開幾何直觀之源　活思維創(chuàng)新之水——從一道分數(shù)復習思考題的解答說起

浙江嵊州市剡山小學（312400） 馬熙君

開幾何直觀之源活思維創(chuàng)新之水——從一道分數(shù)復習思考題的解答說起

浙江嵊州市剡山小學（312400） 馬熙君

幾何直觀是一種利用圖形分析與解決問題的形象化策略。課堂教學中，教師運用幾何直觀指導學生解決數(shù)學問題時，必須注重強化概念與算理，引導學生學會轉換探究的視角，揭示數(shù)學問題的本質，最終形成數(shù)學思想。

幾何直觀創(chuàng)新思維形象思維概念算理數(shù)學思想

《數(shù)學課程標準》（2011版）指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！睅缀沃庇^在數(shù)學學習中有著極其重要的作用，有助于催生解決問題的有效策略。

借助幾何直觀，實現(xiàn)了這道題的快速解決，使學生產(chǎn)生恍然大悟之感。細究之，在運用幾何直觀教學時，我們教師需要注意以下幾點。

一、“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”——運用幾何直觀，經(jīng)歷算理形成的過程

對于以形象思維為主的小學生來說，沒有比圖形更直觀、更能印入他們頭腦的東西了。然而，不少教師信奉“無論白貓黑貓，能捉到老鼠就是好貓”的觀念，對算理的指導只是草草帶過，導致不少學生雖能夠“依葫蘆畫瓢”，通過通分得到正確答案，卻不知道結果是怎么來的，這樣碰到復雜問題時就會思維卡殼。如上述題目就需要用到對的理解解決問題，如果學生自己探究、用圖分析過，他們就會理解這是怎么來的，從而對異分母分數(shù)加減法的通分的理解不存在障礙，這樣解決這道題就會輕松許多。

二“、不識廬山真面目，只緣身在此山中”——活用幾何直觀，需要轉換探究視角

“創(chuàng)新思維是數(shù)學最美的花朵”，當一個人局限于目前封閉的問題情境中去研究問題時，他的思維是單一的、有局限性的，而當他跳出問題的框架后，才可能以與眾不同的方式解決問題。

如對上述分數(shù)加法這一題，其實需要學生跳出問題的框架去研究，特別是學生需要有整體“1”的觀念。由于上題每次相加都是一個小于1的結果，所以學生往往不會去思考整體“1”中的不足部分，但這個不足“1”的部分正好是問題解決的突破口，使解決問題的思路變得清晰起來。一般而言，在通過幾何直觀分析、解決分數(shù)問題時，學生都會去研究整體“1”的，因為隨著加的步數(shù)的增加，答案已經(jīng)逐漸接近“1”了。因此，學生在借用幾何直觀分析問題時，要學會從問題的另一個角度看問題，才能看到問題的“廬山真面目”。

三、“春色滿園關不住，一枝紅杏出墻來”——善用幾何直觀，揭示問題本質

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，數(shù)學家華羅庚高度總結了數(shù)形結合在數(shù)學學習中的重要性。數(shù)形結合，包括將數(shù)的問題轉化成形來直觀理解和將形的問題用數(shù)來表述達到規(guī)范與具體化兩個方面。其實，分數(shù)問題的解決往往離不開分數(shù)的基本性質，教師在教學一道題的解題思路時，如果只是從這道題出發(fā)就題論題，學生往往會出現(xiàn)思維卡殼的情況。

如異分母分數(shù)加減法的算理是同分母分數(shù)加減法與分數(shù)的基本性質。那么，通分的原理是什么？說白了就是分數(shù)的基本性質——分數(shù)的分子和分母同時擴大或者縮小相同的倍數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。而分數(shù)的基本性質又是怎么來的呢？這還得通過幾何直觀來分析說明。又如，上述分數(shù)加法運算題，顯然命題者已經(jīng)把訓練的重點從通分這一方法的層面轉移到分數(shù)的基本性質與畫圖技能上來，所以教師教學時就有挖掘問題背后知識本質的必要，需要抓住主要矛盾與核心要素，才能使學生學得輕松且能舉一反三。再如，在比較和這兩個分數(shù)大小的過程中，如果教師強調與指導過分數(shù)的基本性質，絕大多學生會舍棄通分這一方法，而是把化為后再與進行比較，這樣解決問題顯然更靈活、更簡便。

四、“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”——借用幾何直觀，展示幾何思維

教師要引導學生通過圖形的直觀來挖掘形與數(shù)之間的本質聯(lián)系。苑建廣發(fā)表觀點認為：“幾何直觀能力的形成，需要經(jīng)歷以下幾個層次：（1）建立和形成敏捷、準確的幾何直覺———感覺與圖形相隨；（2）實施和進行深入靈活的幾何探索——視覺與思維共行；（3）成為分析、解決問題的有效工具———抽象與形象互輔。”課堂中，使學生形成與視覺形象共行的抽象邏輯思維，是數(shù)學教學的較高境界，而通過語言交流能讓思考的方向明晰化，發(fā)展學生的幾何思維。

如上述這道分數(shù)加法題，可有以下探討的問題：一般的通分方法在計算這道題中有什么困難？這道題中各加數(shù)的分母有什么特點？前兩個數(shù)相加，怎么用圖形來表示？你發(fā)現(xiàn)了前兩個數(shù)、前三個數(shù)、前四個數(shù)相加的結果有什么特點？為什么？你認為這道題的結果會是多少？理由是什么……讓學生通過口述把問題的產(chǎn)生與探究過程分析清楚，使思維與思維發(fā)生碰撞，這樣學生的數(shù)學抽象思維就會如“千樹萬樹的梨花”一樣萌生。

五、“等閑識得東風面，萬紫千紅總是春”——利用幾何直觀，領悟數(shù)學思想

數(shù)學思想是數(shù)學解題方法的統(tǒng)領性策略，是對數(shù)學事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質認識。這里有必要澄清幾何直觀與數(shù)形結合兩個概念間的區(qū)別：數(shù)形結合包括借形析數(shù)與借數(shù)析形兩個方面，而幾何直觀重在借形析數(shù)，指向的是幾何解決問題的方法，并不一定需要代數(shù)的參與；從所屬范疇來看，數(shù)形結合是一種數(shù)學思想，而幾何直觀則屬于解題方法的范疇。

從上述這道分數(shù)加法題的解答來看，其中可以滲透的數(shù)學思想有極限、數(shù)形結合、轉化、整體思想等，但數(shù)學思想的領悟必須通過實際演練才能形成。那么，什么是轉化思想？由于不足整體“1”的部分更有助于問題的研究，于是我們把問題的落腳點由原來的實際數(shù)字部分轉換到這個空缺部分來進行研究，即轉化思想的運用。什么是整體思想？在問題的解決中，聯(lián)系整體“1”來解決問題就體現(xiàn)了整體的思想。至于極限思想，小學生也可以初步感知：答案越來越接近1，而始終沒有達到1的結果。所以，這一題的指導與解答過程運用的是幾何直觀的方法，其中隱含大量的數(shù)學思想。幾何直觀中滲透數(shù)學思想，使學生的數(shù)學思考逐漸由陌生到熟練，由熟能生巧最終達到“萬紫千紅”的境界。

綜上所述，借助幾何直觀，學生的想象更豐富了，創(chuàng)意更新穎了，思路更流暢了，這就是幾何直觀的魅力！

（責編藍天）

G623.5

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1007-9068（2016）32-028