2015年中考數(shù)學尺規(guī)作圖題型分析

陳少毅

[摘 要]2011年版《義務教育數(shù)學課程標準》對尺規(guī)作圖作了適當?shù)恼{(diào)整，課程標準的變化，對2015年中考產(chǎn)生了較大的影響，各地出現(xiàn)了不少考查尺規(guī)作圖的新題型，這些題型從條件的給出與作圖意義上都有適當?shù)膭?chuàng)新，對促進新課標的落實和學生思維品質(zhì)的提升具有積極的教學導向意義.

[關鍵詞]數(shù)學尺規(guī) 作圖題型 分析

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 16746058（2016）110013

2011年版《義務教育數(shù)學課程標準》對尺規(guī)作圖作了適當?shù)恼{(diào)整，增加了如“過一點作已知直線的垂線”等六條尺規(guī)作圖教學內(nèi)容，并將教學要求從“了解尺規(guī)作圖的步驟”調(diào)整為“不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實施這些步驟的理由”.本文根據(jù)2015年中考數(shù)學尺規(guī)作圖從條件給出與作圖意義大體分為以下幾種題型進行分析.

一、按照明確指令，完成基本作圖

直接按照題目給出的要求完成基本作圖，或在其基礎上完成圖形計算、證明是2015年中考出現(xiàn)較多的題型，這種題型有助于考查課標對尺規(guī)作圖教學要求的落實情況.

猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明.

這類考題直接考查學生是否真正掌握了基本的作圖和利用基本作圖完成課標要求的作圖教學內(nèi)容，并在

此基礎上與證明、計算有機地融合在一起，突出幾何題型在推理能力培養(yǎng)上的作用.比如例2，它以尺規(guī)作圖為載體，在學生正確完成角平分線、線段垂直平分線作圖

的基礎上，讓學生經(jīng)歷觀察猜想，推理驗證的過程，題型

結構合理，達成了“在數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力”的課程目標.

二、根據(jù)給定條件，確定方法作圖

如果說直接按照指令完成作圖是考查學生基本的操作技能，那么根據(jù)所給的條件自己選擇、確定基本作圖方法完成作圖，則是兼顧了對基本作圖原理和學生良好思維品質(zhì)的考查.

【例3】 （2015·甘肅甘南藏族自治州）如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB

（1）利用尺規(guī)作圖，在BC邊上確定點E，使點E到邊AB，AD的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）若BC=8，CD=5，則CE= .

【例4】 （2015·山西）如圖3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°.

（1）尺規(guī)作圖：作⊙C，使它與AB相切于點D，與AC相交于點E，保留作圖痕跡，不寫作法，請標明字母.

（2）在你按（1）中要求所作的圖中，若BC=3，∠A=30°，求DE的長.

從以上兩個例題中可以發(fā)現(xiàn)，本類題型并沒有直接給出完成哪種基本作圖，必須根據(jù)給定條件依托作圖原理判斷作圖方法.比如例3，由“到邊AB，AD的距離相等”判斷是作∠A的角平分線；而例4，由“⊙C與AB相切于點D”，可判斷是過點C作直線AB的垂線段AD.這種從給定條件到作圖方法的聯(lián)系，需要學生綜合所學的相應圖形的性質(zhì)和判定定理，通過猜想、操作、推理后做出正確判斷，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，能有利于學生形成理性思考問題的意識.

三、觀察作圖步驟，說明作圖依據(jù)

2011版課標對“作圖道理”的關注，催生了2015年中考尺規(guī)作圖的新題型，這類題要求學生按照題目描述的作圖步驟，通過試題設置問題，讓學生追問每一步操作背后的根據(jù)，培養(yǎng)學生的理性精神.

【例5】 （2015·廣東梅州）如圖4，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫弧；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；

③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD.

（1）求證：△ABC≌△ADC；

（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長.

本類題型的共同特點是在試題中通過呈現(xiàn)作圖步驟，給出所要求作（或求證）的圖形的條件，并據(jù)此說明作圖根據(jù)（或進行推理證明）.在例5中，由作圖可得條件“AD=AB，CD=CB”，并在此基礎上證明三角形全等.解決這類問題的關鍵是，引導學生結合所作圖形，將規(guī)范的作圖語句轉換成證題所需的幾何符號進行表達，利用所學的知識對命題進行邏輯證明.

四、分析背景材料，設計方案作圖

設置適當?shù)膯栴}情景或給出新定義的圖形概念，讓學生在理解的基礎上，根據(jù)題目要求按指定的任務，自我尋找解決方案進行作圖，是一類極具挑戰(zhàn)性的尺規(guī)作圖新題型.

【例6】 （2015·陜西）如圖5，已知△ABC，請用尺規(guī)過點A作一條直線，使其將△ABC分成面積相等的兩部分（保留作圖痕跡，不寫作法）.

【例7】 （2015浙江臺州）定義：如圖6，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點.

（1）略；（2）略；

（3）已知點C是線段AB上的一定點，其位置如圖7所示，請在BC上畫一點D，使C，D是線段AB的勾股分割點（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，畫出一種情形即可）

（4）略.

讓學生自我設計尺規(guī)作圖題型，注重引導學生探索知識和結論，強調(diào)讓學生在數(shù)學情景中分析問題，解決問題，需要學生有較強的閱讀理解能力和較高的數(shù)學綜合素養(yǎng).比如例6，要求學生有很好的化歸轉化思想，能由條件“面積相等”聯(lián)想到“等高等底”，并從找線段BC的中點轉化為尺規(guī)作垂直平分線.又如例7，本題是2015年浙江省臺州市的中考壓軸題，它首先需要學生能理解線段“勾股分割點”的概念，在此基礎上，還要根據(jù)圖8中點C的位置，利用直角三角形三邊關系判斷線段AC只能是直角邊，進而探索如何將CB分割為另一條直角邊和斜邊，本題作圖方案的最終確定，對學生應用幾何知識、動手操作能力、數(shù)學思想方法和數(shù)學活動經(jīng)驗的積累都有較高的要求（圖8是一種正確的尺規(guī)作圖結果）.

（責任編輯 黃桂堅）