藏鋒內(nèi)斂：例說綜合題命制中的分類討論——由2016年山西省壓軸題的拓展思考說起

☉江蘇省鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初中　楊劍峰

藏鋒內(nèi)斂：例說綜合題命制中的分類討論——由2016年山西省壓軸題的拓展思考說起

☉江蘇省鹽城市大豐區(qū)實(shí)驗(yàn)初中楊劍峰

中考綜合題特別是壓軸題常常會(huì)考查分類思想，以便檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、慎密性.也有些考題對(duì)分類討論提出過高要求，陷入失控、無度狀態(tài).本文先對(duì)一道考題的第（3）問進(jìn)行思路解析，并拓展思考，最后圍繞綜合題命制中對(duì)分類討論的調(diào)控提出一些初步思考，提供研討.

一、考題的思路突破

圖1　

考題（2016年山西省第23題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接CE，已知點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為（-2，0），（6，-8）.

（1）略；（2）略；

（3）若P是y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（0，m），直線PB與直線l交于點(diǎn)Q，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)，△OPQ是等腰三角形.

以下重點(diǎn)展開第（3）問思路突破：首先要分析待求的△OPQ是等腰三角形有幾種不同情形，考慮到點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△OPQ頂點(diǎn)Q是由直線PB與直線l相交所得，故不可能有OP=PQ.只可能存在兩種情況，即OP=OQ或OQ=PQ.以下構(gòu)造出草圖（如圖2，圖3）.

圖2　

圖3　

以下分述之：

①如圖2，當(dāng)OP=OQ時(shí)，△OPQ是等腰三角形.此時(shí)，過點(diǎn)E作EM∥PQ交y軸于點(diǎn)M，容易得到△OME也是等腰三角形，OM=OE=5，于是可求出直線ME的解析式為y=根據(jù)兩直線平行，斜率k相等，可設(shè)直線PQ的解析式為把B（8，0）代入即可得即點(diǎn)此外也可考慮利用△OPQ～△OME得到的比例式，以及由MH∥PB可得，組合溝通得出答案.

②如圖4，當(dāng)PQ=OQ時(shí)，△OPQ是等腰三角形.結(jié)合點(diǎn)E，C坐標(biāo)的特征，發(fā)現(xiàn)△OCE是等腰三角形，OE=CE，于是可以確認(rèn)CE∥PQ.可先解出直線CE的解析式為，進(jìn)一步設(shè)直線PQ的解析式為把B（8，0）代入解析式可得即

二、拓展思考

考慮到第（3）問限制了點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，如果該點(diǎn)放開到y(tǒng)軸上任意一點(diǎn)，那么還會(huì)有怎樣的可能情形呢？

問題表述如下：若P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（0，m），直線PB與直線l交于點(diǎn)Q，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)，△OPQ是等腰三角形.

圖4　

圖5　

圖6　

先研究圖4的情形，此時(shí)OP=PQ，△OPQ為等腰三角形，可得△OPQ～△OEC，結(jié)合OE=CE=5，OC=8，有OP∶OQ=5∶8，可設(shè)OP=5m，OQ=8m，設(shè)法將Q點(diǎn)的坐標(biāo)用含m的式子表示，如圖6，在Rt△OQH中，該三角形的三邊之比是“3∶4∶5”，可以表示出即點(diǎn)Q的坐標(biāo)由于另有P（0，5m），B（8，0），三點(diǎn)都是共線的，所以就轉(zhuǎn)化為以下問題：

解析：設(shè)該直線解析式為y=kx+b，把三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)分別代入直線解析式可確定出

接著研究第4種情形，如圖5，此時(shí)OP=OQ，點(diǎn)P在y軸正半軸，而點(diǎn)Q在x軸下方，可設(shè)P（0，5n），則OQ=5n，根據(jù)點(diǎn)Q在直線上，可得Q（3n，-4n），于是三點(diǎn)（0，5n），（3n，-4n），（8，0）在同一直線上，可以確定

三、命題感悟

即點(diǎn)P（0，24）.

從以上解法探討和拓展思考來看，山西省中考數(shù)學(xué)命題組應(yīng)該已預(yù)見到如果將點(diǎn)P放開在y軸上深入探究，則學(xué)生在考場(chǎng)上限時(shí)獨(dú)立解答完整的可能性是很小的，基于內(nèi)斂藏鋒的命題取向，命題組將探究的范圍適當(dāng)縮小，使得問題分類討論的情形只有兩種，減小了求解的難點(diǎn)，值得點(diǎn)贊.以下再圍繞命題中分類討論的話題給出幾點(diǎn)進(jìn)一步的思考.

1.分類討論的命題立意需要指向概念教學(xué)

初中階段的分類討論非常豐富，具體來說，代數(shù)領(lǐng)域由于數(shù)的范圍之豐富需要分類討論，比如實(shí)數(shù)系分有理數(shù)與無理數(shù)，或者是正數(shù)與負(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)到一個(gè)點(diǎn)所在數(shù)軸上的位置，就需要分該點(diǎn)在數(shù)軸上的正半軸、負(fù)半軸或原點(diǎn)等位置，上述考題第（3）問限制了在y軸負(fù)半軸上思考，而一旦放開，則需要考慮另外的點(diǎn)P在y軸正半軸的兩種可能情形.再比如在幾何領(lǐng)域，圖形之間的不同位置關(guān)系往往會(huì)帶來分類討論，三角形全等（相似）的不同對(duì)應(yīng)關(guān)系會(huì)帶來分類討論等，如本題中等腰三角形的腰沒有明確，則也會(huì)面臨著分類討論.這些分類討論的命題立意，背后都指向重視概念教學(xué).

2.分類討論需要深思，以防陷入無度失控

分類討論是每份中考試題都會(huì)反復(fù)考查的一種重要思想方法，對(duì)于檢測(cè)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性、慎密性有著十分重要的考查功能.但是分類討類的考題也需要注意把控和反復(fù)推敲，防止失控與無度.我們常常見到有些地區(qū)的考題，一道綜合題的分類討論結(jié)論多達(dá)4種以上，有些分類討論之后運(yùn)算還十分繁雜，且運(yùn)算的類型也高度趨同，使得考生思路易見，運(yùn)算難見終點(diǎn).

3.分類討論的問題需要考慮多種解法兼容

得到普遍認(rèn)可的是，中考綜合題的解法需要多樣化，因?yàn)橹锌济嫦虻氖谴髽颖旧踔寥珮颖经h(huán)境下的測(cè)試考查，一道把關(guān)題的設(shè)計(jì)高度，需要兼顧不同思維風(fēng)格學(xué)生的思維特點(diǎn).故命題時(shí)對(duì)于綜合題的不同分類情況，不僅要考慮分類的合理與思路如何生成，還要構(gòu)思或預(yù)設(shè)學(xué)生可能的解答路徑，使得考題的內(nèi)容效度與信度達(dá)到較高水平，也是試題命制中“兼顧公正”的一種追求.

四、結(jié)束語

命題也是一門遺憾的藝術(shù)，需要打磨與優(yōu)化.以上我們從一道考題的思路出發(fā)，拓展思考，并基于分類討論這一思想方法在綜合題中的命題技術(shù)展開了一些初步的思考，拋磚引玉，供批評(píng)指正.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.劉東升.以本為本：習(xí)題變式的視角與可能［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016（1）.

4.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.