源自生活高于生活，創(chuàng)新練習(xí)促進互動——以平面直角坐標(biāo)系起始課教學(xué)為例

☉江蘇省連云港市羅陽中學(xué)　徐進友

源自生活高于生活，創(chuàng)新練習(xí)促進互動——以平面直角坐標(biāo)系起始課教學(xué)為例

☉江蘇省連云港市羅陽中學(xué)徐進友

新的數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)領(lǐng)域初步接觸時，不少教材上往往安排大量豐富的生活現(xiàn)實，意圖從生活情境中抽象、分離出新的概念，然而這些生活現(xiàn)實或在小學(xué)階段已反復(fù)出現(xiàn)，也有時與學(xué)生離得很遠(yuǎn)，難以引發(fā)共鳴，有些甚至不能體現(xiàn)新概念的本質(zhì)特征，這時如果過分依賴教材，大量采用生活現(xiàn)實，往往教學(xué)效果低下，使得學(xué)生在較低層次上徘徊，沒有及時帶領(lǐng)學(xué)生向上挑戰(zhàn)，也不符合“開門見山”的教學(xué)取向.筆者近期在執(zhí)教一節(jié)“平面直角坐標(biāo)系”起始課公開課前，認(rèn)真研習(xí)了《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）2016年9月的《“生活味”淡一點，“數(shù)學(xué)味”重一些》（詳見文1），受益非淺.于是筆者也從生活現(xiàn)實出發(fā)，迅速離開現(xiàn)實情境，定義新工具，進行了豐富多樣的訓(xùn)練，也使得課堂教學(xué)走向開放，取得較好的教學(xué)效果.本文梳理該課的教學(xué)實錄，并跟進闡釋教學(xué)立意，供研討.

一、平面直角坐標(biāo)系起始課教學(xué)設(shè)計

（一）理解教學(xué)內(nèi)容

從數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的歷史來看，平面直角坐標(biāo)系是為了研究函數(shù)圖像的需要，定義出來的一種工具，與學(xué)生在剛進初中時接觸的數(shù)軸有關(guān)，本質(zhì)上是由兩條數(shù)軸垂直相交（垂足為原點）而成.將原來“一維”的研究推廣到“二維”的平面.不同的初中教材都是將平面直角坐標(biāo)系引入之后再學(xué)習(xí)函數(shù)及其圖像.作為起始課，不少教材上都是安排一個課時的所謂生活現(xiàn)實或情境，用來定義有序數(shù)對.而就筆者所知，小學(xué)階段關(guān)于有序數(shù)對在生活情境中的體現(xiàn)已非常豐富，到了初中如果還停留在這個層面，顯然是把學(xué)生“留在美好童年”.基于這樣的認(rèn)識，我們重組了教材，設(shè)計出如下的教學(xué)目標(biāo).

目標(biāo)1：通過具體實例，理解有序數(shù)對的概念和意義，會利用有序數(shù)對表示實際生活中具體物體的位置.初步掌握平面直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念；能由坐標(biāo)描點，由點寫出坐標(biāo).

目標(biāo)2：經(jīng)歷有序數(shù)對、平面直角坐標(biāo)系等概念的形成過程，體會類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

教學(xué)重點：有序數(shù)對、平面直角坐標(biāo)系.

教學(xué)難點：理解平面內(nèi)點與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系.

（二）教學(xué)流程設(shè)計

1.開課階段，創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

同學(xué)們，在國慶60周年的慶典活動中，天安門廣場上出現(xiàn)了壯觀的背景圖案，你知道它是怎么組成的嗎？通過本章的學(xué)習(xí)，你一定會明白其中的道理的.

2.探究有序數(shù)對

教學(xué)活動：復(fù)習(xí)數(shù)軸的相關(guān)知識，提出如何確定平面內(nèi)的點的位置，通過實例探究得出有序數(shù)對.

預(yù)設(shè)互動：安排舉出生活實例.

預(yù)設(shè)練習(xí)：畫出路線：如圖1，甲從（4，2）的位置出發(fā)，按（4，2）→（2，2）→（2，6）→（5，6）→（5，1）→（8，1）→（8，4）→（2，4）的路線行走，請你在圖中畫出這條路線.

圖1　

設(shè)計意圖：這類問題學(xué)生在小學(xué)練習(xí)過，這里再以網(wǎng)格線的形式出現(xiàn)，一是復(fù)習(xí)，二是為接下來定義平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)作鋪墊.

3.學(xué)習(xí)新知，定義平面直角坐標(biāo)系

提出問題：數(shù)軸上的點可以用一個數(shù)來表示，如何表示平面內(nèi)的點的位置？

預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生再畫一條數(shù)軸.指出表示位置的方法就是建立平面直角坐標(biāo)系，這是當(dāng)年大數(shù)學(xué)家笛卡兒發(fā)現(xiàn)的.并以PPT展示方式快速介紹相關(guān)數(shù)學(xué)史，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的源遠(yuǎn)流長.

預(yù)設(shè)活動：自學(xué)書本，如何建立平面直角坐標(biāo)系.

預(yù)設(shè)互動：請學(xué)生介紹平面直角坐標(biāo)系的定義、各部分名稱，并在圖中標(biāo)出x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、原點、各個象限.

預(yù)設(shè)活動：請你畫一個平面直角坐標(biāo)系.

預(yù)設(shè)互動：學(xué)生小組間相互評判，老師再組織全班交流展示，并強調(diào)細(xì)節(jié)之處.

4.深入探究坐標(biāo)與點的關(guān)系

教學(xué)活動：先安排學(xué)生由點寫坐標(biāo)，即由形到數(shù)的對應(yīng).寫好之后，預(yù)設(shè)如下交流活動.

（1）請學(xué)生交流如何寫已知點的坐標(biāo).

（2）相互出題寫坐標(biāo)，再相互糾錯.

（3）提問：一個點的坐標(biāo)有幾個？為什么？（只有一個，因為過一點有且只有一條直線與已知直線垂直）

接著安排學(xué)生由坐標(biāo)描點，即由數(shù)到形的對應(yīng).然后安排如下的交流活動.

（1）交流如何由坐標(biāo)描點，請舉例說說.

（2）在你畫的坐標(biāo)系中，描出下列各點，并順次連接，繪制出圖案.

（1，3），（1，1），（0，0），（0，-2），（1，-3），（-3，-3），（-2，-2），（-2，0），（-3，1），（-3，3），（1，3）.

點（1，-3）和點（-3，1）表示同一個點嗎？說明什么？

追問：每一個坐標(biāo)對應(yīng)幾個點？你能用學(xué)過的知識解釋嗎？（兩條直線相交，有且只有一個交點）

5.小結(jié)概括，預(yù)設(shè)小結(jié)問題

（1）通過剛才的研究，你發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)平面上的點與有序數(shù)對有什么關(guān)系？

（2）各個象限和坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)有什么特征？

（3）回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，你認(rèn)為必須掌握哪些知識和技能？還有哪些問題需要討論？

6.反饋練習(xí)，拓展提升

以某一同學(xué)為坐標(biāo)原點，所在行為x軸，所在列為y軸，相鄰兩人的距離為單位1，建立平面直角坐標(biāo)系，思考自己所在點的坐標(biāo).符合下列條件的起立，比一比誰的反應(yīng)快.

（1）坐標(biāo)為（1，2）和（2，1）的點；

（2）橫坐標(biāo)為0的點；

（3）橫坐標(biāo)為正數(shù)、縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)的點；

（4）橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等的點.

預(yù)設(shè)意圖：通過練習(xí)鞏固了有序數(shù)對和坐標(biāo)特征，同時解釋國慶時鮮花方陣的形成原理，學(xué)以致用.華羅庚說“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合的思想方法今后我們會經(jīng)常用到，平面直角坐標(biāo)系是圖形與數(shù)量之間的橋梁，有了它我們解決數(shù)學(xué)問題的能力一定又有長進.

二、教學(xué)立意的進一步解讀

1.生活現(xiàn)實引入，但不宜過分依賴

平面直角坐標(biāo)系的新課引入，在各大教材上多是用生活情境引入，這是可以的.然而實際教學(xué)中，不宜過分依賴生活情境，也就是說，可以由生活情境出發(fā)，但迅速通過，引入平面直角坐標(biāo)系概念的定義.如果過分依賴生活現(xiàn)實，也許課堂氛圍是熱烈的，學(xué)生是活潑的，但是學(xué)生的認(rèn)識與思考卻停留在小學(xué)階段的有序數(shù)對的認(rèn)識上，這與初中學(xué)段的要求是相悖的.

2.定義坐標(biāo)系，引導(dǎo)理解新概念

在定義平面直角坐標(biāo)系之后，要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)軸的角度反復(fù)理解和體會新概念、新工具.在本質(zhì)上說，平面直角坐標(biāo)系就是兩條數(shù)軸組合而成，反映著數(shù)形結(jié)合，是研究二維平面上點與數(shù)對之間對應(yīng)關(guān)系的重要工具.接著訓(xùn)練時圍繞概念選取或設(shè)計簡單的體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的習(xí)題，讓所有學(xué)生都能理解新概念，并知道平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸之間的關(guān)系.特別是初始訓(xùn)練階段，例、習(xí)題一定要簡單，體現(xiàn)新概念本質(zhì).

3.滲透數(shù)學(xué)史，感受數(shù)學(xué)文化魅力

在訓(xùn)練學(xué)生初步理解新概念之后，要適度引入反映本節(jié)內(nèi)容的數(shù)學(xué)史話，采用PPT展示的方式快速切換，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化魅力，知道現(xiàn)在看來很簡單的一個數(shù)學(xué)概念，如平面直角坐標(biāo)系這樣的工具，在漫長的人類文明進程中，也經(jīng)過很多數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、完善與優(yōu)化.文明需要傳承，一個坐標(biāo)系也可見其一斑.

4.創(chuàng)新訓(xùn)練形式，促進互動展示

就本節(jié)課的訓(xùn)練習(xí)題來看，呈現(xiàn)形式豐富多樣，不僅有簡單的針對新概念的訓(xùn)練試題，更有很多開放問題，如安排學(xué)生互動式提問、互相解答、答辯展示等訓(xùn)練形式，同時也使得課堂教學(xué)走向了開放.使得學(xué)生之間的對話、互動成為可能，也是追求了日本著名教育學(xué)者佐滕學(xué)所謂的從“相互說”走向“相互學(xué)”.

三、結(jié)束語

起始課教學(xué)在人大復(fù)印資料《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》近期曾有專題關(guān)注，很多老師基于教學(xué)內(nèi)容前后一致、邏輯連貫，構(gòu)思了精彩的教學(xué)設(shè)計，筆者注意到，其中的共性是單元教學(xué)、教材重組，使得過去的“教教材”走向了“用教材教”.這當(dāng)中不僅是理念問題，更關(guān)于理念如何落地.我們基于“理解數(shù)學(xué)”的認(rèn)識，對平面直角坐標(biāo)系起始課進行了內(nèi)容重組與練習(xí)創(chuàng)新設(shè)計，實踐還是初步的，期待批評與打磨意見.

1.邱曉敏.“生活味”淡一點，“數(shù)學(xué)味”重一些——“平面直角坐標(biāo)系”起始課的評課與商榷［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.鐘啟泉.新舊教學(xué)的分水嶺［J］.基礎(chǔ)教育課程（上），2014（2）.

3.李庾南.自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.Z