“不等式問題串式教學(xué)”的應(yīng)用

羅曉雪

（福建省清流縣第一中學(xué)）

“不等式問題串式教學(xué)”的應(yīng)用

羅曉雪

（福建省清流縣第一中學(xué)）

問題串式教學(xué)就是將某個(gè)較復(fù)雜的問題分解成若干個(gè)難度循序漸進(jìn)的問題，每一個(gè)都是獨(dú)立的問題。教師從不同層次要求學(xué)生掌握，讓學(xué)生在對(duì)比、辨析、遷移中學(xué)會(huì)處理問題的方法。在教學(xué)中嘗試這種方法，收到了較好的效果。

不等式；問題串；分層次；恒成立

提出問題：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若x0∈［2，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

在處理此類比較復(fù)雜的恒成立問題之前，可以先讓學(xué)生處理一些較簡單的問題，進(jìn)而尋找出一般的處理方法，達(dá)到循序漸進(jìn)的目的。

一、不等式左右兩邊都含有式子

問題1：已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln x-x+1，若x2+ax+1≥xf′（x）恒成立，求a的取值范圍.

解析：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋鹸|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1.

∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

∴g（x）在（0，1）為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù).

∴g（x）max=g（1）=-1，

∴a≥-1.

二、引入不等式在某個(gè)區(qū)間內(nèi)對(duì)任意的x恒成立的問題

問題2：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若?x∈［2，3］都有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍.

解析：∵函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1，∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

要使?x∈［2，3］都有（fx）≥g（x）恒成立，只需a≥h（x）max.

∴h（x）max=h（2）=-2+ln2

∴a≥-2+ln2.

三、引入不等式在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在x0成立的問題

問題3：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+1，g（x）=x ln x+1，若?x0∈［2，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

解析：∵函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為｛x|x＞0｝

∴x2+ax+1≥x ln x+1，∴ax≥-x2+x ln x（x∈R+），即a≥-x+ln x.

要使?x0∈［2，3］使得（fx）≥g（x）成立，只需a≥h（x）min

∴h（x）min=h（3）=-3+ln3，

∴a≥-3+ln3.

四、拓展遷移：對(duì)自變量的數(shù)量進(jìn)行調(diào)整，類比問題2，則可以繼續(xù)提出問題

問題4：已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x1，x2∈［1，3］都有f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍.

解析：依據(jù)題目得出只需f（x）min≥g（x）max即可，而g（x）max= g（3）=ln3.

問題5：已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x1，x2∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍.

解析：只需f（x）max≥g（x）min，而g（x）min=g（1）=0，（x2-ax）max≥0

∴3-a≥0即a≤3.

問題6：已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x1∈［1，3］總存在x2∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

解析：依題知只需f（x）min≥g（x）min，而g（x）min=g（1）=0.

∴（x2-ax）min≥0，∴（x-a）min≥0，∴1-a≥0即a≤1.

問題7：已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=ln x，若?x2∈［1，3］總存在x1∈［1，3］使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范圍。

解析：依題知只需f（x）max≥g（x）max，而g（x）max=g（3）=ln3.

∴（x2-ax）max≥ln3，f（1）=1-a，f（3）=9-3a.

當(dāng)1-a-9+3a＞0時(shí)，即a＞4時(shí)，a＜1-ln3，不合題意，舍去；

［1］翟麗.函數(shù)任意性與存在性問題探析［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015.

［2］韓義成.“任意性”和“存在性”問題求參數(shù)范圍解析［J］.數(shù)理化解題研究，2016.

［3］傅建紅.聚焦函數(shù)中的任意性與存在性問題［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012.

［4］孟博.一個(gè)不等式“串”的應(yīng)用［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2006（9）.

［5］王秋生.函數(shù)中的任意性和存在性問題案例分析［J］.數(shù)理化解題研究：高中版，2011.

［6］王躍.一題多變賞析函數(shù)中的任意性與存在性問題［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)：教學(xué)研究，2016.

［7］何長林，劉勤.一個(gè)優(yōu)美不等式串及與之有關(guān)的系列不等式串［J］.數(shù)學(xué)通訊，2013（24）.

·編輯張慧