削枝強(qiáng)干凸顯結(jié)構(gòu)，解后反思積累模式——以2016年江蘇徐州中考卷第28題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學(xué)　王衛(wèi)娟

削枝強(qiáng)干凸顯結(jié)構(gòu)，解后反思積累模式——以2016年江蘇徐州中考卷第28題為例

☉江蘇省南通市通州灣海晏中學(xué)王衛(wèi)娟

中考綜合題（特別是把關(guān)題）常常備受本地區(qū)師生的關(guān)注，在一個(gè)更大的范圍也常常因?yàn)楦鞣N“中考題分類”的傳播與推介而得到復(fù)習(xí)時(shí)的關(guān)注.有些考題因?yàn)槿鄙偾昂箨P(guān)聯(lián)、上下呼應(yīng)的命題追求，呈現(xiàn)拼湊式命題取向，講評時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生對各個(gè)設(shè)問展開各個(gè)擊破，并在解后回顧階段提示問題深層結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生完善“模式積累”.本文以徐州卷一道綜合題為例，先給出思路突破，并跟進(jìn)教學(xué)思考，最后給出變式改編，提供研討.

一、考題與思路突破

考題（2016年江蘇徐州中考卷第28題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)C（2，0），其中對稱軸與x軸交于點(diǎn)D.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo).

圖1　

（3）M（s，t）為拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N，使得A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有幾個(gè)？

②連接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范圍.

1.思路突破

（1）考慮題中所給條件有兩個(gè)點(diǎn)是拋物線與x軸的交點(diǎn)，可以利用“兩根式”設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x+1）（x-2），再把代入解得所以y=頂點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)然也可以用“一般式”y=ax2+bx+c代入三點(diǎn)，或者“頂點(diǎn)式”設(shè)代入兩點(diǎn)求解.

（2）一般來說，分析兩條線段之和最小可以將問題轉(zhuǎn)化為所謂的“將軍飲馬”模型（基于軸對稱性質(zhì)、光線反射原理），然而從這道題目的結(jié)構(gòu)和已知信息來看，不具有向軸對稱方向轉(zhuǎn)化的可能，一是待求的不是兩條線段之和，而是一條線段的一半與另一線段的和，需要把該線段的一半做適當(dāng)構(gòu)造或轉(zhuǎn)化，于是想到特殊角度，如30°角的啟示，如圖2，過D點(diǎn)作DQ⊥AB于Q點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn).由題意可得∠ABO=30°，在Rt△PQB中這樣待求的最小值就轉(zhuǎn)化為PD+PQ，即DQ的最小值.顯然，此時(shí)DQ是D到AB的垂線段，為符合要求的最小值.此時(shí)∠可得

圖2　

圖3　

（3）①首先做問題的目標(biāo)解析，若A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則該四邊形由對角線分開的三角形應(yīng)該是等腰三角形，所以該小問設(shè)問的本質(zhì)其實(shí)是△ABM為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).于是構(gòu)造如圖3的草圖分析，有如下一些不同情形：

以B為圓心，BA的長為半徑的圓交拋物線對稱軸于M1，M2；以A為圓心，AB的長為半徑的圓交拋物線對稱軸于M3，M4；作線段AB的垂直平分線交拋物線對稱軸于M5.

換一個(gè)視角看：若AB為邊菱形的邊，因?yàn)镸為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，即分別以A、B為頂點(diǎn)，AB的長為半徑作圓與對稱軸的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，這樣的M點(diǎn)有四個(gè)；若AB為菱形的對角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)，作AB的垂直平分線與對稱軸的交點(diǎn)即為M5點(diǎn).

綜上所述，這樣的M點(diǎn)有5個(gè)，所以對應(yīng)的N點(diǎn)有5個(gè).

圖4　

②由題中60度的啟示，首先補(bǔ)成一個(gè)等邊△ABQ，如圖4，再作出△ABQ的外接圓（圓F，注意圓心F應(yīng)該在y軸上），則拋物線的對稱軸被該圓“圈住”的部分則是符合要求的點(diǎn)M所在位置.因?yàn)楦鶕?jù)圓周角定理，∠AM1M2=∠AM2M1=60°，當(dāng)M點(diǎn)落在M1M2之間時(shí)，∠AMB不小于60°，接下來就是求此時(shí)t的取值范圍.設(shè)⊙F與拋物線的對稱軸交于M1，M2，作FG⊥M1M2，由垂徑定理知M1G=M2G，在根據(jù)勾股定理可得再結(jié)合所以即

2.解后反思

該題第（2）、（3）問之間缺少關(guān)聯(lián)，屬于相對獨(dú)立的設(shè)問，且互相之間沒有啟示思路之作用，屬于較低水平的拼湊綜合題.具體來說，第（2）問如果之前學(xué)生沒有練習(xí)過此類轉(zhuǎn)化的方式，則要考場上獨(dú)立貫通思路可能性較小，因?yàn)檫@不是初中階段較常見的最值問題，而是高中數(shù)學(xué)教材中一個(gè)經(jīng)典問題.而第（3）問的兩個(gè)問題也缺少關(guān)聯(lián)，第①小問只是用菱形的設(shè)問掩蓋了等腰三角形的探究，這類問題在復(fù)習(xí)期間應(yīng)該得到太多的訓(xùn)練，屬于陳題再練；而第②小問則是一個(gè)等邊三角形外接圓問題，利用正三角形的外接圓性質(zhì)獲得問題結(jié)構(gòu)，并進(jìn)一步構(gòu)造直角三角形實(shí)現(xiàn)思路貫通.這類問題在近年來北京中考卷、北京市各區(qū)九年級的測試卷中以新定義的方式呈現(xiàn)過多次.簡而言之，徐州卷這道綜合題迎合了當(dāng)下題海戰(zhàn)術(shù)，把多個(gè)考生練習(xí)、復(fù)習(xí)過的題型生拼硬湊在一道所謂的大題之中，從第（2）問往后就讓題干提前枯萎，這種缺少上下關(guān)聯(lián)、前后呼應(yīng)的命題取向值得商榷.

二、教學(xué)思考

1.講評綜合題時(shí)注意分離問題旁枝，凸顯問題結(jié)構(gòu)

聽不少初任教師的綜合題講評課時(shí)，常常會(huì)就題講題，缺少對問題結(jié)構(gòu)的揭示，或多解歸一的思考.特別是沒有能將問題中的繁雜信息引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的刪減，削枝強(qiáng)干，使得問題的結(jié)構(gòu)進(jìn)一步凸顯.

2.講評綜合題后要有反思回顧環(huán)節(jié)，加強(qiáng)模式積累

講評綜合題時(shí)，在思路貫通、殊途同歸之后，還需要有必要的解后回顧環(huán)節(jié).引導(dǎo)學(xué)生回顧該題的主要難點(diǎn)、障礙之處，有哪些值得積累的經(jīng)驗(yàn)或模式圖形，在此基礎(chǔ)上，這些模型或經(jīng)典圖形是如何變式的，與此前積累的模型有哪些相通之處，把這些細(xì)微變式辨析出來，解題能力也就在這些過程中得到“潤物無聲”的提升.

三、命題打磨

知易行難，作為本文的最后，本著命題興趣，筆者對徐州卷給出下面一道變式改編題，可以作為講評徐州卷壓軸題之后的聽課檢測題，提供研討.

變式改編題：如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為D的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（2，0），且與y交于C點(diǎn).

（1）小明同學(xué)粗看圖形，覺得點(diǎn)A，C，D好像在同一直線上……；老師告訴小明，肯定出錯(cuò)了！請指出小明的判斷為什么是錯(cuò)誤的.

圖5　

（2）若P為拋物線對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若Q為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，記，當(dāng)d取得最小值時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

（4）若拋物線在第四象限上有一點(diǎn)N，記四邊形ABNC的面積為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)N坐標(biāo).

1.付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.

2.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.

3.王東.從“形聚”到“神似”：大題命制的一種追求——2016年鹽城卷第28題思路突破與命題反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.