簡單中發(fā)現(xiàn)，深刻中探究——以“菱形（第一課時）”教學為例

☉浙江師范大學附屬杭州筧橋實驗中學　路亞飛　劉夢蕾☉浙江師范大學教師教育學院朱哲

簡單中發(fā)現(xiàn)，深刻中探究——以“菱形（第一課時）”教學為例

☉浙江師范大學附屬杭州筧橋實驗中學路亞飛劉夢蕾
☉浙江師范大學教師教育學院朱哲

探究式教學可以看作是一種簡化的科研活動，它為學生提供一個自主探究的學習環(huán)境，并根據(jù)學生個別差異提供相應的指導.探究式教學模式中教師不直接把教學目標、學習路徑等相關內容告知學生，而是由學生自主進行探究新知，促進學生深化知識內在聯(lián)系的理解、探究能力及創(chuàng)新能力等多方面能力的提高.創(chuàng)新能力與實踐能力的培養(yǎng)是現(xiàn)階段基礎教育的重點，也是素質教育的核心內容，探究式教學模式的引入，能夠有效改革傳統(tǒng)教學，真正落實新課改.

一、熟知背景，確定目標

本節(jié)課教材選自浙教版初中數(shù)學八年級下冊第五章第二節(jié)“菱形”，之前學生已學習了平行四邊形的定義、性質和判定.菱形是學生學習了矩形之后的另一個特殊平行四邊形，本節(jié)課主要探究菱形的定義與性質.菱形屬于初中數(shù)學幾何模塊的中間過渡部分，它是三角形和四邊形知識模塊的外延，同時為正方形、圓及立體圖形等知識的學習做鋪墊.本節(jié)課教學設計通過讓學生動手操作、細心觀察、大膽猜測，最后借助已學知識進行驗證猜想，從而培養(yǎng)學生動手操作能力、演繹推理能力及邏輯思維能力等，為以后的數(shù)學學習奠定基礎.

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）指出圖形與幾何部分教學目標是讓學生經(jīng)歷圖形抽象、性質探究等過程，在參與操作、觀察、猜想、論證等數(shù)學活動中發(fā)展演繹推理能力，能夠獲得解決問題的基本方法，體會方法多樣性，提高對數(shù)學知識的探究欲，發(fā)展創(chuàng)新意識.基于《課標》對于幾何部分教學目標的分析，本節(jié)課確定以下三維教學目標：（1）知識與技能：經(jīng)歷菱形性質的探究過程，掌握菱形兩個基本性質，并能夠運用性質解決問題；（2）過程與方法：經(jīng)歷菱形性質的探究過程，培養(yǎng)學生的動手操作、探究推理能力；通過對菱形性質進行證明，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；（3）情感態(tài)度與價值觀：菱形性質的探究過程中獲得成功的體驗，提高對數(shù)學的求知欲、探究欲及學習興趣；運用菱形性質解決問題，克服困難，建立自信心；體會菱形的圖形美，感受數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系.

二、自主研學，新知探究

圖形、窗花、墻紙等精美勻稱的菱形圖案是菱形傳統(tǒng)教學中標準導入，本次教學導入突破傳統(tǒng)，利用精簡教具小紙片輔助教學，設置教學活動，引導學生自主探究菱形的基本性質.

活動：請同學們將桌子上兩張相同的矩形紙片（課前準備）交叉重疊放置（如圖1、圖2），請問從你的兩個紙片交叉重疊的四邊形中發(fā)現(xiàn)了怎樣的特殊四邊形？你能證明你的猜想嗎？

圖1　

圖2　

分析：本次探究活動的教具比較簡單（紙片），教師和學生容易獲取，利于探究活動的進行.兩個紙片交叉重疊的情況較多，隨著交叉角度與位置的變化，重疊部分的形狀會各有不同.為了引導學生進行有效的探究，教師對探究活動設定了一些限制，例如活動中要求重疊部分的形狀為四邊形，這樣重疊形狀只存在圖1與圖2的兩種情況.圖1中的重疊四邊形比較容易發(fā)現(xiàn)和證明是正方形，對于圖2中的重疊四邊形，學生容易發(fā)現(xiàn)它是一個平行四邊形，因為矩形紙片的對邊相互平行，但研究的深度還不夠，需要發(fā)現(xiàn)它是一個特殊的平行四邊形（即菱形）.前一節(jié)學生剛剛學習了一個特殊平行四邊形（即矩形），矩形是從角的特殊性（即直角）研究平行四邊形，學生通過猜想或預習容易想到本次探究將從邊的特殊性研究平行四邊形.對于邊的特殊性，能猜想到的只有邊相等，然而平行四邊形的對邊平行且相等，留下的方向只有鄰邊相等，即這節(jié)課所探究的特殊平行四邊形——菱形，即定義為一組鄰邊相等的平行四邊形.

接下來就是證明猜想，對于已知條件，我們首先知道該四邊形是一個平行四邊形，其次兩個矩形的寬是相等的，需要證明平行四邊形的鄰邊相等，如圖3，已知：平行四邊形ABCD，兩矩形寬相等，求證：AB=AD.證明的方法較多，下面介紹一個較為簡單且學生容易想到的證明方法，首先由矩形等寬可知，平行四邊形ABCD的兩條高相等，即AE=AF（如圖3），再由平行四邊形面積法可知AE·BC=AF·CD，所以BC=CD，即AB=AD，具體證明過程如下.

證明：如圖3，作輔助線AE、AF，使AE垂直于BC且交BC于點E，AF垂直于CD且交CD于點F，由于兩矩形等寬，則AE=AF.

又平行四邊形的面積S=AE· BC，S=AF·CD，所以AE·BC=AF· CD，所以BC=CD.

又四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB=CD、AD= BC，所以AB=AD.

圖3　

三、類比遷移，歸納性質

探究菱形的性質從復習平行四邊形和矩形的定義、性質出發(fā)，學生先前剛剛學習了一個特殊平行四邊形——矩形，對于另一個特殊平行四邊形性質的探究可參照矩形性質探究的方式進行對比研究，通過類比學習菱形性質.教師首先帶領學生回顧平行四邊形和矩形的定義、基本性質，以及研究平行四邊形與矩形的基本方法，即從邊、角、對角線、對稱性和特殊三角形五個方面探究菱形的基本性質，并同時列出平行四邊形和矩形的基本性質進行對比（如表1），有助于加深學生對特殊四邊形的理解和區(qū)分.

表1　平行四邊形、矩形、菱形性質

根據(jù)菱形的定義可證明出菱形的基本性質：菱形的四條邊都相等；菱形的對角線相互垂直，且每一條對角線平分一組對角.教師引導學生從菱形的定義出發(fā)，即鄰邊相等的平行四邊形，把菱形的基本性質作為結論進行證明，由于證明難度不大，教師可提問學生講解多種不同的證明方法，無須嚴格寫出證明過程，故菱形性質證明過程省略.

四、變式拓展，靈活應用

數(shù)學運算能力、空間想象能力與邏輯思維能力被認為是數(shù)學能力結構中的三大基本能力，同時被人們接受.數(shù)學應用能力作為數(shù)學能力機構中的重要組成部分，是建立在三大基本數(shù)學能力的基礎之上，且缺乏一定的數(shù)學學科特點的綜合性數(shù)學能力.［1］《課標》中也明確指出數(shù)學教學中應注重培養(yǎng)學生的應用創(chuàng)新意識，提高學生的問題解決能力及實踐應用能力.以下將結合應用問題，幫助學生鞏固菱形基本性質的應用.

圖4　

問題1：如圖4，兩張矩形紙片疊放在一起，重疊部分為菱形ABCD，那么兩張矩形紙片的寬度有什么數(shù)量關系？請說明理由.

分析1：問題1是菱形定義探究活動的逆向研究，問題設計為半開放性，能夠有效提升學生的思維活躍度，避免傳統(tǒng)問題解決的單一、枯燥及形式化等.由菱形定義的探究活動過渡到問題1，實質上是問題與結論的互換，學生對于兩張矩形紙片寬度相等的猜想不存在難度，猜想的證明同樣可用探究活動中的逆向思維進行證明.證明方法較多，以下列舉三種最常用的證明方法（具體的證明過程省略）：（1）等積法，作菱形兩條高AE、AF（如圖4），通過菱形面積的兩種計算方式，即S=AE·BC=AF·CD，同時利用菱形的基本性質四條邊相等，即AB=BC=CD=AD，所以菱形的兩條高相等，即AE=AF，可知兩張矩形紙片寬度相等；（2）角平分線定理，連接對角線AC（如圖4），由菱形的基本性質每條對角線平分一組對角可知AC為角平分線，由角平分線定理可知AE=AF，所以兩張矩形紙片寬度相等；（3）三角形全等，由菱形基本性質可知AB= AD、∠ABC=∠ADC，又∠AEB=∠AFD=90°，所以△ABE≌△ADF，故AE=AF，所以兩條矩形紙片寬度相等.

圖5　

問題2：如圖5，兩張寬度相等的矩形紙片重疊在一起，其中較小的夾角為60°，寬AE=3cm，你能得出哪些結論？

分析2：本題設計為開放性問題，學生可找出較多的結論，且難度不一，比如菱形邊長AB、△ACD為正三角形、對角線AC的長度及對角線BD的長度等（證明略），對于不同學習水平的學生都能夠找出不同難度的結論，有助于提高學生的學習信心和興趣.開放性試題答案的多樣性，反映學生在解決問題時的不同數(shù)學體驗，體現(xiàn)了學生的個體差異性，同時能夠幫助教師了解學生的思維狀態(tài)及數(shù)學思維水平.開放性試題的設置，有利于學生發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，促進學生主動構建知識體系，同時理解其中的數(shù)學思想方法，形成良好的認知結構和深刻的數(shù)學觀，加強對數(shù)學知識內在聯(lián)系與內在規(guī)律的認識，從而形成開放式的課堂教學模式，全面推進素質教育.［2］

圖6　

問題3：如圖6，兩張寬度相等的矩形紙片重疊在一起形成的四邊形ABCD，若P是對角線BD上的一個動點，連接PE、PC，求PE+PC的最小值.

分析3：本題是動點問題，主要考查的是菱形基本性質中的對角線平分一組對角，也是對學生所學知識的綜合考查，相對于前部分的練習題，難度有所提升.動點最值試題屬于初中數(shù)學中綜合性較強的問題，是初中數(shù)學的重要組成部分，也是近些年各地中考的熱點.這類試題的設置，全面考查學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的自主探究能力和創(chuàng)新思維意識，提高學生運用所學的數(shù)學知識解決實際問題的能力，促進數(shù)學思維能力的提高.

動點最值類試題解決的關鍵在于作出定點關于動點所在直線的對稱點，或者動點關于動點所在直線的對稱點.對于動點最值類試題的解決，抓住關鍵點，能夠起到事半功倍的效果.根據(jù)上述分析，問題3的具體解決過程如下.

如圖6，作點E關于對角線BD的對稱點E1，連接C、E1交BD于點P1.

由四邊形ABCD為菱形，可知對角線BD平分∠ADC.

又點E在線段CD上，所以E1在線段AD上.

又點P是E與E1對稱軸上一動點，所以PE=PE1，所以PE+PC=PE1+PC.

又點P在對角線BD上運動，所以PE1+PC≥P1E1+P1C.

所以當點P運動到點P1的位置時，PE1+PC（即P1E1+ P1C）的值最小，即PE+PC的最小值為P1E1+P1C.

問題4：兩張寬度相等的矩形紙片重疊在一起形成菱形，若矩形紙片的長是9cm，寬是3cm，那么菱形的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，請求出；如果不存在，請簡要說明理由.

分析4：最值問題是學生在積累了一定的幾何與代數(shù)知識后的一類綜合型試題，這類試題難度較大、解題的靈活性較強、綜合知識運用能力要求較高，在數(shù)學中考試題中出現(xiàn)的頻率在逐步提升，逐漸凸顯出在初中數(shù)學中的重要地位.幾何類的最值問題的解決，需要盡可能運用數(shù)學結合的思想，根據(jù)題設條件找出關系式，再結合圖形進行分析.對于問題4，首先找出不變的量，即菱形ABCD的高AE=3cm（如圖7），再確定菱形邊長AD與菱形高AE的關系式，結合圖形可知，當兩張矩形紙片移動到兩個頂點重合的位置時（如圖7），邊長AD的值最大為5cm，所以菱形ABCD周長的最大值為20cm（計算過程略）.

圖7　

五、自我反思，回顧總結

教材是教學的基礎和出發(fā)點，但并不意味著局限于教材進行教學.教師應充分挖掘教材的價值，結合對教材的理解，形成凸顯教師智慧的教學設計.［3］本節(jié)課的教學設計以教材為基礎，進行了突破性改進，比如新知探究過程、菱形性質的應用等方面，幾乎脫離了教材.圖形、窗花、墻紙等精美勻稱的菱形圖案是菱形傳統(tǒng)教學中標準導入，本次教學設計打破傳統(tǒng)，設計一個自主探究活動.

探究活動借助兩張紙片交叉重疊，抽象出幾何圖形構造出菱形，并在此基礎上進行菱形基本性質的探究及性質應用例題的設計，跨度小且貫穿整節(jié)課，凸顯出課堂教學的整體性，有助于學生進行知識構建.其次，借鑒平行四邊形與矩形性質的探究方式，對于菱形基本性質的探究難度不大.菱形性質的應用例題的設計由易到難、由淺入深、層層遞進，例如，問題1進行固定結論的猜想證明、問題2開放性結論、問題3上升為動點最值問題、問題4為圖形移動最值問題.問題設計由結論單一到多樣性，再上升到動態(tài)最值，逐步提升問題深度，引導學生思維逐漸深入，提升學生的思維參與度，拓寬學生的思維空間.

本節(jié)課從兩條紙片出發(fā)，通過不斷的深入挖掘其內在的價值，使之與菱形發(fā)生“化學反應”，貫穿整個教學過程.兩條紙片引入新課探究，兩條紙片幫助學生歸納菱形基本性質，兩條紙片圖形化變式鞏固性質應用，看似簡單的一節(jié)課，通過兩條紙片串聯(lián)起來，使得這節(jié)課不簡單.兩條紙片貫穿一節(jié)課，在知識教學層面，幫助學生把零散的數(shù)學知識串起來，有助于學生構建數(shù)學知識體系，形成知識系統(tǒng)；在教育層面，引導學生認識小事物大用處，通過認真努力，微小簡單的平常事也能夠賦予其非凡的意義.學生在學校受教育不僅僅是學習知識，更重要的是培養(yǎng)良好的習慣、樹立正確的人生價值觀及思維水平的提高等.

1.孫勇.關于數(shù)學應用能力若干問題的探討［J］.課程·教材·教法，2010（8）.

2.陳建仁.數(shù)學開放題教學模式探討［J］.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2005（10）.

3.路亞飛，朱哲.追本溯源，逆向探究——以角平分線教學為例［J］.中學教研（數(shù)學），2015（9）.