可規(guī)定性能的輸入受限非線性系統(tǒng)反步控制

王永超，張勝修，扈曉翔，曹立佳，孫維超

(1.火箭軍工程大學(xué) 控制工程系，西安710025;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 智能控制與系統(tǒng)研究所，哈爾濱150001)

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可規(guī)定性能的輸入受限非線性系統(tǒng)反步控制

王永超1，張勝修1，扈曉翔1，曹立佳1，孫維超2

(1.火箭軍工程大學(xué) 控制工程系，西安710025;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 智能控制與系統(tǒng)研究所，哈爾濱150001)

針對具有不可直接測量狀態(tài)和控制方向未知的輸入受限非線性系統(tǒng)的跟蹤問題,提出一種基于模糊狀態(tài)觀測器的反步控制方法.首先采用模糊狀態(tài)觀測器估計被控系統(tǒng)中的不可測量狀態(tài)；然后利用具有光滑特性的雙曲正切函數(shù)和Nussbaum增益函數(shù)對控制器的飽和問題進(jìn)行處理，根據(jù)可規(guī)定誤差面性能技術(shù)對輸出跟蹤誤差的邊界進(jìn)行限定；最后將反步法和動態(tài)面法相結(jié)合設(shè)計魯棒控制器.運用Lyapunov理論對系統(tǒng)的穩(wěn)定性能進(jìn)行了分析，證明閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號最終半全局一致有界.以具有參數(shù)不確定性和存在外界未知有界干擾的高超聲速飛行器縱向運動為仿真模型，仿真結(jié)果驗證了所提算法的有效性.

可規(guī)定性能；模糊狀態(tài)觀測器；輸入受限；反步法；高超聲速飛行器

近年來針對輸入受限問題出現(xiàn)了一系列的研究成果.文獻(xiàn)[1-2]分別針對飛行控制中執(zhí)行機構(gòu)飽和的問題，采用解耦線性控制方法設(shè)計了飛控系統(tǒng).文獻(xiàn)[3]利用LMI區(qū)域法對抗飽和中D穩(wěn)定問題進(jìn)行了比較深入的研究.文獻(xiàn)[4]提出了SISO系統(tǒng)的指令濾波反步控制方法，較好地解決系統(tǒng)狀態(tài)與控制信號受限情況下的穩(wěn)定控制問題.文獻(xiàn)[5]利用多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近控制律的飽和特性，該控制策略能夠有效地處理控制輸入飽和受限的約束，在完成控制目標(biāo)的同時，具有良好的過渡過程品質(zhì).文獻(xiàn)[6]提出一種智能自適應(yīng)滑模控制方法，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近補償執(zhí)行機構(gòu)的飽和非線性.文獻(xiàn)[7-8]利用雙曲正切函數(shù)的光滑特性設(shè)計了反步控制器，并利用Nussbaum增益函數(shù)對飽和受限問題進(jìn)行處理，其中系統(tǒng)的干擾利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)或干擾觀測器進(jìn)行在線逼近.文獻(xiàn)[9]利用模型預(yù)測控制自身優(yōu)勢，將輸入飽和視為待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的一種約束條件，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行控制器的設(shè)計，取得了理想的效果.

以上研究成果在一定條件下均取得理想的效果，但是上述文獻(xiàn)都是基于控制系統(tǒng)狀態(tài)可直接測量這個假設(shè)基礎(chǔ)之上的，對于控制系統(tǒng)中狀態(tài)不可直接測量的情況少有研究.而在實際的控制系統(tǒng)中，狀態(tài)不可直接測量的情況也是十分常見的，在這種情況下，需要一種基于狀態(tài)觀測器的控制方案.

反步法[10](backstepping)是解決非線性系統(tǒng)控制問題的一種行之有效的方法.其基本思想是將復(fù)雜的高階非線性系統(tǒng)分解成一系列的低階系統(tǒng)，通過由后至前反復(fù)為每個子系統(tǒng)設(shè)計Lyapunov函數(shù)和虛擬控制變量，直到完成整個控制系統(tǒng)的設(shè)計.傳統(tǒng)的反步法在設(shè)計控制器的過程當(dāng)中，虛擬控制變量反復(fù)求導(dǎo)，并且伴隨著階數(shù)的增加，計算量呈指數(shù)增長，也就是所謂的“計算膨脹”.文獻(xiàn)[11]引入了動態(tài)面法，也即是將設(shè)計的輔助虛擬控制變量通過一階積分濾波器，避免了求導(dǎo)這個復(fù)雜過程.

本文采用模糊邏輯系統(tǒng)(Fuzzy logic system，F(xiàn)LS)逼近系統(tǒng)中含有不確定參數(shù)和未知有界干擾的非線性函數(shù)，并由此來構(gòu)建模糊狀態(tài)觀測器，利用具有光滑特性的雙曲正切函數(shù)和Nussbaum增益函數(shù)處理系統(tǒng)中的輸入飽和受限問題，并結(jié)合可規(guī)定跟蹤誤差面性能技術(shù)運用Backstepping法設(shè)計一種有效處理輸入受限的輸出反饋自適應(yīng)控制方案.

1 問題描述

考慮如下所示的一類SISO非線性系統(tǒng)：

(1)

式中：xi(t)=[x1(t),…,xi(t)]T∈Ri為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u(v(t))∈R為系統(tǒng)受執(zhí)行器飽和特性影響的輸出；v(t)∈R為執(zhí)行器的輸入；y(t)∈R為系統(tǒng)的輸出量；fi(·)、gi(·)分別為包含不確定參數(shù)的光滑非線性函數(shù)；di(t)為系統(tǒng)受到的外界干擾變量.為敘述方便，文中將xi(t)記為xi，其余變量作類似處理.

式(1)中的飽和受限函數(shù)具體表達(dá)形式如下：

式中uM為受限函數(shù)的界限值，這在一些工業(yè)控制應(yīng)用中值是已知的.

考慮到雙曲正切函數(shù)對飽和受限函數(shù)的近似逼近性質(zhì)，上述所示的飽和受限函數(shù)等價于如下形式：

式中:h(·)為雙曲正切函數(shù)，d(v)=sat(v)-h(v)為有界函數(shù)，界限值表示為

則式(1)可變換為如下形式：

在本文中，假設(shè)只有輸出y是可測量的.控制目標(biāo)是設(shè)計模糊狀態(tài)觀測器和自適應(yīng)控制方案使得系統(tǒng)能夠穩(wěn)定跟蹤參考輸入信號yr，閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致有界且跟蹤誤差滿足可規(guī)定的衰減動態(tài)性能.

為便于控制器的設(shè)計引入下列假設(shè)及引理.

假設(shè)2[7]對于非線性系統(tǒng)(1)，參考輸入信號yr及其一階導(dǎo)數(shù)存在且有界.

式中‖·‖表示向量的2-norm.

定義1 如果函數(shù)N(s)滿足以下條件：

則稱函數(shù)N(s)為Nussbaum增益函數(shù).

式中：C、M、γχ>0分別為常數(shù)，ζ為正變量.

2 可規(guī)定誤差面性能

定義誤差面向量S(t)=[s1(t),…,sn(t)]T∈Rn，本文中可規(guī)定的性能是使系統(tǒng)誤差面si(t)嚴(yán)格按照如下所示的范圍衰減[13-14].

(2)

式中：設(shè)計參數(shù)δi,1，δi,2滿足0<δi,1,δi,2≤1，函數(shù)hi(t)為有界且單調(diào)遞減的光滑函數(shù)且具有如下特性：

式中hi,∞為常數(shù).

引入誤差變換方程：

式中：?i(t)為變換誤差，Φi：(-δi,1,δi,2)→(-∞,∞)為嚴(yán)格遞增的光滑函數(shù).文中采用如下變換函數(shù)：

式中ai>0為設(shè)計常數(shù).

引理2[15]如果?i(t)有界，那么當(dāng)t≥0時，誤差面si(t)滿足如式(2)所示的可規(guī)定衰減動態(tài)性能.

3 模糊狀態(tài)觀測器設(shè)計

3.1 模糊邏輯系統(tǒng)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，帶有模糊規(guī)則庫(IF-THEN規(guī)則)，乘積推理機，單值模糊器和中心平均解模糊器的模糊系統(tǒng)形式表示如下：

定義模糊基函數(shù)ξl如下：

3.2 狀態(tài)觀測器

由于文中只有輸出y可測量，狀態(tài)變量x2，…，xn不可直接測量，故需要設(shè)計一狀態(tài)觀測器對其進(jìn)行觀測.設(shè)計如下所示的模糊狀態(tài)觀測器[17]：

式中HL(s)為Butterworth低通濾波器(Low-passfilter，LPF)[18].

(3)

(4)

3.3 觀測器的穩(wěn)定性分析

(5)

ATP+PA=-2Q.

(6)

選擇Lyapunov函數(shù)V0如下：

則函數(shù)V0關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(7)

將式(5)、(6)帶入式(7)，得

(8)

式中λmin(Q)為正定矩陣Q的最小特征值;δ=[δ1,…,δn]T,ΔF=[Δf1,…,Δfn]T.

根據(jù)Young不等式和假設(shè)3～5，可得：

(9)

(10)

聯(lián)立式(8)～(10)，得到：

(11)

4 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

本文將結(jié)合反步法和動態(tài)面法對控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計.

Step 1 由于系統(tǒng)中狀態(tài)不可測量，系統(tǒng)中的反饋控制律不能直接利用其給出.模糊狀態(tài)觀測器設(shè)計中已經(jīng)證明了建立的模糊狀態(tài)觀測器觀測誤差是收斂的，故觀測器狀態(tài)可以用于系統(tǒng)反饋控制律的設(shè)計，這與針對實際系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計是等價的，因此定義如下：

式中αi-1為虛擬控制變量，具體形式由下文給出.

為了便于控制的設(shè)計，本文中只要求系統(tǒng)跟蹤參考信號的誤差滿足一定的可規(guī)定性能.

令s1=z1，則誤差變換函數(shù)?1關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(12)

式中p1=a1((1/(s1+δ1,1h1))-(1/(s1-δ1,2h1))).

定義模糊系統(tǒng)最小逼近誤差ε1為

(13)

需要說明的是，根據(jù)文中所建立的Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和文中采用投影法確定參數(shù)的自適應(yīng)律，可以保證參數(shù)有界，進(jìn)而根據(jù)緊集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，假設(shè)4和假設(shè)6成立是可以得到保證的.

將式(13)帶入式(12)，得

選擇Lyapunov函數(shù)V1為

則函數(shù)關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(14)

根據(jù)定理2，式(14)可變換為

(15)

同時根據(jù)Young不等式，得

(16)

(17)

(18)

將式(16)～(18)帶入式(15)，得

(19)

選取虛擬控制變量和參數(shù)的自適應(yīng)律分別為

(21)

(22)

將式(20)～(22)帶入到式(19)中，得

(23)

Step i(2≤i

(24)

式中wi=εi-δi為模糊系統(tǒng)復(fù)合誤差.

(25)

選擇Lyapunov函數(shù)Vi為

(26)

則函數(shù)Vi關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)，并將式(24)、(25)帶入式(26)得

(27)

根據(jù)定理2和Young不等式，式(27)可化為

(28)

(29)

(30)

(31)

將式(29)～(31)帶入到式(28)中，得

(32)

(33)

參數(shù)的自適應(yīng)律如式(30)、(31)所示，并將式(33)帶入式(28)中，得

(34)

Step n 定義：

zn關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(35)

(36)

選擇Lyapunov函數(shù)Vn為

(37)

則函數(shù)Vn關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)，并將式(35)、(36)帶入式(37)得

(38)

根據(jù)定理2和Young不等式，式(38)可轉(zhuǎn)化為

(39)

選取輔助虛擬控制變量和參數(shù)自適應(yīng)律如下：

(40)

(41)

(42)

將式(40)～(42)帶入到式(39)中，整理合并可得

(43)

Step n+1 定義：

(44)

(45)

(46)

(47)

中間變量zn+1關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

選擇Lyapunov函數(shù)Vn+1為

則函數(shù)Vn+1關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)為

(48)

考慮到閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的有界性，選擇Lyapunov函數(shù)Vsum如下：

對函數(shù)Vsum求導(dǎo)，并結(jié)合式(11)、(23)、(32)、(34)、(43)、(48)整理合并可得

(49)

則式(49)可轉(zhuǎn)化為

(50)

對式(50)進(jìn)行積分，得

根據(jù)引理1可得Vsum(·)和χ(·)有界，且跟蹤誤差滿足如下不等式：

同時變量?1(t)有界，根據(jù)引理2可得，輸出跟蹤誤差滿足衰減動態(tài)性能.

故根據(jù)以上控制器的設(shè)計過程和對閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，可得到以下定理 .

定理3 對于滿足假設(shè)1～5的輸入受限非線性系統(tǒng)(1)，設(shè)計模糊狀態(tài)觀測器(3)，設(shè)計控制器(44)～(46)，設(shè)計系統(tǒng)輔助虛擬控制變量(20)、(29)、(33)、(40)，選取參數(shù)自適應(yīng)律(21)～(22)、(30)～(31)、(41)～(42)，則閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致有界(SGUUB)，并且輸出跟蹤誤差滿足可規(guī)定衰減動態(tài)性能.

5 仿真分析

由于高超聲速飛行器超高的飛行速度和特殊的飛行環(huán)境，相比于傳統(tǒng)飛行器具有較強的參數(shù)不確定和較大的外界干擾,且飛行動力系統(tǒng)對姿態(tài)特別是攻角側(cè)滑角具有非常嚴(yán)格的條件要求，控制系統(tǒng)的研究面臨前所未有的挑戰(zhàn)[21].為此需要設(shè)計魯棒性強，跟蹤誤差滿足一定要求的控制系統(tǒng).同時由于高超聲速飛行器不菲的造價，因此也要求控制系統(tǒng)具有一定的可靠性(如系統(tǒng)中狀態(tài)量傳感器出現(xiàn)故障導(dǎo)致狀態(tài)不能直接測量的情況下，控制系統(tǒng)依然能夠?qū)崿F(xiàn)對指令的穩(wěn)定跟蹤).在飛行器進(jìn)行機動飛行時由于執(zhí)行器自身物理構(gòu)造的限制，導(dǎo)致執(zhí)行器出現(xiàn)飽和的情況.如果不考慮這種輸入受限的情況，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)動態(tài)性能變差，如調(diào)節(jié)時間增長、超調(diào)量增大、引起系統(tǒng)滯后和振蕩加劇，嚴(yán)重的將導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定[22],因此在設(shè)計控制系統(tǒng)時也需要考慮執(zhí)行器輸入受限這種情況.為驗證本文所提方法的有效性，選用一類有翼錐構(gòu)型的吸氣式高超聲速飛行器作為仿真模型.飛行高度h=110 000 ft，速度v=15 060 ft/s，其縱向動態(tài)特性表示如下[23]：

(51)

式中：α、q分別為飛行器的攻角和俯仰角速度；m、Iyy分別為質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；L、T、Myy、d分別為升力、推力、俯仰力矩和俯仰軸上受到的外界干擾.上述系統(tǒng)中涉及的力與力矩的具體表達(dá)形式如下：

CL=0.620 3α,

CM(α)=-0.035α2+0.036 617(1+ΔCMα)α+5.326 1×10-6,

CM(δe)=ce(δe-α),

文中假設(shè)推力不變，攻角的跟蹤控制通過舵偏角的偏轉(zhuǎn)來調(diào)節(jié).飛行器的舵偏角是在一定的范圍內(nèi)的，且飽和界限值(±30°)已知.采用正切函數(shù)處理飽和問題，令[x1,x2]T=[α,q]T，將式(51)等效為如下形式：

假設(shè)俯仰角速度測量傳感器在飛行的過程當(dāng)中出現(xiàn)故障，無法實現(xiàn)精確測量，故采用本文中設(shè)計的基于模糊狀態(tài)觀測器的控制方法.本文中攻角的參考指令信號為yr=-22.5°cos(t)+22°.

按照本文方法設(shè)計如下所示的模糊狀態(tài)觀測器和反步控制器.

模糊狀態(tài)觀測器：

設(shè)計的控制器如下：

函數(shù)h1(t)=e-t+0.03，設(shè)計參數(shù)δ1,1=0.6，δ1,2=0.9，a1=0.02.

圖1為輸出響應(yīng)曲線，其中圖1中虛線表示為參考輸入信號曲線，實線表示為跟蹤響應(yīng)曲線.從圖1中可以看出在系統(tǒng)存在不確定性參數(shù)和未知外界干擾的情況下，攻角的輸出信號能夠穩(wěn)定地跟蹤參考輸入信號.

圖1 輸出響應(yīng)曲線

圖2為系統(tǒng)的控制信號曲線，虛線表示為設(shè)計的控制輸入信號，實線表示為執(zhí)行器信號.從圖2中可以看出雖然控制輸入信號在一些情況下遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了界限值，但是執(zhí)行器信號依然控制在飽和界限范圍內(nèi).圖3，4分別為模糊狀態(tài)觀測器的響應(yīng)曲線.雖然俯仰角在外界干擾值很大的情況下，觀測效果不太理想，但是系統(tǒng)在輸入受限的情況下，依然能夠很好地跟蹤參考輸入信號.圖5為系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線，虛線表示系統(tǒng)的跟蹤誤差.從圖5中可以清晰地看出，系統(tǒng)跟蹤誤差被限定在可規(guī)定性能范圍內(nèi).

圖2 控制信號

圖3 攻角觀測響應(yīng)曲線

圖4 俯仰角觀測響應(yīng)曲線

圖5 跟蹤誤差曲線

6 結(jié) 論

1)本文提出了一種有效處理具有不可直接測量狀態(tài)的輸入受限的不確定非線性系統(tǒng)的反步控制方法.運用Lyapunov理論對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，證明了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號半全局一致最終有界(SGUUB).

2)利用雙曲正切函數(shù)和Nussbaum增益函數(shù)有效地處理了輸入飽和約束，并采用可規(guī)定誤差面性能技術(shù)對輸出跟蹤誤差進(jìn)行了有效限定.

3)能夠有效地處理控制方向未知而引起的奇異等問題，并且文中對模糊系統(tǒng)的逼近誤差進(jìn)行了自適應(yīng)補償，進(jìn)一步減小了跟蹤誤差.

4)仿真過程中，雖然模糊狀態(tài)觀測器對不可直接測量狀態(tài)的估計效果不是很理想，但系統(tǒng)依然能夠具有很好的跟蹤效果和很強的魯棒性能.

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(編輯 張 紅)

Prescribed performance backstepping control of nonlinear systems with input saturation

WANG Yongchao1, ZHANG Shengxiu1, HU Xiaoxiang1, CAO Lijia1, SUN Weichao2

(1.Dept. of Control Engineering, Rocket Force Engineering University, Xi’an 710025, China;2.Research Institute of Intelligent Control and Systems, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

The tracking problem of the nonlinear system with input saturation is investigated by using a backstepping approach based on fuzzy state observer, where the underline system contains immeasurable states and unknown control directions. Firstly, a fuzzy state observer is designed to estimate the immeasurable states. Then, the Hyperbolic tangent function with smooth property and a Nussbaum function are used to handle the input saturation. The bound of the output tracking error is set by the prescribed performance methodology. A robust controller is designed combining the backstepping approach and the dynamic surface method. The Lyapunov theory is applied to analyze the stability of the system. It is proved that all the signals of the resulting closed-loop system are semi-globally uniformly ultimately bounded(SGUUB). Finally, the longitudinal dynamics as the simulation model is given to show the effectiveness of the proposed control approach.

prescribed performance；fuzzy state observer；input saturation；backstepping approach；hypersonic vehicle

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.10.016

2015-04-14

國家自然科學(xué)基金(61304001,61304239)

王永超(1991—)，男，博士研究生；

張勝修(1963—)，男，教授，博士生導(dǎo)師

張勝修，zsx1963@aliyun.com

TP273.2

A

0367-6234(2016)10-0110-09