從差異處著手，在課堂中生長——從“三角形內(nèi)角和”一課談起

☉江蘇省無錫市廣豐中學　何心芳

從差異處著手，在課堂中生長——從“三角形內(nèi)角和”一課談起

☉江蘇省無錫市廣豐中學何心芳

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，教學活動要關注學生的個體差異，努力使全體學生達到課程目標的要求.學生的差異是多方面的，且是動態(tài)發(fā)展的，從教學的角度更關注學生智能的差異，學習動機與學習興趣的差異，學習風格、方式的差異，以及認知準備的差異等.出色的教師要做發(fā)現(xiàn)學生差異的有心人，不僅能客觀承認這種差異，而且還能對自己學生的差異準確分辨，在關注學生不同的學習需求后，用差異化的教學策略讓學生在原有的基礎上得到最大的發(fā)展，這是教學的最終目的.

學生由于學習環(huán)境、生活經(jīng)驗、知識儲備等方面的不同，在數(shù)學學習過程中必然存在著差異.所以教學目標既照顧差異又對每個學生都應有挑戰(zhàn)性.

下面就以“三角形的內(nèi)角和為180°的探索和證明”為例作一個闡釋.

一、承認差異，制定有差異的教學目標

先分析該知識點的結構體系：本節(jié)內(nèi)容是三角形的一個重要性質，揭示的是三角形三個內(nèi)角之間的關系，是今后學習多邊形的內(nèi)角和、外角和及三角形外角性質等許多知識的基礎和依據(jù)；是計算角度和證明角相等的常用方法之一.到了初中，不僅要向學生說明證明的必要性，還要讓學生感受用幾何符號語言說理的過程，明白添加輔助線是解決幾何問題的常用方法.

再分析學生銜接的前知識的結構體系：在小學四年級蘇教版的教科書上已經(jīng)讓學生通過不同的實踐操作去感知這個內(nèi)容，只是還不知道這樣做的原因.學生已有的幾何語言知識是七年級上冊最后一章和下冊第一章有關平行線的識別和性質，學生最困難的是“把角的移動怎么變成線的平移”這一輔助線的出現(xiàn).

介于以上兩點，我設計了如下的教學目標.

（1）通過回顧，讓學生回憶得到三角形內(nèi)角和為180°的實驗操作過程.

預設三個學生可能的回答：①用量角器測量三個內(nèi)角的度數(shù)再相加；②把三個內(nèi)角撕下拼成一個平角；③可以將三角形折成一個長方形.其中①②是知識性目標，每個學生都要會操作；③是能力性目標，在教學教科書上有介紹，但學生估計已經(jīng)遺忘，需要通過教師的動手操作演示給學生看，只要學生了解就可以了.

（2）掌握三角形內(nèi)角和為180°的證明和推論，并能用它們解決有關角度計算的簡單實際問題.此目標全體要求掌握，其中對于證明的方法，學習能力較弱的學生掌握最簡單的一種即可.

（3）初步體會如何分析幾何證明思路，感受“輔助線”的方法，形成“言必有據(jù)”的推理習慣.此目標需要學習能力較強的學生理解.

由于是建立在多方分析的基礎之上，對學生所要達到的目標有層次的差異，因此課堂教學的針對性必然就會增加，各環(huán)節(jié)的設計也緊緊圍繞目標而開展.

二、照顧差異，設計有差異的“問題串”

在承認學生學習能力差異客觀存在的基礎上，為了讓不同能力層次的學生在課堂上都能有所思考和訓練，我們在每一教學環(huán)節(jié)的設計上可以設計一些有梯度的問題，以滿足學生的不同需求.

首先，通過設計“問題串”，激發(fā)不同層次學生的數(shù)學思維活動.本節(jié)課的重、難點是證明“三角形內(nèi)角和為180°”的方法，而學生最缺乏的就是證明的思路.所以通過以下問題串讓不同層次的學生都有所思考.①請同學們回憶一下，我們曾經(jīng)用什么方法探索了三角形內(nèi)角和為180°？②我們學過的知識中哪些是和180°有關的？③有什么辦法可以把它們聯(lián)系在一起？這三個問題的關系是遞進的，適合不同層次的學生.問題②可以和平角及平行線的同旁內(nèi)角聯(lián)系起來，問題③是為畫輔助線理下伏筆.

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

其次，通過設計“問題串”，找到突破重、難點的方法，讓學生有選擇地完成證明過程.在整個拼圖過程中，鼓勵學生有不同的發(fā)現(xiàn)，通過有效的活動形式，學生能出現(xiàn)的結果有四種情況.如：圖1和圖3都可以體會移動角和畫平行線的關系.設計的問題是：①請學生觀察，圖中有特殊位置的線嗎？請說明理由.②像這樣通過移動角我們得到了平行線，那么如果我們先作平行線，是否可以移動角呢？這樣證明的輔助線就產(chǎn)生了，重、難點也得以突破.在證明的過程中也要兼顧學生的差異，在學生獨立思考的基礎上，在小組內(nèi)先交流想法，然后利用圖1和圖3讓學生闡述自己的思路，教師在特別需要強調的地方適當補充和完善.只有在讓學生暴露證明方法的過程中，才能知道學生的問題所在，才能給予學生最有效的幫助，讓學生在不斷的學習和反思中得以提高.最后學生可以選擇一種完成證明過程.

最后，通過設計“問題串”，培養(yǎng)學生的歸納總結能力.問題①：請同學們想一想，我們是怎樣找到證明思路的？問題②：通過拼圖活動，我們又是如何發(fā)現(xiàn)證明思路的？在教師的追問中，讓學生感知數(shù)學的思維過程，通過歸納總結證明的思路體會數(shù)學的轉化思想.這是學生第一次接觸輔助線的添加，因此如何敘述輔助線的添加和證明過程的書寫規(guī)范是需要教師的示范作用的.課堂教學要給不同認知基礎的學生提供思考和學習的機會，并給予適當?shù)膸椭?設問的難度要循序漸進，要求不宜一下子提得過高，層次落差不宜太大.要保證不同層次的學生都有提高.

三、憑借差異，開展有差異的學習歷程

首先，組織學習互助小組，把能力強弱進行異質小組安排，以便于他們交流互助.如上述四種拼圖的方法，就是在小組合作交流的基礎上完成的.在設計小組活動時，既要考慮到組內(nèi)學生的差異，估計學生可能出現(xiàn)的結果和應對的策略，是交由組內(nèi)探討還是老師點撥；還要考慮到活動的目的性，設計好階梯型的活動要求，以幫助反應快速和部分緩慢的同學都可以通過活動體驗結果，經(jīng)歷屬于他們的相對完整的學習歷程.

如拼圖活動的要求是：①學生獨立完成；②組內(nèi)交流；③小組展示.對于部分學生還設計了友情提醒：從三角形ABC中撕下∠B、∠C，拼到∠A處.你還有其他拼法嗎？

其次，提供差異展示的機會.通過小組交流或全班交流，給學生提供相互學習的平臺.學習能力較弱的學生可以得到解題方法的提示，學習能力一般的學生可以獲得解題方法的積累，學習能力較強的學生可以收獲解題思維的拓展.而在實施過程中，學生在異質的交流和分享中得到了能力的學習與互補.如在大家都在分享兩種證明方法的喜悅時，有一位學生給出了如圖5所示的證明方法：利用平行線的同旁內(nèi)角互補來證明.

圖5　

在三角形內(nèi)角和為180°的教學中，共設計了兩處小組合作環(huán)節(jié).一處是拼圖，對于學生來說，要得到拼圖的所有情況是困難的，所以通過合作不僅讓組內(nèi)學生在交流中完善拼圖的方法，更重要的的是為后面的學習打下了基礎，否則學生的后續(xù)學習就很難跟上；第二處是證明，交流不僅可以得到思維上的拓展，還可以讓不同層次的學生都能有所收獲.學習能力較弱的學生獲得的是多幫一的機會，有助于他們掌握最基本的方法，嘗試到解題成功的喜悅.其他學生在組內(nèi)交流講解過程中，更明晰了自身的思考路徑，學習獲得的有效性更高.

四、延伸差異，選擇有差異的測試要求

由于不同能力水平的學生對知識的掌握和反映效果是不一樣的，因此教師應根據(jù)各層次學生的水平，設置有彈性的要求、可選擇的作業(yè).

一般可分為三個層次：作業(yè)設計為基礎題為主，同時配有少量的提高題和拓展題.學習能力較強的學生是基礎性作業(yè)和提高題、拓展題；學習能力一般的學生是基礎性作業(yè)和提高題，選做拓展題；學習能力較弱的學生是基礎性作業(yè)為主.考慮到學生做作業(yè)時的方便，會設計作業(yè)紙.針對不同層次的作業(yè)目標，可以規(guī)定凡完成自己所屬層次任務的，均能得“良”；凡完成任務突出或達到高一層目標的，可得“優(yōu)”；未完成所屬層次任務的，只能得“中”或“差”.這樣一來，學習能力較弱和一般的學生都有機會得“優(yōu)”，而學習能力較強的學生如果不努力也有可能得“中”.而對于有些題目不能分開時，就采用特別標注的方法.例如，已知∠A、∠B、∠C是三角形ABC的三個內(nèi)角.①若∠A=90°，∠C=40°，則∠B=____；②若∠C=2∠A，∠A+∠C=120°，則∠A=____，∠B= ____，∠C=____；③若∠A=70°，∠B-∠C=20°，則∠B= ____，∠C=____.其中②③是提高題，就會用圈題號或打星號來標注.

一單元學完后，均安排一次過關考核.根據(jù)學生的實際水平，同一份試卷擬定出不同層次的測試題，基本框架也是和作業(yè)一樣，但考試的要求不一樣.對于學習能力較弱的學生，要求完成基礎題后面批，個別輔導.對于考完后的試卷，要分析不同層次的學生.學習能力較弱的學生分析基本題的得分和失分，學習能力一般的學生分析基礎題的失分和提高題的得分，找到失分的原因和提高題中沒突破的困惑，學習能力較強的學生分析拓展題外的失分原因，暴露拓展題的思維過程，已經(jīng)想明白了哪些問題，還有什么困惑，面談或紙上交流.這樣給自己的試卷講評帶來的差異性，能讓學生講的題目我就不講，我只講學生要求我講的題目.有時還可以對知識的前后聯(lián)系、處理歸納作一下點撥.

總之，我們必須認可學生差異的客觀存在性，不管是在課前還是課中乃至課后都不能無視它，在設計每一個教學內(nèi)容時都要考慮到不同層次學生的需求，精心為學生設計能讓他們有成就感的環(huán)節(jié)和活動.差異教學追求的價值是每個學生最大限度的發(fā)展，所以我們必須尊重差異，理解差異，將差異作為一種資源，使我們的學生都接受有效的教育.

1.章建躍.中學生數(shù)學學科自我監(jiān)控能力［M］.上海：華東師范大學出版社，2003.

2.王光明.數(shù)學教育要培養(yǎng)效率意識［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2006（5）.Z