簡諧振動實驗中相關(guān)物理量間的關(guān)系與能量守恒的研究

黃育紅,周文飛,張鎖賓,楊宗立,袁 赟

(陜西師范大學(xué)，陜西 西安 710119)

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簡諧振動實驗中相關(guān)物理量間的關(guān)系與能量守恒的研究

黃育紅,周文飛,張鎖賓,楊宗立,袁 赟

(陜西師范大學(xué)，陜西 西安 710119)

介紹了如何較為精確地在氣墊導(dǎo)軌上測量滑塊做簡諧振動時的速度、周期、彈簧的等效質(zhì)量和勁度系數(shù)等物理量。利用焦利氏秤對實驗中的三對彈簧進行測量，通過逐差法計算得出彈簧的等效質(zhì)量和勁度系數(shù)，其結(jié)果和氣墊導(dǎo)軌實驗所得結(jié)論符合較好。在此基礎(chǔ)上，對實驗中物理量之間的關(guān)系進行定量研究，得到周期與振幅無關(guān)、周期的平方與滑塊的配重塊質(zhì)量呈線性關(guān)系。分析了氣墊導(dǎo)軌測量速度產(chǎn)生誤差的原因，在對測得的速度進行修正后，通過多組實驗驗證了簡諧振動過程中機械能是守恒的。利用Origin軟件繪制曲線描述物理量之間的關(guān)系和能量變化趨勢，生動形象地展示了實驗中存在的規(guī)律，有利于學(xué)生更好地理解實驗結(jié)論，對實驗教學(xué)效果有一定的促進作用。

簡諧振動；氣墊導(dǎo)軌；通用計數(shù)器；焦利氏秤

振動是一種十分常見的運動現(xiàn)象，如石英鐘擺的擺動，秋千的擺動、原子在晶體中的平衡振動、心跳和風(fēng)中抖動的葉子等。振動是聲學(xué)、建筑學(xué)、機械、造船、電工和無線電技術(shù)等的基礎(chǔ)，機械振動是一種最基本的振動，其中回復(fù)力與振幅成正比的簡諧振動是一種特殊的機械振動。

氣墊導(dǎo)軌是一種現(xiàn)代化的力學(xué)實驗儀器，滑塊浮在氣墊層上，與軌面脫離接觸，因而能在軌面上做近似無阻力的直線運動，極大地減小了以往在力學(xué)實驗中由于摩擦力引起的誤差，因此大學(xué)物理實驗中也通常采用氣墊導(dǎo)軌系統(tǒng)來研究簡諧振動，將氣墊導(dǎo)軌充氣后，用兩根彈簧把放置在導(dǎo)軌上的滑塊連接起來，以滑塊的平衡位置作參考原點，將滑塊由平衡位置準靜態(tài)拉伸一段距離，此時滑塊一側(cè)彈簧被壓縮，而另一側(cè)彈簧被拉長，滑塊受到彈簧的回復(fù)力近似做簡諧振動。氣墊導(dǎo)軌上簡諧振動的研究一直以來受到大家的關(guān)注，1983年程道輝[1]對氣墊實驗中彈簧振子周期公式進行分析時認為在氣軌上作彈簧振子的實驗應(yīng)該考慮彈簧的有效質(zhì)量，而空氣阻力對滑塊作簡諧振動周期的測量結(jié)果影響甚??；1985年朱常全[2]分析得出光電管的離散性導(dǎo)致氣墊導(dǎo)軌上條形擋光片測速的較大誤差；1995年胡波[3]分析了用Δx/Δt作為即時速度引起的誤差，并認為將導(dǎo)軌調(diào)節(jié)水平是一個沒有必要的條件；1996年林禧[4]研究氣墊導(dǎo)軌上彈簧振子的實驗時引入了彈簧的有效質(zhì)量；1997年彭瑞明[5]分析簡諧振動實驗誤差時認為影響實驗結(jié)果的主要因素是彈簧自身的質(zhì)量和重力，而空氣粘滯阻力的影響非常小；2002年何春娟[6]在進行氣軌上簡諧振動周期測量公式修正時，推導(dǎo)得出氣軌上滑塊的運動是振幅隨時間逐漸衰減的一個阻尼振動；2009年肖齊波[7]基于Matlab軟件作圖精確驗證了振子振動周期與振子質(zhì)量呈線性關(guān)系。前人的研究都是基于某一個方面，實際上簡諧振動實驗涉及的內(nèi)容非常豐富，除了在實驗中觀察簡諧振動現(xiàn)象和振動系統(tǒng)中的能量轉(zhuǎn)化外，還可通過光電門和通用計數(shù)器測量滑塊運動的速度和周期，分析速度和周期受到的影響因素，計算動能和勢能，驗證機械能守恒定律。然而，在以往的實驗中發(fā)現(xiàn)，計算得到的任意位置處的總能量與平衡位置處的總動能或者最大位置處的總勢能之間存在非常大的差異，有時候?qū)嶒炚`差達到50%以上，并不符合機械能守恒，能量隨任意位置的變化而變化，為了探究其原因，我們系統(tǒng)地研究了簡諧振動實驗中相關(guān)物理量間的關(guān)系與能量守恒問題。

在氣墊導(dǎo)軌測量簡諧振動實驗中要得到較為精確的測量結(jié)果，首先要保證速度和周期測量的精確性，借鑒其他學(xué)者前期對氣墊導(dǎo)軌上簡諧振動實驗的系統(tǒng)誤差分析，存在問題的討論，氣墊導(dǎo)軌系統(tǒng)測量速度和周期的誤差分析及改進，通用計數(shù)器計時的誤差分析等，本文著重對氣墊導(dǎo)軌上簡諧振動實驗進行系統(tǒng)地研究，考慮到各種影響因素，盡可能準確地進行速度和周期的測量，利用簡諧振動中測定的周期和滑塊質(zhì)量計算彈簧的等效質(zhì)量和勁度系數(shù)等物理量，并將此與焦利氏秤測量、計算的結(jié)果進行比較，發(fā)現(xiàn)兩者符合較好。在此基礎(chǔ)上，對實驗中物理量之間的關(guān)系進行定量研究，得到周期與振幅無關(guān)、周期的平方與滑塊的配重塊質(zhì)量呈線性關(guān)系。對測量速度進行誤差分析和修正后，通過多組實驗驗證了簡諧振動過程中機械能是守恒的。利用Origin軟件繪制曲線，生動形象地展示了實驗中存在的規(guī)律，有利于學(xué)生更好地理解實驗結(jié)論，對實驗教學(xué)效果有一定的促進作用。

1 簡諧振動理論基礎(chǔ)

氣墊導(dǎo)軌充氣后，在導(dǎo)軌上放置一滑塊，用兩個勁度系數(shù)分別為K1，K2的彈簧分別將滑塊和氣墊導(dǎo)軌兩端連接起來，如圖1(a)所示，我們以滑塊的平衡位置作為坐標原點O，將滑塊由平衡位置準靜態(tài)移至A點，其位移為x，此時滑塊一側(cè)彈簧被壓縮，而另一側(cè)彈簧被拉長，如圖1(b)所示。

圖1 簡諧振動實驗裝置圖

若忽略滑塊與氣軌之間的摩擦力作用，滑塊受到的彈性力為

(1)

(2)

這個二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解為

x=Acos(ωt+φ)

(3)

式中，ω稱為角頻率，簡諧振動的周期為

(4)

將式(3)對時間求導(dǎo)，可得滑塊運動的速度為

(5)

由于滑塊只受到彈性力即保守力的作用，因此系統(tǒng)在振動過程中機械能守恒。設(shè)滑塊在某位置x處的速度為v，則系統(tǒng)在該處的總能量應(yīng)為

(6)

把(3)式和(5)式代入(6)式，并考慮(4)式有：

(7)

上式中，系統(tǒng)總質(zhì)量m，彈簧勁度系數(shù)K1和K2及振幅A都是常量，其中系統(tǒng)的總質(zhì)量由滑塊和配重塊的質(zhì)量、彈簧的等效質(zhì)量(理論可證明等效質(zhì)量為稱量質(zhì)量的1/3)三部分構(gòu)成[8]。

實驗中可通過系統(tǒng)總質(zhì)量和滑塊運動到平衡位置處的速度得到系統(tǒng)的總動能，或通過彈簧的勁度系數(shù)和振幅得到最大位置處的總勢能，或者通過測量任意位置處的速度、位移、彈簧勁度系數(shù)和系統(tǒng)總質(zhì)量得到系統(tǒng)在任意位置處的總能量。理論上滑塊在簡諧振動中動能和勢能交替變化，利用上述三種方法得到的能量值相等，總能量保持守恒。然而實驗中的情況要比理論復(fù)雜的多，文章后面將會作詳細討論。

2 實驗器材簡介

本次實驗的裝置由調(diào)平后的氣墊導(dǎo)軌、通用計數(shù)器、電子天平、游標卡尺、焦利氏秤、滑塊、3對勁度系數(shù)不同的彈簧、兩個光電門、兩個寬度不同的條形擋光片、一個U形擋光片和5個質(zhì)量為25g的配重塊構(gòu)成。彈簧振子即滑塊的質(zhì)量和3對彈簧的質(zhì)量用精確度為0.01mg的電子天平稱量。振幅和任意位置通過氣墊導(dǎo)軌上附帶的毫米刻度尺來確定。彈簧的勁度系數(shù)用焦利氏秤進行測量，測量值將會和通過氣墊導(dǎo)軌實驗結(jié)果的計算值進行比較分析。

3 實驗中存在的誤差分析

簡諧振動實驗中主要測定滑塊的速度、周期、彈簧等效質(zhì)量和勁度系數(shù)，其方法可參閱相關(guān)實驗教材或者參考文獻，這里主要進行誤差分析。

要精確測量滑塊運動的速度和周期，可從以下幾個方面考慮減少實驗誤差：首先將氣墊導(dǎo)軌調(diào)整至非常水平，其次提高通用計數(shù)器的計時本領(lǐng)，再次考慮擋光片的寬度盡可能小，原則上擋光片越窄越好，然后由于光電計時器精確度的限制，擋光片不可能無限窄，本次實驗選用的擋光片在3～5 mm之間，既保證了光電門的準確計數(shù)，又大大減小了實驗誤差。另外，選擇的實驗方法不同也會對實驗造成一定的誤差，如通用計數(shù)器分別選擇計時1和計時2的方式進行速度測量時，會有一定的系統(tǒng)誤差。

然而在實驗中，除了注意上述事項外，我們還發(fā)現(xiàn)氣墊導(dǎo)軌上滑塊速度的測量值遠大于其理論值，實驗誤差甚至達到百分之幾十，這將導(dǎo)致任意位置處的總能量與平衡位置處的總動能或者最大位置處的總勢能之間存在很大的差值，并不符合機械能守恒。我們發(fā)現(xiàn)光電管的離散性導(dǎo)致了較大的實驗誤差，朱常全[2]、高立晟等人[9]也曾經(jīng)分析過速度測量誤差的產(chǎn)生原因，這在一定程度上給了我們啟發(fā)，但該文章只是定性的討論，并沒有給出定量的修正公式。速度誤差修正的定量計算思路如下所述。

設(shè)擋光有效距離為L有效，擋光片實際寬度為L，則測量速度

(8)

實際速度(修正速度)

(9)

相對誤差

(10)

其中v修正與安裝在光電門上的遮光管形狀和遮光有效面積決定，然而遮光管的有效面積是很難測量出來的，可以考慮通過測量周期、振幅、任意位置距離等物理量利用公式(11)計算v理論，在滑塊運行前幾個周期時v理論等于滑塊實際的速度v修正。

(11)

但是在振動過程中由于空氣阻力和氣墊導(dǎo)軌上的粘滯阻力會導(dǎo)致振幅A的較大衰減，因此公式(11)不能用來計算后續(xù)實驗中的v修正。但實際上整個系統(tǒng)的相對誤差η是一個常數(shù)，我們可采用下面的方法進行計算：相同滑塊，相同彈簧的配置下，將滑塊拉開不同的振幅Ai做簡諧振動，將相應(yīng)振幅下滑塊運行前5個周期的相關(guān)物理量測量出來，代入公式(11)計算v修正，代入公式(8)計算測量速度v測量，進而通過公式(10)算出相對誤差η，并得到擋光片通過光電門的有效遮光長度L有效，利用公式(9)就可得到修正速度。測量速度v測量總是大于實際速度v修正，η通常為負數(shù)，按照該方法對速度修正后，極大地減小實驗誤差，文章5.4部分計算分析能量守恒將是一個很好的驗證，再次證明了該方法的可行性和正確性[10-12]。

4 實驗結(jié)果分析

4.1 速度的測量

氣墊導(dǎo)軌系統(tǒng)中，通用計數(shù)器配合光電門進行速度測量的方法有多種。可選用條形擋光片，將通用計數(shù)器調(diào)至計時方式1，也可選用U形擋光片，將通用計數(shù)器置于計時1或者計時2，測速原理可參閱教材或其它文獻，其原理如圖2所示。在計時方式1下若條形擋光片的寬度為L，通過光電門所用時間為Δt，則速度v=L/Δt，如圖2(a)所示。在計時方式1下，若U形板aa′與bb′之間的距離為L1，cc′與dd′之間的距離為L2，它們通過光電門所用時間分別為Δt1和Δt2，則速度可由公式v=1/2(L1/Δt1+L2/Δt2)計算，如圖2(b)所示。在計時2方式下，若U形擋光片aa′與cc′之間的距離為L，其通過光電門的時間為Δt，則速度v=L/Δt，如圖2(c)所示。因采用U形片、計時方式2時測量速度的系統(tǒng)誤差較大，因此在實驗中為了獲得較為精確的速度值，本文選取條形和U形擋光片、計時1的方式進行對比實驗，其中L=4.14 mm,L1=L2=4.00 mm。實驗裝置擺放好后，在距平衡位置O一定距離A=20 cm和x處各放置一個光電門，分別確定振幅和任意位置，在多組實驗中x分別取2 cm、4 cm、8 cm、12 cm、14 cm和18 cm，滑塊從振幅處出發(fā)，測得滑塊通過x位置處所用時間Δt，測量周期為T=1.25 s，實驗結(jié)果如表1所示。時間由通用計數(shù)器直接讀出，速度測量和修正值可通過公式(8)～(11)完成，在滑塊和彈簧不變的情況下，通過多次變振幅計算得到相對誤差η的平均值為η=-0.39，條形擋光片的實際遮光寬度L條有效=L+ηL=2.53 mm，LU有效=2.44 mm，計算得到速度的測量值和修正值列于表1中。

圖2 不同擋光片測速原理圖

位置/cm物理量0248121618Δt條(ms)2.502.532.552.723.133.985.88V測量(m·s-1)1.661.641.621.521.321.040.70V修正(m·s-1)1.011.000.990.930.810.640.43ΔtU1(ms)2.422.452.492.653.084.266.34ΔtU2(ms)2.452.452.472.612.973.905.23V1測量(m·s-1)1.651.631.611.511.300.940.63V2測量(m·s-1)1.631.631.621.531.351.030.76V測量(m·s-1)1.641.631.621.521.330.990.70V1修正(m·s-1)1.011.000.980.920.790.570.38V2修正(m·s-1)1.001.000.990.930.820.630.47V修正(m·s-1)1.011.000.990.930.810.600.43

從數(shù)據(jù)上看，條形和U形擋光片測量速度的修正值近似相等，但采用計時方式1進行速度測量時，U形擋光片為兩個位置處的平均速度，條形近似為一個位置處的平均速度，且條形的寬度要小于U形整體的寬度，所以條形擋光片所測速度值會更精確一些。

4.2 彈簧勁度系數(shù)和等效質(zhì)量的測量與計算

4.2.1 逐差法和焦利氏秤法計算彈簧勁度系數(shù)

通過簡諧振動實驗中測量的周期，可計算出彈簧的勁度系數(shù)，為后面彈性勢能的計算做鋪墊，此外，這部分數(shù)據(jù)的正確性也將從焦利氏秤法測量結(jié)果得以驗證。

在前面簡諧振動的理論基礎(chǔ)部分，由公式(4)可知：

(12)

滑塊和彈簧的等效質(zhì)量是未知常量，在逐差法處理數(shù)據(jù)過程中可以消掉，因此只要測得彈簧振子的周期T和配重塊的質(zhì)量Δm，便可以得到彈簧的勁度系數(shù)，為了減少實驗結(jié)果的誤差，本次實驗測量了3對勁度系數(shù)不同的彈簧，結(jié)果列于表2中。

表2 不同彈簧、不同配重下測量的周期

對公式(12)進行逐差法處理可得3對彈簧的勁度系數(shù)，以第1對彈簧為例，逐差法計算彈簧勁度系數(shù)如下：

可得第1對彈簧的勁度系數(shù)(k1+k2)=3.887 N/m，采用同樣的方法計算第2、3對彈簧的勁度系數(shù)值分別為4.070 N/m和4.769 N/m。

為了進一步驗證前面計算數(shù)據(jù)的可靠性，我們利用焦利氏秤分別測量3對彈簧的勁度系數(shù)，彈簧的初始位置記為x0，依次掛上20 g鉤碼后的位置分別為x1、x2、x3、x4和x5，相應(yīng)的數(shù)據(jù)列于表3中。

表3 焦利氏秤測量彈簧伸長量的數(shù)據(jù)記錄

以第1對彈簧aa′為例，逐差法計算彈簧勁度系數(shù)如下：

*9.797=1.944

*9.797=1.943

可得第1對彈簧的勁度系數(shù)為k1+k2=3.887 N/m，采用同樣的方法計算第2、3對彈簧bb′和cc′的勁度系數(shù)值分別為3.935 N/m、4.619 N/m。

4.2.2 彈簧等效質(zhì)量的計算

在簡諧振動理論中，彈簧可看成輕質(zhì)、無質(zhì)量的連接體，然而在實驗中，彈簧的質(zhì)量不可忽略，彈簧周期性地被壓縮或者拉伸，可想象把彈簧等效成具有一定質(zhì)量的物體疊加于滑塊之上，整個系統(tǒng)仍然可以看成理論上的彈簧振子模型，此外，理論計算表明彈簧稱量質(zhì)量的1/3為參與簡諧振動的等效質(zhì)量。對實驗中的3對彈簧，表2中已列出不同配重下對應(yīng)的測量周期，電子天平測滑塊質(zhì)量為0.120 49 kg，彈簧的勁度系數(shù)(k1+k2)在5.2.1部分已經(jīng)計算得出，利用公式(12)進行逐差計算可得3對彈簧aa′的等效質(zhì)量為7.34 g，電子天平稱量24.28 g，很容易看出maa'等效≈1/3m，和理論計算結(jié)果符合較好。同樣地，彈簧bb′和cc′的等效質(zhì)量分別為4.01 g和7.36 g，其對應(yīng)的稱量質(zhì)量為12.60 g和22.75 g，等效質(zhì)量約等于稱量質(zhì)量的1/3，與理論結(jié)果相一致。

4.3 周期與振幅、系統(tǒng)質(zhì)量之間的關(guān)系分析

將通用計數(shù)器置于“周期”檔位可進行周期的測量。值得注意的是，滑塊通過平衡位置時光電門遮光開始計時，到一個周期完成時計數(shù)器自動累加完成計數(shù)，即滑塊遮光2n+1次完成n個周期的簡諧振動。采用5.00 mm的條形擋光片，將滑塊做簡諧振動的振幅分別設(shè)為0.16 m、0.18 m、0.20 m、0.22 m、0.24 m、0.26 m，通過為滑塊添加不同質(zhì)量的配重塊(25 g、50 g、75 g、100 g、125 g)來改變系統(tǒng)的總質(zhì)量，從而研究簡諧振動周期與振幅和系統(tǒng)質(zhì)量之間的關(guān)系，測量的數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 周期隨振幅、配重塊變化的數(shù)據(jù)記錄

將數(shù)據(jù)輸入Origin軟件中，并繪制出相同配重下周期隨振幅變化的圖像，從圖中可以看出，保持彈簧不變，在同一配重下，也就是系統(tǒng)質(zhì)量保持不變的情況下，周期不隨振幅改變而變化[10]。

圖3 不同配重下簡諧振動周期與振幅的關(guān)系圖

由公式(4)和(12)可知，彈簧振子周期的平方與系統(tǒng)總質(zhì)量呈線性關(guān)系，由于實驗中m滑和m等效保持不變，只有配重塊的質(zhì)量發(fā)生變化，因此我們來研究周期的平方與配重塊質(zhì)量之間的關(guān)系。

圖4 周期平方與配重塊質(zhì)量間的關(guān)系

將公式(12)進行變形得到：

4.4 簡諧振動能量守恒分析

表5 不同彈簧配置時滑塊運行x處通過光電門的時間記錄

圖5 能量隨位置變化的曲線圖

5 結(jié)束語

本文分析了條形擋光片和U形擋光片測速原理的不同，得出條形擋光片在計時方式1的情況下，測速會更加精確，并且分析了測速時產(chǎn)生誤差的主要原因是由于光電管的離散性造成，給出了定量修正速度的計算公式。利用簡諧振動實驗數(shù)據(jù)進行逐差法計算得出彈簧的勁度系數(shù)和焦利氏秤法計算的結(jié)果一致，計算得到的彈簧等效質(zhì)量約為稱量質(zhì)量的1/3，與理論一致。通過多組實驗，分析得出簡諧振動周期與振幅無關(guān)、周期平方與配重塊質(zhì)量變化之間存在線性關(guān)系，實驗數(shù)據(jù)與理論符合較好，在精確測量簡諧振動速度、彈簧勁度系數(shù)和等效質(zhì)量、周期等物理量的基礎(chǔ)上，通過多組實驗得到系統(tǒng)在不同位置處的動能、勢能之和總是近似相等，從而驗證了能量守恒。在能量守恒驗證中，引起誤差的最主要原因是速度測量的誤差，因此本文給出的速度定量修正方法起到了至關(guān)重要的作用，這也將給其它需要速度、加速度、動量或者能量測量的綜合型實驗打下了堅實的基礎(chǔ)，提供了很好的方法。該實驗所有的規(guī)律性曲線利用Origin軟件作圖得到，清晰明了的圖形有利于學(xué)生更好地理解實驗結(jié)論，大大提高了實驗教學(xué)效果。

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Investigation of the Relationship Between Physical Quantities and Conservation of Energy in the Harmonic Vibration Experiment

HUANG Yu-hong,ZHOU Wen-fei,ZHANG Suo-bin,YANG Zong-li,YUAN Yun

(Shaanxi Normal University,Shaanxi Xi’an 710119)

It describes how to more accurately measure the speed and period of the slider when doing simple harmonic vibration on the air track,as well as the equivalent mass and stiffness coefficient of the springslinkedwith the slider.By utilizing Joly Balance and method of successive minus,the equivalent mass and stiffness coefficient of three pairs of springs are measured and calculated.The results are in good agreement with those of aforementioned experimentson air track.Based on this,the relationship between physical quantities are quantitatively investigated and the results show that the cycle of the harmonic vibration is independent of amplitude,the square of the cycle islinearly proportional to the additional counter weight.The systematic error of measured velocity is analyzed and conservation of the mechanical energy is verified by multiple sets of experiments while the measured velocity is modified.The relationship between physical quantities and the viariation tendency of energy is vividly demonstrated by using software Origin.This will help students to better understand the law existed in the experiments,and can greatly promote experimental teaching effects.

harmonic vibration；air track；universal counter；Joly balance

2016-05-11

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助(GK261001150)；陜西師范大學(xué)實驗教學(xué)改革研究項目(16SY17)。

1007-2934(2016)05-0093-07

O 4-34

A DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.005.024