噪聲相關(guān)粒子濾波算法

李 偉，曹 潔，李 軍，王進(jìn)花

（蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院 蘭州 730050）

噪聲相關(guān)粒子濾波算法

李 偉，曹 潔，李 軍，王進(jìn)花

（蘭州理工大學(xué)電氣工程與信息工程學(xué)院 蘭州 730050）

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波在處理非線性系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)中噪聲獨(dú)立假設(shè)的局限，該文研究分析了一種噪聲相關(guān)粒子濾波算法。在常用的系統(tǒng)狀態(tài)模型基礎(chǔ)上，分析了噪聲相關(guān)時(shí)建議分布函數(shù)的具體分布形式，并以高斯相關(guān)噪聲為背景，在重要性權(quán)重條件最小方差意義下推導(dǎo)了最優(yōu)建議分布函數(shù)的數(shù)值表達(dá)式。所設(shè)計(jì)的濾波器有效彌補(bǔ)了傳統(tǒng)粒子濾波算法在噪聲相關(guān)情況下的缺陷，拓展了PF算法的應(yīng)用范圍。仿真實(shí)驗(yàn)表明了該方法的有效性。

噪聲相關(guān)； 非線性系統(tǒng)； 粒子濾波； 建議分布函數(shù)

粒子濾波器是一種新興的非線性濾波方法，其核心思想［1-2］是采用一系列賦予相應(yīng)權(quán)重信息的隨機(jī)采樣粒子以加權(quán)求和的方法近似系統(tǒng)的后驗(yàn)狀態(tài)概率密度函數(shù)，在最小均方誤差的準(zhǔn)則下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的估計(jì)。與目前普遍采用的擴(kuò)展卡爾曼濾波器（extended kalman filter， EKF）和無(wú)跡卡爾曼濾波器（unscented kalman filter， UKF）等采用線性近似技術(shù)的非線性濾波方法相比，該算法擺脫了對(duì)系統(tǒng)線性、高斯特性的假設(shè)，理論上可以適應(yīng)任意的非線性非高斯系統(tǒng)。近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)處理能力的增強(qiáng)，該算法在目標(biāo)跟蹤［3-8］領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

傳統(tǒng)PF算法為了采樣和計(jì)算的方便，通常選用系統(tǒng)狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率作為建議分布函數(shù)進(jìn)行采樣處理。雖然該方法易于實(shí)現(xiàn)，但是其濾波精度嚴(yán)重依賴于系統(tǒng)模型，當(dāng)模型建立誤差較大時(shí)，由于選取的建議分布函數(shù)缺乏最新觀測(cè)信息的修正作用，多次迭代后容易導(dǎo)致系統(tǒng)模型失配誤差增大，最終產(chǎn)生所謂的“粒子權(quán)值退化”問(wèn)題，濾波估計(jì)精度大幅降低，甚至出現(xiàn)發(fā)散。因此，如何選取優(yōu)秀的建議分布函數(shù)，是該算法的一個(gè)核心研究?jī)?nèi)容。近年來(lái)，針對(duì)建議分布函數(shù)的選取問(wèn)題，研究人員提出了一系列的改進(jìn)算法。如文獻(xiàn)［2］采用EKF對(duì)采樣粒子進(jìn)行濾波處理，通過(guò)近似非線性濾波的方法融入當(dāng)前的觀測(cè)信息來(lái)調(diào)整不同粒子的權(quán)重信息，實(shí)現(xiàn)了建議分布函數(shù)的優(yōu)化處理，提出了一種擴(kuò)展卡爾曼粒子濾波算法（extended kalman PF， EPF），一定程度上克服了因缺乏最新觀測(cè)信息導(dǎo)致的模型失配問(wèn)題。但是由于該算法需要通過(guò)復(fù)雜的雅克比矩陣計(jì)算來(lái)近似非線性狀態(tài)，一定程度上影響了算法的改進(jìn)效果，特別是在強(qiáng)非線性系統(tǒng)中，其濾波效果較差。文獻(xiàn)［3］借鑒EPF算法的改進(jìn)思想，采用無(wú)跡卡爾曼濾波器對(duì)采樣粒子進(jìn)行濾波更新，提出了一種無(wú)跡卡爾曼粒子濾波算法（unscented kalman PF，UPF），由于UT變換能將非線性系統(tǒng)的性能精確到3階的精度，而且不需要計(jì)算復(fù)雜的雅克比矩陣，一定程度上消弱了EKF近似帶來(lái)的誤差，并且提升了算法的濾波精度。文獻(xiàn)［4］在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上將這種確定的UT變換方法引入到噪聲空間內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，得到了一種新型的無(wú)跡粒子濾波算法，該算法在確保精度的同時(shí)，有效降低了算法的時(shí)間消耗。

雖然以上這些改進(jìn)算法一定程度上消弱了因重采樣帶來(lái)的權(quán)值退化問(wèn)題，在具體應(yīng)用中提升了算法的總體濾波精度，但這些研究均是在假設(shè)系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲為相互獨(dú)立的高斯白噪聲的情況下展開的。實(shí)際應(yīng)用中，由于對(duì)測(cè)量信息進(jìn)行離散化處理以及受內(nèi)外環(huán)境的影響，噪聲相互獨(dú)立的條件很難得到滿足，當(dāng)系統(tǒng)噪聲與測(cè)量噪聲相互關(guān)聯(lián)時(shí)，SPF算法將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差甚至發(fā)散［9］。因此，討論噪聲相關(guān)情況下的PF問(wèn)題是非常具有理論意義和現(xiàn)實(shí)意義的。

本文首先詳細(xì)分析了系統(tǒng)噪聲與測(cè)量噪聲之間的關(guān)系，理論上分析了狀態(tài)過(guò)程噪聲與測(cè)量噪聲以及它們?cè)跁r(shí)間序列上的相關(guān)性，并給出噪聲相關(guān)情況下的系統(tǒng)狀態(tài)模型和噪聲聯(lián)合概率密度的分解表達(dá)式；然后，深入分析了噪聲相關(guān)時(shí)建議分布函數(shù)的的性質(zhì)，并以高斯相關(guān)噪聲為背景，在重要性權(quán)重條件最小方差意義下推導(dǎo)了噪聲相關(guān)情況下的最優(yōu)建議分布函數(shù)；最后，提出了噪聲相關(guān)粒子濾波器（correlative noises PF， CN-PF），給出了新算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟，并基于數(shù)值仿真的方法對(duì)算法的性能和統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了分析。

1 問(wèn)題描述

1.1 問(wèn)題提出

在分析非線性濾波方法中，通?？梢詫r(shí)間離散的非線性系統(tǒng)表示為［10］：

式中，xk、yk為k時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)值和觀測(cè)值； f（·）、h（·）為相應(yīng)的動(dòng)態(tài)傳遞函數(shù)； uk為模型的控制參量，wk、 vk為相應(yīng)的過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲；Γk為過(guò)程噪聲的輸入控制參量。本文的主要目的是針對(duì)式（1）描述的非線性系統(tǒng)，從測(cè)量噪聲和過(guò)程噪聲的相關(guān)性分析濾波的具體實(shí)現(xiàn)方法。借鑒文獻(xiàn)［10］，針對(duì)式（1）給定的非線性系統(tǒng)，給出兩種噪聲統(tǒng)計(jì)特性的假設(shè)。

假設(shè)1：如果過(guò)程噪聲wk與量測(cè)噪聲 vk是相互關(guān)聯(lián)的高斯白噪聲，相關(guān)參量采用矩陣形式表示，其相互的統(tǒng)計(jì)特性為：

式中，Qk為wk的協(xié)方差值矩陣，為對(duì)稱非負(fù)定陣；Rk為 vk的協(xié)方差值矩陣，為正定對(duì)稱矩陣；Sk為wk與 vk之間的互相關(guān)系數(shù)矩陣； δkj為kronecker函數(shù)，滿足特性：

假設(shè)2：系統(tǒng)的初始狀態(tài)x0、過(guò)程噪聲wk、量測(cè)噪聲 vk之間是互補(bǔ)相關(guān)的，并且服從高斯正態(tài)分布，其均值和協(xié)方差可以表示為：

在滿足兩個(gè)假設(shè)的前提下，本文的主要目的是在給定最新觀測(cè)信息Yk+1=｛y1，y2，，yk+1｝的條件下，針對(duì)噪聲相關(guān)情況下的濾波實(shí)現(xiàn)問(wèn)題展開研究，在最小均方誤差估計(jì)準(zhǔn)則下利用最新量測(cè)信息給出系統(tǒng)的最終估計(jì)值k+1。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法

標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法（SPF）采用一簇賦予權(quán)值的粒子進(jìn)行加權(quán)求和來(lái)近似系統(tǒng)的后驗(yàn)狀態(tài)，理論上該方法可以處理任何非線性、非高斯系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題［2］，其核心步驟主要包括“預(yù)測(cè)”和“更新”兩個(gè)步驟。在給定系統(tǒng)建議密度函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)采樣的方法獲取一簇賦予權(quán)值的粒子集合近似系統(tǒng)的后驗(yàn)分布為進(jìn)行權(quán)值分配的粒子集合，為賦予粒子的權(quán)值，滿足，系統(tǒng)的狀態(tài)可以表示為在獲取最新觀測(cè)信息Yk=｛y1，y2，，yk｝的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)的后驗(yàn)估計(jì)為：

權(quán)值計(jì)算為：

式中， q（xk|·）為進(jìn)行采樣選擇的重要性概率密度函數(shù)。在SPF中，通常為了計(jì)算的方便，將式（7）所表示的一步轉(zhuǎn)移概率密函數(shù)選擇為先驗(yàn)分布進(jìn)行采樣：

將式（7）代入式（6），可以獲取權(quán)值的更新表達(dá)式為：

在當(dāng)前針對(duì)PF展開的研究中，多數(shù)假設(shè) vk、 ek滿足相互獨(dú)立的高斯特性，且qk=rk=0。

2 噪聲相關(guān)粒子濾波算法

2.1 噪聲相關(guān)情況分析

為進(jìn)行濾波性能的分析，系統(tǒng)模型中將噪聲作為加性高斯噪聲處理，為了便于分析系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)與噪聲之間的關(guān)系，可以忽略式（1）中的控制參量，將其進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

式中， xk、 xl為不同時(shí)刻的狀態(tài)值； yl為當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值； vk、 el為相應(yīng)的過(guò)程噪聲與觀測(cè)噪聲。進(jìn)一步可以將觀測(cè)信息與狀態(tài)值之間的聯(lián)合后驗(yàn)概率密度表示為：

如果滿足獨(dú)立的假設(shè)，基于馬爾科夫模型，可以將系統(tǒng)模型的相關(guān)概率密度函數(shù)表示為：

將式（9）表示的動(dòng)態(tài)過(guò)程用圖1的相互關(guān)系表示，可以看出噪聲相互關(guān)系的傳遞流程。

圖2 過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲相關(guān)性示意圖

過(guò)程噪聲和量測(cè)噪聲相關(guān)性示意圖如圖2所示，可以看出，過(guò)程和觀測(cè)之間的相關(guān)性主要表現(xiàn)為噪聲時(shí)間上的關(guān)聯(lián)性?？紤]噪聲v1-k和ek-1關(guān)聯(lián)性的主要目的是為了分析噪聲聯(lián)合概率密度函數(shù)p（vi，ej）的具體實(shí)現(xiàn)形式。

給定噪聲向量序列（vk-1，ek-1）T，假設(shè)序列之間滿足獨(dú)立性的假設(shè)，則：

可以進(jìn)一步將過(guò)程與觀測(cè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)表示為：

2.2 最優(yōu)建議分布函數(shù)的理論分析

SPF算法的核心思想就是通過(guò)對(duì)建議分布函數(shù)進(jìn)行采樣，通過(guò)賦予相應(yīng)的權(quán)重信息，然后通過(guò)加權(quán)求和的形式逼近系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)狀態(tài)分布，可見(jiàn)，建議分布函數(shù)的選取決定著算法的整體性能［12］。因此，在考慮噪聲相互關(guān)聯(lián)的情況下對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)建議分布函數(shù)的選擇進(jìn)行理論分析，將（9）式重新表示為：

式中，vk和 ek是相關(guān)的。根據(jù)圖2顯示的相關(guān)性的時(shí)間關(guān)系，將噪聲相關(guān)性表示為p（yk，xk+1|xk），因?yàn)樵肼曄嚓P(guān)性的存在，在給定當(dāng)前時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài) xk的條件下，獲取的觀測(cè)信息yk和xk+1無(wú)法滿足獨(dú)立的條件，則：

為了采樣的方便，SPF中采用的建議分布函數(shù)為q（xk|Xk-1，Yk）。文獻(xiàn)［12］指出，因?yàn)槎鄶?shù)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)仿真均滿足馬爾科夫特性，所以有：

考慮到y(tǒng)k-1和 xk的關(guān)系，將式（19）重新表示為：

根據(jù)貝葉斯濾波思想，結(jié)合SPF建議分布函數(shù)的形式，考慮噪聲相關(guān)特性情況下的后驗(yàn)建議分布函數(shù)為：

將噪聲相關(guān)情況下的最優(yōu)建議分布函數(shù)表示為：

2.3 最優(yōu)建議分布函數(shù)的抽樣實(shí)現(xiàn)

SPF算法中為了進(jìn)行抽樣解析，假設(shè)噪聲統(tǒng)計(jì)特性滿足高斯假設(shè)。為了分析本文方法的可行性，同樣假設(shè)噪聲滿足高斯特性，即：

寫成分布函數(shù)的形式為：

可以看出，噪聲是否相關(guān)主要取決于 Sk取值，當(dāng)Sk=0即為SPF,當(dāng)Sk≠0即為本文討論的相關(guān)噪聲情況。假設(shè)X、Y的分布滿足聯(lián)合高斯特性，則：

根據(jù)式（21）的分解思路，可以在給定觀測(cè)信息Y=y的條件下，將X的條件分布表示為：

令X=xk|xk-1,Y=yk-1，則有：

即建議分布函數(shù)為：

為進(jìn)行解析采樣，則在高斯噪聲條件下的最優(yōu)建議分布函數(shù)可以表示為：

2.4 算法實(shí)現(xiàn)步驟

根據(jù)前面的理論分析，結(jié)合SPF的具體實(shí)現(xiàn)步驟，可以將CN-PF的具體實(shí)現(xiàn)步驟描述如下：

1） 初始化

2） 權(quán)值更新：

k=k+1，從式（29）中按照式（31）進(jìn)行采樣，并按照式（32）更新權(quán)值

歸一化為：

3） 重采樣：

根據(jù)SPF中克服權(quán)值衰退的思想，同樣采用重采樣的方法緩解退化問(wèn)題，設(shè)定初始閾值Nthreshold如果滿足然后將權(quán)重粒子集合重新標(biāo)記為

4） 估計(jì)輸出：

3 數(shù)值仿真分析

為對(duì)本文方法的性能進(jìn)行分析，文獻(xiàn)［10］采用式（36）所示的非線性高斯模型進(jìn)行數(shù)值分析：

式中，ωk和 vk均為高斯白噪聲。統(tǒng)計(jì)特性滿足：

按照文獻(xiàn)［10］的描述，將相應(yīng)的參數(shù)值設(shè)置為：

狀態(tài)的初始估計(jì)值為：

3.1 噪聲獨(dú)立仿真

由式（24）可知噪聲不相關(guān)特性可以表示為Sk=0，為進(jìn)行算法性能的分析，首先針對(duì)狀態(tài) x1進(jìn)行濾波估計(jì)分析，并將估計(jì)結(jié)果同常用的非線性濾波EKF、SPF方法進(jìn)行對(duì)比分析，具體的估計(jì)結(jié)果如圖3～圖5所示?？梢钥闯?，在噪聲不相關(guān)的情況下，3種算法都能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的有效跟蹤，但是EKF的誤差明顯大于SPF和本文方法。從圖4和圖5中可以看出，雖然認(rèn)為SPF為CN-PF在噪聲獨(dú)立情況下的特列，但是該模型仿真的結(jié)果顯示CN-PF的精度仍然高于SPF，其主要原因是本文方法在分析濾波估計(jì)結(jié)果時(shí)考慮到了時(shí)間序列的相關(guān)性，這種相關(guān)性存在著一階或二階記憶效應(yīng)，但SPF方法忽略了所有的時(shí)序特性。在獨(dú)立假設(shè)中，CN-PF只是忽略了一階時(shí)間相關(guān)性，仍然保持了二階以上的解析特點(diǎn)，所以兩種方法的精度基本相同。

圖3 狀態(tài) x1的估計(jì)曲線

圖4 狀態(tài) x1的跟蹤誤差曲線

圖5 狀態(tài) x1跟蹤均方誤差跟曲線

3.2 噪聲相關(guān)仿真

噪聲相關(guān)性可以表示為Sk≠0，為了進(jìn)行噪聲相關(guān)性的分析，取Sk∈［0 1］，對(duì)狀態(tài) x3進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，具體的估計(jì)結(jié)果如圖6～圖8所示。

圖6 狀態(tài) x3的狀態(tài)估計(jì)曲線

圖7 狀態(tài) x3的跟蹤誤差曲線

圖8 狀態(tài) x3的跟蹤均方誤差根曲線

由圖6、圖7的估計(jì)結(jié)果可以看出，噪聲相關(guān)的時(shí)候，容易引起模型失配，EKF、SPF的估計(jì)偏差明顯增大，但是本文方法保持了較好的估計(jì)精度。從圖8的統(tǒng)計(jì)均方根誤差可以看出，隨著迭代時(shí)間的延長(zhǎng)，傳統(tǒng)方法均產(chǎn)生了較大的誤差累積，本文方法的均方誤差較小，保持了較好的濾波精度。

4 結(jié) 論

針對(duì)非線性、非高斯系統(tǒng)的濾波問(wèn)題，PF算法提供了一種有效、方便的高效算法。但傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)PF算法要求系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲必須為互不相關(guān)的高斯白噪聲，該局限性限制了其具體的應(yīng)用范圍。針對(duì)傳統(tǒng)PF算法在噪聲相關(guān)情況下濾波精度大幅下降的問(wèn)題，本文詳細(xì)分析了系統(tǒng)噪聲與量測(cè)噪聲相關(guān)情況下的非線性濾波問(wèn)題，主要做了以下3個(gè)方面的工作：1） 分析了噪聲相關(guān)的時(shí)序特性，并基于現(xiàn)有的模型分析了相關(guān)噪聲建議分布函數(shù)的性質(zhì)；2）在理論上分析了噪聲相關(guān)情況下的聯(lián)合概率密度函數(shù)，并進(jìn)行了解析分解形式的分析；3） 基于SPF思想，在高斯統(tǒng)計(jì)特性的條件下，給出了非線性系統(tǒng)模型采樣的解析形式及噪聲相關(guān)粒子濾波器的詳細(xì)實(shí)現(xiàn)步驟。由于本文是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)PF算法適應(yīng)范圍的擴(kuò)展，因此很容易結(jié)合當(dāng)前已經(jīng)存在的很多優(yōu)化思想提升該算法在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。在下一步的研究中，將研究該算法在系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性未知情況下的最優(yōu)濾波問(wèn)題。

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編 輯 葉 芳

Particle Filter Algorithm with Correlative Noises

LI Wei， CAO Jie， LI Jun， and WANG Jin-hua
（College of Electrical and Information Engineering， Lanzhou University of Technology Lanzhou 730050）

The standard particle filter needs to meet the requirement of noise independent. In order to overcome this limitation， this paper proposes a correlative noise particle filter （CN-PF） algorithm. The method analyzes the characteristic of noise time correlation， and derives the joint probability density function of correlative noise based on the given nonlinear system model. The concrete implementation method of noise de-correlation is analyzed based on the Gaussian noise assumption. The optimal proposal distribution function is deduced in the condition of the importance weight variance minimum. The CN-PF algorithm compensates the shortage of the traditional particle filter algorithm effectively， and expands the application range of the PF algorithm. The theoretical analysis and simulation results show the effectiveness of the propose method.

noise correlation； nonlinear system； particle filter； proposal distribution function

TP391

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.021

2012 - 12 - 08；

2016 - 01 - 11

國(guó)家自然科學(xué)基金（61263031）；甘肅省自然科學(xué)基金（1010RJZA046）；甘肅省教育廳研究生導(dǎo)師基金（0914ZTB003）

李偉（1982 - ），男，博士生，主要從事多源信息融合、非線性控制理論與仿真方面的研究.