數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置“似是而非”問(wèn)題的實(shí)踐與思考

☉江蘇省南京市教學(xué)研究室　朱建明

數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置“似是而非”問(wèn)題的實(shí)踐與思考

☉江蘇省南京市教學(xué)研究室朱建明

新課程倡導(dǎo)以學(xué)生發(fā)展為本的理念，鼓勵(lì)課堂教學(xué)方式的創(chuàng)新，注重學(xué)生充分參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程，促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)開(kāi)展.因此，為了幫助學(xué)生正確理解概念，熟練技能，掌握方法，作為有效載體，數(shù)學(xué)“似是而非”問(wèn)題被廣泛設(shè)計(jì)并運(yùn)用于課堂教學(xué)中，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，也深受廣大教師的喜愛(ài).

數(shù)學(xué)“似是而非”問(wèn)題以學(xué)生學(xué)習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn)、疑惑點(diǎn)為素材設(shè)計(jì)的教學(xué)問(wèn)題，通過(guò)師生質(zhì)疑交流，探究這些問(wèn)題中不易被發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤的原因，在糾錯(cuò)中澄清錯(cuò)誤，使學(xué)生獲得正確的認(rèn)識(shí).下面就以江蘇科技出版社出版的初中數(shù)學(xué)教材《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》中的教學(xué)內(nèi)容為例，談?wù)剶?shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置“似是而非”問(wèn)題的實(shí)踐與思考.

一、辨析概念，揭示內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心.概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石，在初中階段，有大量的新概念需要學(xué)生理解和掌握.對(duì)每個(gè)新概念的教學(xué)，教師都可以設(shè)置相應(yīng)的“似是而非”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從不同層面去理解概念的內(nèi)涵，界定概念的外延，使學(xué)生形成正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念.

例1“6.1函數(shù)（第1課時(shí)）”（八年級(jí)上冊(cè)）在得出函數(shù)概念后，提出問(wèn)題：

（1）某賓館有58個(gè)客房，每個(gè)客房的門(mén)鎖有3把鑰匙，如果一把鑰匙只能開(kāi)一把鎖，那么門(mén)鎖是鑰匙的函數(shù)嗎？為什么？

（2）如果y是正數(shù)x的平方根，那么y是x的函數(shù)嗎？為什么？

（3）數(shù)軸上的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是x，點(diǎn)A表示數(shù)y，那么y是x的函數(shù)嗎？為什么？

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是揭示事物之間變化規(guī)律的有效手段.與常量數(shù)學(xué)不同，函數(shù)不是表示一個(gè)確定的數(shù)值，而是反映變量與變量之間的依賴(lài)關(guān)系，因此，函數(shù)概念是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).本例設(shè)置的三個(gè)“似是而非”問(wèn)題，問(wèn)題（1）中的門(mén)鎖和鑰匙都不是數(shù)值，問(wèn)題（2）、（3）都與“對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一值與它對(duì)應(yīng)”不符，通過(guò)學(xué)生對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的交流討論，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)概念的本質(zhì).

例2“8.3頻率與概率（第2課時(shí)）”（八年級(jí)下冊(cè)）在本節(jié)課“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”的教學(xué)之后，提出問(wèn)題：

下列說(shuō)法正確嗎？為什么？

（1）在一定條件下大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是概率；

（2）拋擲質(zhì)地均勻的硬幣正面朝上的概率是0.5，表示拋擲1000次硬幣必有500次正面朝上.

初中數(shù)學(xué)中的有些概念，學(xué)生對(duì)其理解需要有個(gè)過(guò)程，“概率”就是不易理解的概念之一，本例將“概率”與“頻率”兩個(gè)概念重組，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)上述“似是而非”問(wèn)題的辨析，強(qiáng)化對(duì)它們之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，正確理解“一個(gè)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值”所表達(dá)的意義.

二、判別命題，明辨真?zhèn)?/h2>

表達(dá)數(shù)學(xué)判斷的陳述句或用數(shù)學(xué)符號(hào)聯(lián)結(jié)數(shù)和表示數(shù)的句子的關(guān)系統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)學(xué)命題.數(shù)學(xué)命題的教學(xué)是獲得新知的必由之路，也是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).在命題教學(xué)中，通過(guò)設(shè)置“似是而非”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)判斷命題真?zhèn)危莆胀评碚撟C方法，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

例3“1.3探索三角形全等的條件（第8課時(shí)）”（八年級(jí)上冊(cè)）在本課例8的教學(xué)之后，提出問(wèn)題：有兩條邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等嗎？為什么？

圖1　

本例中，如果是兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別相等，那么可以用“SAS”證明兩個(gè)三角形全等；如果是斜邊和一條直角邊分別相等，那么可以用“HL”證明兩個(gè)三角形全等；如果是如圖1中的“錯(cuò)位”相等，即AC=EF，BC=DE，那么這兩個(gè)三角形不全等.這個(gè)“似是而非”問(wèn)題把三角形全等的判定進(jìn)行了一個(gè)綜合應(yīng)用，突出了“兩個(gè)直角三角形有三個(gè)相等條件，它們也不一定全等”的情形，因此設(shè)置這個(gè)“似是而非”問(wèn)題具有較高的教學(xué)價(jià)值.

例4“6.4探索三角形相似的條件（第3課時(shí)）”（九年級(jí)下冊(cè)）在本課例4的教學(xué)之后，提出問(wèn)題：

圖2　

如圖2，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，如果那么可得DE∥BC，但如果，那么DE與BC平行嗎？為什么？本例中，如果將這個(gè)問(wèn)題中的條件與結(jié)論倒置，即DE∥BC，那么易得△ADE～△ABC.于是正是這一特性，使得這一“似是而非”問(wèn)題能夠糾正許多學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形中，如果兩邊成比例且其中一邊的對(duì)角相等，這兩個(gè)三角形不一定相似，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)三角形相似中的易錯(cuò)點(diǎn).本例教學(xué)應(yīng)從構(gòu)圖出發(fā)，輔以說(shuō)理，可以引導(dǎo)學(xué)生較好克服這一易錯(cuò)點(diǎn).

三、體驗(yàn)規(guī)則，感受差異

初中數(shù)學(xué)有許多新的運(yùn)算規(guī)則，有理數(shù)的運(yùn)算、根式運(yùn)算、分式運(yùn)算都有各自的運(yùn)算規(guī)則，方程（組）、不等式（組）的解法也各不相同.在這些內(nèi)容的教學(xué)中，可以編制數(shù)學(xué)“似是而非”問(wèn)題，通過(guò)學(xué)生辨別體驗(yàn)，幫助他們感受其中各自運(yùn)算規(guī)則的特質(zhì)，理清不同規(guī)則的差別，以便增進(jìn)學(xué)生的運(yùn)算技能.

例5“3.4合并同類(lèi)項(xiàng)（第1課時(shí)）”（七年級(jí)上冊(cè)）在課本例1的教學(xué)之后，提出問(wèn)題：

下列計(jì)算正確嗎？為什么？

（1）3a+4b=7ab；（2）8y-y=7；

（3）2b3+b3=3b6；（4）-2x2y+xy2=-x2y.

本例是學(xué)生學(xué)習(xí)整式運(yùn)算初期最易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，與數(shù)的運(yùn)算規(guī)則不同，整式運(yùn)算有自身特有的規(guī)則，通過(guò)對(duì)本例中“似是而非”問(wèn)題的辨析討論，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解合并同類(lèi)項(xiàng)法則，理清整式運(yùn)算與有理數(shù)運(yùn)算的差別，有效提高學(xué)生的運(yùn)算技能.

例6“4.1平方根（第2課時(shí)）”（八年級(jí)上冊(cè)）在課本例3的教學(xué)之后，提出問(wèn)題：下列計(jì)算正確嗎？為什么？

本例中，求一個(gè)數(shù)的平方根或算術(shù)平方根，雖然它是實(shí)數(shù)運(yùn)算的一部分，但它與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算有著較大的差異.因此在此處設(shè)置“似是而非”問(wèn)題，可以以錯(cuò)防錯(cuò)，提高學(xué)生對(duì)求算術(shù)平方根運(yùn)算中的一些常見(jiàn)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，也利于學(xué)生辨別求一個(gè)數(shù)的平方根與一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的差異.

四、分類(lèi)思考，查漏補(bǔ)缺

數(shù)的分類(lèi)、式的分類(lèi)、角的分類(lèi)、三角形的分類(lèi)等，這些都是貫穿于初中學(xué)段的重要內(nèi)容，另外，還有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決也需要分不同情況討論，面對(duì)這些問(wèn)題，學(xué)生極易出現(xiàn)考慮不周的情形.而通過(guò)在一些分類(lèi)點(diǎn)上設(shè)置數(shù)學(xué)“似是而非”問(wèn)題，可以啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析討論，增加學(xué)生處理這些問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的分類(lèi)意識(shí)和能力，幫助學(xué)生全面地思考問(wèn)題.

例7“9.5多項(xiàng)式的因式分解（第3課時(shí)）”（七年級(jí)下冊(cè)）（1）在課本例6的教學(xué)之后，提出問(wèn)題：

請(qǐng)給多項(xiàng)式4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式后，使其成為一個(gè)整式的完全平方.

（2）針對(duì)學(xué)生中寫(xiě)出部分答案的情況，提出問(wèn)題：只有這幾種情況嗎？如何思考這一問(wèn)題？

本例的求解中，最易想到的是加上單項(xiàng)式4x或-4x，可以得到完全平方式（2x+1）2或（2x-1）2.然而本例實(shí)際上還有其他答案，這里涉及對(duì)“一個(gè)整式的完全平方”的分類(lèi)認(rèn)識(shí)問(wèn)題：這個(gè)整式是單項(xiàng)式還是三項(xiàng)式？這個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式的次數(shù)是多少？所以給多項(xiàng)式4x2+1加上的一個(gè)單項(xiàng)式還可以是-1、-4x2、4x4.

例8“2.5直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系（第3課時(shí)）”（九年級(jí)上冊(cè)）（1）在課本例4的教學(xué)之后，提出問(wèn)題：

圖3　

如圖3，形如量角器的半圓O的直徑DE= 12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB= 90°，∠ABC=30°，BC= 12cm.半圓O以2cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D、E始終在直線(xiàn)BC上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），當(dāng)t=0s時(shí)，半圓O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm.當(dāng)t為何值時(shí)，△ABC的一邊所在的直線(xiàn)與半圓O所在的圓相切？

（2）在學(xué)生得出一種或二種情況后，提出問(wèn)題：

還有其他情況嗎？如何做到不重復(fù)、不遺漏地解決這個(gè)問(wèn)題？

本例是在教學(xué)中而生成的“似是而非”問(wèn)題，滲透了圖形分類(lèi)的方法，這里可將△ABC的邊拆分，那么半圓O在運(yùn)動(dòng)中，它所在的圓與AC所在的直線(xiàn)相切有兩種情形；與AB所在的直線(xiàn)相切也有兩種情形；與BC所在的直線(xiàn)始終相交，因此一共可得四種情形.

總之，數(shù)學(xué)“似是而非”問(wèn)題由于源于學(xué)生，因此能有效激發(fā)學(xué)生的探究興趣，促進(jìn)學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)知識(shí).設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)“似是而非”問(wèn)題，對(duì)改善教學(xué)方式，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要意義.