數(shù)學(xué)思想在“集合”中的運(yùn)用

曹振財

（陜西省商南縣高級中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想在“集合”中的運(yùn)用

曹振財

（陜西省商南縣高級中學(xué)）

一、數(shù)形結(jié)合思想

用數(shù)形結(jié)合思想解題具有直觀性、靈活性和深刻性的特點(diǎn)，有較強(qiáng)的綜合性.在“集合”中加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，是鞏固數(shù)學(xué)知識、打好基礎(chǔ)、提高能力的重要一環(huán).

例1.已知集合且U=｛x∈N+|x≤10｝，AU，BU，且A∩B=｛4，5｝，（CUB）∩A=｛1，2，3｝，（CUA）∩（CUB）=｛6，7，8｝，求集合.

分析：本題已知條件較多，用推理的方法求解不如用Venn圖將已知條件嘗試在圖中標(biāo)出，用填圖的方法來解決，直觀形象，易于理解.

由上圖可得：A=｛1，2，3，4，5｝，B｛4，5，9，10｝.

點(diǎn)評：Venn圖是集合的一種表示方法，在解決一些抽象集合或集合元素是離散的有限集合問題時，用Venn圖形象直觀、易于理解，要注意把握并善于運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想.

二、分類討論思想

分類討論思想解決問題的關(guān)鍵是分類標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，其實質(zhì)是將整體問題轉(zhuǎn)化為部分來解決，從而增加題設(shè)條件，實現(xiàn)化整為零，化繁為簡的目的.

例2.已知集合A=｛x|ax2+2x+1=0，a∈R｝

①若A中只有一個元素，求a的值.

②若A中至多只有一個元素，求a的取值范圍.

分析：關(guān)鍵是要明確分類標(biāo)準(zhǔn).

解：①應(yīng)根據(jù)a是否為0分兩種情況進(jìn)行討論：

ii）當(dāng)時a≠0時，Δ=4-4a=0，即a=1

∴a=0或a=1

②A中至多只有一個元素，也包括兩種情形：

i）A中只有一個元素，由①知：a=0或a=1；

∴a的取值范圍是a≥1，或a=0

點(diǎn)評：利用分類討論思想解答分類討論問題已成為高考中考查學(xué)生知識和能力的熱點(diǎn)問題，在“集合”里經(jīng)常用到分類討論思想.

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將較難問題轉(zhuǎn)化為較易問題，將未解決問題轉(zhuǎn)化為已解決問題.常用的轉(zhuǎn)化方法有：一般與特殊的轉(zhuǎn)化，繁與簡的轉(zhuǎn)化，命題的等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化等.

例3.設(shè)集合求的值組成的集合A=｛x|x2-3x+2=0｝，B=｛x| 2x2-ax+2=0，x∈Z｝，若A∪B=A，求a的值組成的集合.

分析：由A∪B=A得B?A，分情況討論求解.

解：A=｛1，2｝，由A∪B=A得B?A，

①當(dāng)B=?時，滿足B?A，此時方程2x2-ax+2=0無解，即

Δ=a2-16＜0解得-4＜a＜4

②當(dāng)B=?時，A=｛1，2｝.

將x=1代入方程2x2-ax+2=0得a=4，此時B=｛1｝，符合題意；

將x=2代入方程2x2-ax+2=0得a=5，此時B=｛2，｝，不符合題意，應(yīng)舍去.

故a的值組成的集合為｛a|-4＜a≤4｝.

點(diǎn)評：在解決一些集合問題時，當(dāng)一種集合的表達(dá)形式不好入手時，常將其轉(zhuǎn)化為另一種形式，使問題明朗化，如A?B?A∩B =A?A∪B=B.

四、交集思想、并集思想、補(bǔ)集思想

1.交集思想：當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題是求同時滿足若干個條件P1，P2，P3，…An的解時，如果把滿足各條件的對象表示成集合，則其交集M=A1∩A2∩A3∩…∩An中的元素就同時滿足問題的每個條件，就是這一數(shù)學(xué)問題的解集.

2.并集思想：當(dāng)一個數(shù)學(xué)問題需要分到若干種情況討論時，若將問題分為n類，每類問題的解集為A1∩A2∩A3…An，則P=A1∪A2∪A3∪…∪An就是這個問題的解集.

3.補(bǔ)集思想：已知全集∪，求子集A時，若直接求困難，可先求CU，再由CU（CUA）=A求A.這種“正難則反”的解題方法，運(yùn)用的就是補(bǔ)集的思想方法.

例4.已知全集∪，集合H=｛x|x2-4px+2p+6=0｝，Q=｛x∈R|x＜0｝全集U中p的取值可使集合H中的方程有兩解.若H∩Q≠?，求實數(shù)p的取值范圍.

分析：若直接從H∩Q≠?入手，則集合H中的方程x2-4px+ 2p+6=0至少有一個負(fù)根，此時不易求解，故可從H∩Q≠?入手.

解：設(shè)全集∪=｛p|Δ=（-4p）2-4（2p+6）≥0｝=｛p|p≤-1，或p≥｝當(dāng)H∩Q=?時，方程x2-4px+2p+6=0的兩根x1，x2均非負(fù)，由韋達(dá)定理得：

故所求實數(shù)p的取值范圍是｛p|p≤-1｝.

點(diǎn)評：本題正是運(yùn)用了“補(bǔ)集思想”，這種“正難則反”的解題原則，有時很有用.

·編輯溫雪蓮