué)生的思維中會產(chǎn)生一種工具性認(rèn)同感，用學(xué)生的話說，“用一個式子，可以描述不同情形下的二次關(guān)系，這就是二次函數(shù)的本質(zhì)”. 盡管這樣的描述還有些樸素，但能夠從學(xué)生的嘴里說出來，就已經(jīng)充分體現(xiàn)出工具性在學(xué)生思維中形成了.

二是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)系統(tǒng)性. 系統(tǒng)性主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用中，只有讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新的知識（二次函數(shù)）與舊的知識（一次函數(shù)和反比例函數(shù)）的學(xué)習(xí)具有相同的方法，這種系統(tǒng)的認(rèn)識才能真正形成. 筆者在教學(xué)中，采用類比的方法實(shí)施教學(xué)，取得了較好的效果.

以二次函數(shù)的圖像教學(xué)為例，一般二次函數(shù)的圖像當(dāng)然是可作的，讓學(xué)生用描點(diǎn)法作圖即可. 應(yīng)當(dāng)說這一教學(xué)思路是正確的，但卻也是相對孤獨(dú)的. 筆者設(shè)計用描點(diǎn)法作圖為第一步，此時如果不出意外，學(xué)生會感覺到一絲厭煩，因?yàn)樗悸窓C(jī)械且所描的點(diǎn)不少. 而在筆者的教學(xué)中，這樣的厭煩心理恰恰是可以利用的學(xué)習(xí)因素. 因?yàn)榻逃杏小安粦嵅粏?，不悱不發(fā)”之說，厭煩心理正是憤與悱的體現(xiàn). 在學(xué)生有了這一心理之后，筆者將這樣的心理點(diǎn)出來，以獲得所有學(xué)生的認(rèn)同. 然后在此基礎(chǔ)之上設(shè)計第二步教學(xué)：先讓學(xué)生作出y=ax2的圖像，有了前面的復(fù)雜描點(diǎn)，此時的描點(diǎn)倒變得非常簡單，學(xué)生很快就能作出來；然后再引導(dǎo)學(xué)生思考“能不能由y=ax2的圖像得出y=ax2+bx+c的圖像？”這是一個具有一定挑戰(zhàn)性的問題，但由于有前面一次函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)（系統(tǒng)性的體現(xiàn)），學(xué)生自然會想到平移，顯然將其上、下平移，即可以讓函數(shù)中多出常量c. 那么，又是如何獲得一次項(xiàng)的呢？有學(xué)生自然會想到左、右平移，等到在y=ax2的圖像（此時借助幾何畫板）上進(jìn)行左、右平移時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以獲得y=a（x+m）2的圖像. 自然，如果同時左、右平移及上、下平移，那么就可以獲得y=a（x+h）2+k的圖像.

這樣的變換看起來復(fù)雜，但在新授課的過程中如果能夠花時間強(qiáng)調(diào)，那學(xué)生所建立的關(guān)于二次函數(shù)的圖像就是立體的，就是有根基的，從而完成了新舊知識的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了知識系統(tǒng)的構(gòu)建.

二次函數(shù)教學(xué)的新評價

評價在教學(xué)中的作用實(shí)際上非常重要，但往往又會為教師所忽視. 課堂教學(xué)中教師隨口的一句評價，往往對學(xué)生的學(xué)習(xí)有著很大的影響. 此處，筆者關(guān)注的是評價對學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識的影響.

事實(shí)證明，二次函數(shù)知識的構(gòu)建中，要想讓學(xué)生真正認(rèn)識到函數(shù)的工具性，要想讓學(xué)生在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中真正生成系統(tǒng)性，教師在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的介入式評價非常重要. 比如說，在學(xué)生習(xí)得了二次函數(shù)的解析式之后，教師就應(yīng)當(dāng)如此評價：同學(xué)們很好地總結(jié)出了上述三個例子的共性，并且能夠像學(xué)習(xí)一次函數(shù)一樣尋找到了二次函數(shù)的解析式，這說明同學(xué)們有很好的分析與綜合能力. 這樣的評價直接指向分析與綜合這樣的思維方法，可以對數(shù)學(xué)方法的生成產(chǎn)生一種潛移默化的策動作用；又如在平移得到二次函數(shù)圖像的過程中，三次平移（上下、左右、上下且左右）中每一次平移所得到的結(jié)果，都應(yīng)當(dāng)給予積極評價，這樣才能讓學(xué)生能夠在長時間中保持注意力，才能真正促進(jìn)二次函數(shù)圖像（包括后面的性質(zhì)等）系統(tǒng)生成.