蘭勃特投影與高斯投影的正解析變換研究

張健雄，李亞磊

(河南理工大學(xué) 測繪與國土信息學(xué)院，河南 焦作454003)

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蘭勃特投影與高斯投影的正解析變換研究

張健雄，李亞磊

(河南理工大學(xué) 測繪與國土信息學(xué)院，河南 焦作454003)

蘭勃特投影和高斯投影是我國常用的兩種等角投影，兩者之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是實(shí)際應(yīng)用中常見的基本問題。文章針對目前使用的反解析變換法計算解決復(fù)雜及正解析變換法精度偏低的問題，采用Mathematica數(shù)學(xué)軟件對正解析變換公式重新推導(dǎo)，得出坐標(biāo)變換公式，經(jīng)驗(yàn)證，在4°(緯差)6°(經(jīng)差)的轉(zhuǎn)換區(qū)域精度達(dá)到1mm，能夠滿足測量和制圖精度要求。

高斯投影；蘭勃特投影；解析變換法；轉(zhuǎn)換精度

高斯投影和蘭勃特投影是常用的兩種等角投影，廣泛用作地圖制作。國家基本比例尺地形圖采用的是高斯克呂格投影，1：100萬地形圖和航空圖采用的是蘭勃特等角圓錐投影[1]。根據(jù)投影變形規(guī)律差異，高斯投影適用于南北長而東西狹窄的區(qū)域，蘭勃特投影適用于東西長而南北狹窄的區(qū)域，因此在實(shí)際應(yīng)用中兩者之間的相互轉(zhuǎn)換是常見的基本問題。變換的主要方法有解析法和數(shù)值法，其中解析法最為常用，它又分為正解析法與反解析法[2-4]。反解析法是利用大地坐標(biāo)作為過渡，采用(xG,yG)(B,l)(xL,yL)的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。這種轉(zhuǎn)換方式理論嚴(yán)密，嚴(yán)格意義上無精度損失，且不受轉(zhuǎn)換區(qū)域范圍限制；缺點(diǎn)是計算量大，過程復(fù)雜[5-6]。正解析法是根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論，將兩種投影變換公式在某點(diǎn)處作級數(shù)展開，通過將一種投影坐標(biāo)展為另一種投影坐標(biāo)級數(shù)的形式實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。正解析法無需任何中間變量，可直接實(shí)現(xiàn)兩種投影間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，不足之處是這種轉(zhuǎn)換方式精度受展開階數(shù)限制，在轉(zhuǎn)換范圍過大時精度偏低。本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，改進(jìn)正解析法公式推導(dǎo)方式，采用Mathematical計算軟件對轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行重新推導(dǎo)，得到較高的轉(zhuǎn)換精度。

1　蘭勃特平面坐標(biāo)與高斯平面坐標(biāo)的正解析換算

由于這兩種投影都是等角投影，所以兩種坐標(biāo)之間存在一個復(fù)變函數(shù)的關(guān)系[7, 8]。設(shè)x,y為蘭勃特投影上某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，x｀,y｀為高斯克呂格投影上相當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這個函數(shù)關(guān)系為：

x｀+iy｀=f(x+iy)

(1)

將式(1)右邊的函數(shù)展為麥克勞倫級數(shù)，則得：

(2)

式中：f0表示函數(shù)f0(x+iy);f｀0、f″0分別為f0函數(shù)關(guān)于x+iy的一階、二階導(dǎo)數(shù)，下標(biāo)0表示這個函數(shù)和各導(dǎo)數(shù)都須歸算為零點(diǎn)之上，即歸算到x=0及y=0之上。求得各階導(dǎo)數(shù)值即可得兩種投影間的解析換算公式。

由于蘭勃特投影上中央經(jīng)線的選擇是不受任何限制的，故可以假定這兩種投影都是以同一經(jīng)度的經(jīng)線作為中央經(jīng)線，則當(dāng)經(jīng)度差l等于零時，y=0，同樣，在y｀=0這個假定下，式(1)為：

x｀=f(x)

(3)

假設(shè)橢球面某一點(diǎn)的坐標(biāo)為(△σ,l)，其中△σ為這個點(diǎn)的等量緯度σ和投影中心的等量緯度的差數(shù)，l為這個點(diǎn)和中央經(jīng)線的經(jīng)度差。又設(shè)高斯克呂格坐標(biāo)(x｀,y｀)和(△σl)的關(guān)系為：

x｀+iy｀=G(△σ+il)

(4)

而蘭勃特投影坐標(biāo)(x,y)和(△σ,l)的關(guān)系為：

x+iy=L(△σ+il)

(5)

當(dāng)l=0，y=y｀=0,故：

(6)

由于△σ是地理緯度差△φ的函數(shù)，故有：

(7)

依x逐級微分式(3)，得：

(8)

以上導(dǎo)數(shù)必須歸算至x=0之上，也就是說，令△σ=0，方能代入式(2)作為系數(shù)。根據(jù)式(8)即可將各階導(dǎo)數(shù)表示為含高斯投影與蘭勃特投影參數(shù)的實(shí)用公式。根據(jù)高斯投影長度變形公式及其中央子午線無變形的特點(diǎn)，并令△φ=0可推導(dǎo)出(過程略)：

(9)

由蘭勃特投影坐標(biāo)換算的級數(shù)反算公式，并依x逐級微分△φ，令△φ=0，經(jīng)推導(dǎo)得：

(10)

將式(9)及(10)代入式(8)，可得：

(11)

故從蘭勃特坐標(biāo)換算為高斯克呂格坐標(biāo)的公式為：

(12)

將式中真數(shù)與虛數(shù)分開，則得換算公式為：

(13)

式(13)左邊高斯克呂格投影的坐標(biāo)原點(diǎn)在中央經(jīng)線上，x｀是從蘭勃特投影的中央緯線的緯度φ0起算，所以，必須加入由赤道至緯度φ0的經(jīng)線長度X0，方能得到高斯克呂格投影上的縱坐標(biāo)。

對于1975年國際橢球，子午線弧長X0計算式為[9]：

X0=111133.005B0-16038.528sin2B+16.833sin4B-0.022sin6B

反算公式，即從高斯克呂格坐標(biāo)換算成蘭勃特投影的坐標(biāo)公式可以將公式倒轉(zhuǎn)求之得：

(14)

式中x｀同樣是從蘭勃特投影的中央緯線的緯度φ0起算的，所以，x｀由高斯克呂格坐標(biāo)減去由赤道至緯度φ0的經(jīng)線長度X0得到。

以上各參數(shù)含義及計算式同大地測量學(xué)中規(guī)定。

2　正解析坐標(biāo)變換精度分析

當(dāng)兩種地圖投影采用同一中央子午線時，采用正解析法與反解析法對同一坐標(biāo)點(diǎn)的轉(zhuǎn)換結(jié)果理論上是相同的，由于反解析法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果無誤差，而正解析法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果隨階數(shù)展開存在一定偏差，故兩種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果之差即可理解為正解析法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。我國國家高斯坐標(biāo)系通常采用6°帶，蘭勃特坐標(biāo)系采用4°帶，同時考慮到切蘭勃特投影采用平均緯度作為y軸，因此選取2°×6°方格網(wǎng)為單位，以在75橢球下的轉(zhuǎn)換為例，研究正解析法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

圖1　△x變化示意圖

圖2　△y變化示意圖

緯差/(°)△x/10-3m-3.0°-2.0°-1.0°0°1.0°2.0°3.0°0-0.289-0.025-0.00040-0.0004-0.025-0.2890.25-0.1380.0680.0830.0820.0830.068-0.1380.50.0840.1740.1670.1660.1670.1740.0840.750.3570.2850.2500.2490.2500.2850.3571.00.6470.3890.3290.3330.3290.3890.6471.250.9180.4720.4020.4200.4020.4720.9181.51.1230.5160.4690.5130.4690.5161.1231.751.2130.5060.5300.6180.5300.5061.2132.01.1360.4240.5880.7460.5880.4241.136

表2　不同經(jīng)差和緯差處的△y

由表1、表2中可得：正解析法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度絕對值隨著點(diǎn)位偏離蘭勃特坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)呈增大趨勢，在最大處(x,y)的誤差約為0.001 m，可以滿足測量和地圖制圖所要求的精度。

3　結(jié)論

本文通過對高斯投影與蘭勃特投影正解析坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行重新推導(dǎo)，得出以下主要結(jié)論：

(1)通過等角投影與復(fù)變函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系關(guān)系，推導(dǎo)得出蘭勃特投影與高斯投影的直接換算公式。該公式所含參數(shù)少，易于編程計算，成功解決反解析法過程復(fù)雜計算量大的問題。

(2)新的解析轉(zhuǎn)換公式在4°(緯差)6°(經(jīng)差)的轉(zhuǎn)換區(qū)域精度達(dá)到1 mm，較之前的轉(zhuǎn)換公式精度提高兩個數(shù)量級，能夠滿足高精度工程建設(shè)的需要。

[1]孫達(dá),蒲英霞. 地圖投影[M]. 南京,南京大學(xué)出版社，2007.

[2]楊啟和. 地圖投影變換理論和應(yīng)用的研究[J]. 解放軍測繪學(xué)院學(xué)報, 1986(1):108-116.

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[4]王美玲,WGS84橢球下的UTM坐標(biāo)與Clarke80橢球下的蘭勃特坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法研究[J].中國慣性技術(shù)學(xué)報,2006(5):36-38.

[5]丁佳波. 關(guān)于等角投影解析變換的補(bǔ)充[J]. 測繪學(xué)報, 1982(1):46-50.

[6]顧雪峰, 李厚樸, 張蕾. 高斯和蘭勃特投影間變換的復(fù)變函數(shù)表示[J]. 艦船電子工程, 2013(7):34-36.

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[8]李厚樸, 邊少鋒, 李海波. 常用等角投影及其解析變換的復(fù)變函數(shù)表示[J]. 測繪科學(xué)技術(shù)學(xué)報, 2012(2):109-112.

[9]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社，2001.

Research of positive analytical transformation between Gauss projection and Lambert projection

ZHANG Jian-xiong，LI Ya-lei

(SchoolofSurveyingandLandInformationEngineeringHenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo454003,China)

Gauss projection and Lambert projection are two equal-angle projections frequently used in China.The coordinate conversion between them is a basic problem in application.To the questions of the complexity of negative analytical transformation method and low precision of positive analytical transformation,we derivate the formula using software Mathematica and find that when the area is limited in four latitude difference and six longitude difference the conversion accuracy can up to 1 mm,which can meet the requirements of surveying and mapping precision.

Gauss projection;Lambert projection;analytical transformation;conversion accuracy

2015-12-21

張健雄(1966—)，男，湖南冷水江人，博士，教授。

李亞磊(1991—)，男，河南杞縣人，碩士研究生。

1674-7046(2016)02-0074-06

10.14140/j.cnki.hncjxb.2016.02.014

P282.2

A