理解考題結(jié)構(gòu)，跟進(jìn)教學(xué)思考——以2016年江蘇常州中考第28題為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校　王友峰

理解考題結(jié)構(gòu)，跟進(jìn)教學(xué)思考——以2016年江蘇常州中考第28題為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)青劍湖學(xué)校王友峰

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），圍繞2016年中考試題的文章不僅關(guān)注解法，而且注意在反思回顧階段揭示問題的多解與問題的深層結(jié)構(gòu)，并且有不少文章圍繞考題開展“一題一課”的教學(xué)微設(shè)計(jì)，這種著眼于教學(xué)的考題研究取向值得點(diǎn)贊.受到啟發(fā)，本文以一道考題為例，先給出思路突破與解后反思，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、考題的思路突破與解后反思

考題（2016年江蘇常州，第28題）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在射線BC上（異于點(diǎn)B、C），直線AP與對(duì)角線BD及射線DC分別交于F、Q.

（2）若點(diǎn)P在線段BC上，過點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G.當(dāng)△FGC≌△QCP時(shí)，求PC的長(zhǎng).

（3）以PQ為直徑作⊙M.

①判斷FC和⊙M的位置關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)直線BD與⊙M相切時(shí)，直接寫出PC的長(zhǎng).

圖1　

圖2　

1.思路突破

（1）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠ABP=90°，BP=在Rt△ABP中，即∠BAP=30°.

（2）如圖2，過點(diǎn)F作FG⊥DQ于點(diǎn)G，連接FC.

設(shè)CP為x，由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，且∠FDG= 45°，結(jié)合FG⊥CD，得∠DFG=45°，可得FG=GD.由于△FGC≌△QCP，所以GC=CP=x，CQ=FG=DG=1-x，∠CFG=∠CQP.又∠CGF=∠CGF，所以△GFC～△QGF，所以可得關(guān)于x的方程：（1-x）2=1·x，解得x1=（大于正方形邊長(zhǎng)1，舍去）.即PC的長(zhǎng)為

（3）①首先猜想它們的位置關(guān)系是相切.結(jié)合兩種可能的圖形進(jìn)行證明，如圖3和圖4.

圖3　

圖4　

情況1：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，連接MC.因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn)，∠PCQ=90°，所以CM=PM=MQ，所以點(diǎn)C在⊙M上，且∠MPC=∠MCP.在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABF=∠CBF，BF=BF，可得△ABF≌△CBF，則∠BAF=∠BCF.又因?yàn)椤螧AF+∠APB=90°，∠APB=∠MPC，所以∠PCF+∠MCP=90°，所以∠FCM=90°.結(jié)合點(diǎn)C在⊙M上，可得FC和⊙M相切.上述思路屬于“連半徑，證垂直”的切線證明路徑.

情況2：如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，由上面的“情況1”可得∠BAF=∠BCF，所以∠DAF=∠DCF，其余與“情況1”相同，仍然是“連半徑，證垂直”的切線證明路徑.

綜上，F(xiàn)C與⊙M相切.

②需要分兩種可能的情況討論，如圖5和圖6.

情況1：如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，設(shè)直線BD與⊙M相切于E點(diǎn)，有ME⊥BD.由之前的討論知道FC與⊙M相切，所以圖形具備“切線長(zhǎng)定理”的基本圖形，可得∠MEF=∠MCF=90°，ME=MC，MF=MF，證得Rt△MEF≌Rt△MCF，得∠MEF=∠MFC.設(shè)∠MQC=α，則∠MCQ=α，所以∠MFE=45°+α=∠MFC，∠FCD=90°-α，所以∠EFC= 90°-2α，∠EFC=90°-α+45°，得方程90°+2α=90°-α+45°，解得α=15°，即∠BAF=15°.

圖5　

圖6　

接下來，讓我們把問題簡(jiǎn)化，如圖7，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，且∠BAP=15度.求PC的長(zhǎng).

圖7　

圖8　

可以利用如圖8所示的構(gòu)造方法，實(shí)現(xiàn)求解，連接AC，作PH⊥AC于H點(diǎn)，將△APC分割為兩個(gè)特殊直角三角形，設(shè)PH=y，則由得，解得即

情況2：當(dāng)點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖6，同理可得∠APB=15°，用類似的方法解得

2.解后反思

我們主要針對(duì)第（3）問，選擇幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行反思.

關(guān)鍵點(diǎn)之一：注意分類討論，即點(diǎn)P在邊BC上、點(diǎn)P在邊BC的延長(zhǎng)線上.

第（3）題的兩個(gè)小問都需要針對(duì)點(diǎn)P的不同位置進(jìn)行構(gòu)圖分析，不然都會(huì)漏解，或解釋不清.隨著點(diǎn)P的位置的變化，需要注意構(gòu)造出符合要求的草圖.

關(guān)鍵點(diǎn)之二：發(fā)現(xiàn)特殊圖形并善于利用基本圖形獲取思路.

最后一問的兩種圖形都需要利用“切線長(zhǎng)”基本圖形及其性質(zhì)獲得思路.再如在最后一問確認(rèn)出15度角之后，及時(shí)分離簡(jiǎn)化圖形到圖7，再構(gòu)造出圖8，轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形實(shí)現(xiàn)求解.

二、關(guān)于解題教學(xué)的思考

以下圍繞該題的解題教學(xué)闡釋幾點(diǎn)思考.

1.理解問題的深層結(jié)構(gòu)，弄清問題主要難點(diǎn)

中考試題都是命題組專家的集中智慧，是研究打磨的成果，特別是試卷關(guān)鍵位置上的把關(guān)題，更是凝聚著專家組的智慧.作為研習(xí)者，不能只是滿足于貫通思路，還要在貫通思路之后反思問題的主要難點(diǎn)，問題的深層結(jié)構(gòu)是什么，問題考查的立意是什么，問題還有哪些不同的解題路徑，哪種路徑更自然，問題與教材上哪類例、習(xí)題有關(guān)聯(lián)，如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，等等，這些問題都是解題教學(xué)時(shí)教者需要深入思考的話題.

2.精心設(shè)計(jì)鋪墊式問題，引導(dǎo)學(xué)生思維參與

選擇這類把關(guān)題作為例題開展講評(píng)時(shí)，要注意精心預(yù)設(shè)鋪墊式問題，特別是開課階段引導(dǎo)更多學(xué)生的思維參與，避免開課階段就只有一些優(yōu)秀學(xué)生參與思考，而數(shù)學(xué)水平偏弱的學(xué)生從一開始就放棄思維參與.作為必要的實(shí)踐跟進(jìn)，以下我們給出該題的開課引入的教學(xué)設(shè)計(jì).

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）開課階段，特例引入

引例如圖9，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在射線BC上（異于點(diǎn)B、C），連接AP，交對(duì)角線于點(diǎn)E.求∠BAP的度數(shù)；

圖9　

（3）當(dāng)點(diǎn)P恰為BC的中點(diǎn)時(shí)，求BE的長(zhǎng)；

（4）當(dāng)∠BAP=15°時(shí)，求PC的長(zhǎng)；

（5）當(dāng)∠APB=15°時(shí)，求PC的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：通過問題變式研究，熟悉相關(guān)基本圖形和求解經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)問題拓展提供必要的輔助思考.

（1）連接CE，求證CE=AE；

（2）若

3.開展講評(píng)后變式檢測(cè)，重視教學(xué)效果反饋

近一段時(shí)間以來，《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）刊載了不少課例文章倡導(dǎo)開展“聽課檢測(cè)”，筆者深受教益，在自己的教學(xué)實(shí)踐中也經(jīng)常開展，取得較好的教學(xué)反饋效果，特別是往往能校正、審視自己的解題教學(xué)實(shí)效，有時(shí)事與愿違，一些較難試題經(jīng)過自己多角度、較長(zhǎng)時(shí)間講評(píng)之后，效果反而不如讓學(xué)生先說，各自表達(dá)自己的解法，然后喊其他學(xué)生上臺(tái)復(fù)述，再講一遍之后，再檢測(cè)時(shí)，效果反而會(huì)更好.最后我們也圍繞“考題”提供一道變式檢測(cè)題.

變式檢測(cè)題：如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在射線BC上（異于點(diǎn)B、C），直線AP與對(duì)角線BD及射線DC分別交于F、Q.

（1）當(dāng)∠BAP=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng).

（2）取PQ的中點(diǎn)N，連接CN，求證CN⊥CF.

（3）當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，作出△PCQ的外接圓⊙M，并判斷該外接圓⊙M與CF的位置關(guān)系，說明理由.

（4）在（3）的條件下，⊙M與直線BD能否相切？如果能，求出此時(shí)∠APB的度數(shù).

（5）當(dāng)∠BAP=15°時(shí)，取PQ的中點(diǎn)N，求點(diǎn)N到直線BD的距離.

1.鐘啟泉.“教會(huì)提問”的教學(xué)［J］.基礎(chǔ)教育課程，2014（9）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.

4.【美】波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.Z