靈動的思維——幾何直觀在“數學廣角”教學中的應用探析

廣東省東莞市東城第三小學　李平龍

靈動的思維——幾何直觀在“數學廣角”教學中的應用探析

廣東省東莞市東城第三小學李平龍

“數學廣角”是小學數學教學中一個非常重要的教學內容，它把重要的數學思想方法通過學生可以理解的、有趣的、容易接受的生活問題呈現出來，使學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數學思想方法的奇妙與作用，受到數學思維的訓練，逐步形成有序地、嚴密地思考問題的意識。因此，通過在數學廣角中的教學，使學生感受數學思想方法，提高他們的數學思維能力是重要的教學目標。在教學中我發(fā)現一部分學生對數學廣角中的數學思想、思維過程感覺深奧難懂，任憑老師講得口干舌燥，學生仍難以理解，最后教師只能無奈地放棄過程，直奔結果。學生只能是死記硬背老師總結出來的公式或規(guī)律，生搬硬套地解決問題。有感于此，我在近兩年的教學中嘗試著利用幾何直觀的方法來突破這個難點?！皫缀沃庇^”是指利用圖形描述和分析數學問題，探索解決問題的思路、預測結果。弗賴登塔爾說：“幾何直觀可以告訴我們什么是重要的、有趣的和容易進入的，當我們陷入問題、觀念、方法的困擾時，幾何可以拯救我們?！苯柚鷰缀沃庇^可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，促進數學的理解；通過對實物和圖形進行觀察，有利于信息提取和方法的促成；根據直觀認識來研究圖形的性質和相關問題有助于數學問題結構的揭示。

以下就結合近兩年所上的數學廣角的“找次品”“雞兔同籠”“植樹問題”“排列與組合”等課例反思幾何直觀在數學廣角教學中的應用。

一、利用幾何直觀建立數學模型——啟迪思維，幫助理解

當一個問題需要用數學方法來思考時，有時用幾何方法能夠最快最有效地解決，這也是幾何直觀的作用。

例如，在教學五年級“找次品”時，為了讓學生理解用天平稱一次就能從3瓶口香糖中找出少了3粒的那瓶。我拿出了一個天平放在講臺上，先拿兩瓶上去稱。

師：平衡嗎？哪瓶少了3粒？

生1：不平衡。翹起來的那瓶少了3粒。

師：如果運氣差一點呢（把少了3粒的那瓶換成另外一瓶）？平衡嗎？哪瓶少了3粒？

生2：平衡，剩下沒稱的那瓶就少了3粒。因此，只要一次就能找出。

我利用天平稱給學生看，這種最直觀的方式讓學生看到平衡和不平衡兩種情況，然后在課件中用圖示直觀地呈現出來。在這個過程中，天平已經從實物抽象成了簡圖，口香糖的實物也抽象成了圖片。實物稱能讓學生看到具體的數學模型，課件中的圖片直觀有利于學生思考和對比（圖1）。

圖1

從3瓶中找出較重或較輕的次品，其中滲透了排除的數學思想，這種數學思想在日常生活中有著廣泛的應用，這既是學習本課的起點，又是學生需要理解的重要知識。以往自己上課或別的老師上課時，一般沒有呈現用天平稱的過程，而只是讓學生通過模擬、畫圖、口頭描述等來進行解釋，在教學中我發(fā)現有些學生特別是學困生理解或解釋起來很費勁。而這些困難的產生的根源就在于學生沒有見到真正的實物模型，只是憑空想象，因此，我把天平實物引入了這節(jié)課的教學，這樣的問題就迎刃而解了。

《數學課程標準》在教材編寫建議中明確提出：“根據學生已有經驗、心理發(fā)展規(guī)律以及所學內容的特點，一些重要的數學概念與數學思想應采用逐步滲透、深化、螺旋上升的方式編排?！比私贪鎸嶒灲滩脑诰幣拧皵祵W廣角”時，主要是通過一些比較簡單的事例滲透一些重要的數學思想方法，讓學生在解決問題的過程中嘗試從數學的角度尋求解決問題的策略，經歷猜想、實驗、推理等數學探索活動的過程，體會一些重要的數學思想方法。而在教學中，利用幾何直觀幫助學生逐步實現從感性思維向理性思維的過渡是必不可少的。

例如，在教學“找次品”時，我設計了四個層次的幾何直觀方式，

首先，利用天平稱給學生看，這種最直觀的方式讓學生看到平衡和不平衡兩種情況，然后在課件中用圖示直觀呈現出來（圖2）。在這個過程中，天平已經從實物抽象成了簡圖，口香糖的實物也抽象成了圖片。實物稱能讓學生看到具體的數學模型，課件中的圖片直觀有利于學生思考和對比。

圖2

接著，學生從5個物品中找出較輕的次品時，我讓學生用小圓片擺一擺。剛才的實物圖片被小圓片所代替，箭頭圖則直觀地呈現分的份數和每份的數量。

然后，在學生從9個物品中找出較重的一個次品時，手中的圓片已經不夠用了，我把黑板上的圓片一邊取下（圖3），一邊換成數字（圖4），圖示如下：

圖3

圖4

最后，整節(jié)課的板書（圖5）如下：

圖5

在整節(jié)課的過程中，我利用不同的幾何直觀方式進行了巧妙的遞進，先利用天平直接稱口香糖（實物），然后利用圓片擺一擺（初步模型），再用數字代替圓片（數字模型），最后形成整個板書圖（數形結合），引導學生經歷了從實物—圓片—數字—文字的過程。極大地幫助了學生理解知識，在經歷建模過程的同時啟迪了學生的思維，提高了思維能力。

二、利用幾何直觀呈現思維過程——直觀有序，深刻理解

恰當的幾何直觀方式能有效地呈現思維的過程，讓學生清楚地理解思維的過程，這樣對學生的思維能力培養(yǎng)起到積極的作用。

例如，在教學二年級“排列組合”時，有這樣一個問題：用1，2，3能組成幾個兩位數。在聽我們學校一位老師上課時，她向學生滲透的方法是（圖6）：先在黑板上寫好個位、十位，然后在下面依次去寫數字，組成六個兩位數，然后讓學生說一說組數的過程和順序，大部分學生都能掌握。

圖6

但我在聽課的過程中發(fā)現，有部分學生會出現重復或遺漏的情況。在我們成人的眼里看來，這樣已經講解得非常清楚了，為什么會出現這樣的情況呢？通過分析發(fā)現，雖說這位老師也是采用了幾何直觀的方式讓學生理解這部分知識，但更注重于結果的呈現，無法反映思維的過程。究其原因有兩點：一是二年級孩子的思維水平是比較低的，我們成人覺得十分簡單的過程在他們眼中并不簡單，因此不能用我們成人的思維來類推他們的思維，二是在孩子們的眼中這樣的圖還不夠直觀，特別是這個圖不能直觀地反映“取數”的順序和“組數”的過程。后來在教學中我采用另一種幾何直觀的圖示來嘗試解決這個問題。

結合板書，讓孩子們邊畫邊說（圖7），先取1，剩下2和3，能組成12和13；再取2，剩下1和3，能組成21和23；最后取3，剩下1和2，能組成31和32。

圖7

課后發(fā)現，所教二（5）班的48個孩子不僅很喜歡這種直觀畫圖的方式，而且都掌握了組數的方法，在后面的練習中極少出錯。因此，通過恰當的幾何直觀的方法，能直觀呈現思維的過程，幫助學生深刻地理解思維的過程。

三、利用幾何直觀啟迪學生思考——數形結合，提煉總結

只有做到直觀上的理解，才是真正的理解。幾何直觀能夠啟迪思考，幫助理解，因此，在日常教學中，要幫助學生借助幾何直觀進行思考，揭示研究對象的性質和關系，并且學會利用幾何直觀來學習和理解數學。

在“找次品”一課中，為了讓學生理解“分3份”“盡量平均分”這兩個規(guī)律，我先引導學生嘗試從9個物品中找出較重的一個次品，畫出示意圖，然后把學生的方法呈現成以下幾何直觀圖（圖8）：

教學實錄如下：

師：為什么都是分3份，但找到次品需要稱的次數卻不相同？（在借班上課時學生沒有答出，我就追問，哪種方法稱一次把范圍縮得更?。浚?/p>

圖8

生1：因為縮小的范圍不同。第一種方法一次就把范圍縮小到了3瓶，第二種方法一次只把范圍縮小到了4瓶。

師：那怎樣分就更有利于縮小范圍呢？

生：平均分。

接著，我讓學生從8個物品中找到較重的一個次品。反饋的信息如下（圖9）：

圖9

教學實錄如下：

教師先讓學生討論為什么第一種方法只要兩次，第二種方法卻要三次。

生1：因為第一種把范圍縮得更小。

師：但第二種卻是符合平均分的啊？

生1：因為第一種是分3份的。

生2：分3份更重要，剛才的9就是平均分成3份的。

師：那像8這樣不能平均分3份的，怎么辦？

生3：盡量吧。

師：沒錯，盡量平均分。

以上兩個片斷中，我都充分使用了幾何直觀的方法，短短的幾次問答，就解決了學生理解“分3份”“盡量平均分”這兩個找次品問題中潛在的規(guī)律，這就是幾何直觀的威力。上面的兩個圖巧妙地把數和形結合起來了，利用箭頭圖呈現分的份數和每份的多少，利用斜線直觀地反映不平衡的情況，利用圓圈清楚地標示出稱后縮小的范圍，而整個圖形實現了兩種方法的對比。最后再通過恰當的提問引導學生從復雜的信息中找到內在的數學規(guī)律和思想。

綜上所述，在數學廣角甚至整個數學教學中，恰當地采用幾何直觀的方法進行教學，不僅可以提高學生的思維能力，還可以提高學生的學習興趣和效率，達到事半功倍的效果。

［1］李軍.正確理解“數學廣角”編排意義，提高教學有效性［J］.山東教育，2009（31）.

［2］朱洪霞.幾何直觀在小學數學教學中的作用［J］.新課程（教研版），2009（01）.