可實現(xiàn)誤差估計的移相量計算方法

劉　乾，袁道成，何建國

(1.中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621999;2.西安交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

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可實現(xiàn)誤差估計的移相量計算方法

劉乾1*，袁道成1，2，何建國1

(1.中國工程物理研究院 機械制造工藝研究所，四川 綿陽 621999;2.西安交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

針對移相干涉儀中移相器的標定，提出了一種基于干涉圖計算移相量的迭代方法。該方法分為兩步：首先假設(shè)移相量已知，構(gòu)建三元最小二乘方程計算位相；然后假設(shè)位相已知，構(gòu)建二元最小二乘方程計算移相量，同時依據(jù)三角函數(shù)關(guān)系和遍歷原則，建立估算移相量計算誤差的參數(shù)。利用計算機仿真和實驗驗證了提出方法的有效性。計算機仿真顯示：提出的方法比已有算法計算精度更高，而且誤差估計值與實際計算誤差偏離小于15%。在Fizeau干涉儀上開展了驗證實驗，利用兩個電容位移傳感器測量了鏡架的位移。計算結(jié)果與電容傳感器測量結(jié)果非常吻合，最大偏差僅為0.7 nm。另外，利用本文方法得到的誤差估計值為0.52 nm，顯示測量結(jié)果和計算結(jié)果的偏差在誤差估計值范圍內(nèi)。所提出的方法可以高精度地提取移相量，且能給出移相量計算誤差，是一種簡單可靠的移相器標定方法。

移相干涉儀；移相器；標定；誤差估計；迭代算法

1　引　言

移相干涉儀因其分辨率高和重復(fù)性好而成為波面測量的一種重要儀器[1]。移相過程可以使干涉儀采集多幀干涉圖計算每一像素點的位相，從而獲得高的空間分辨率。測量中移相量應(yīng)等于預(yù)設(shè)值，否則將導(dǎo)致波面測量誤差，如經(jīng)典的四步移相中，10 nm的移相誤差將導(dǎo)致20 nm波長的波面誤差[2]。然而，無論壓電陶瓷[3]還是波長調(diào)諧[4]方式的移相，均存在一定的非線性。因此，需要對移相干涉儀的移相器進行高精度校正[5]。另外，移相器的老化也將破壞移相精度，需要再次重新標定。研究者們采用了多種光學(xué)方法對壓電陶瓷的位移和電壓之間的關(guān)系進行標定[6-7]。

由于移相干涉儀帶有可作為長度計量基準的激光器，因此研究者提出了一些從干涉圖提取移相信息的方法，無需另用其他儀器。這些方法大致可以分為三類。第一類方法基于干涉圖的灰度統(tǒng)計信息[8-9]，這類方法假設(shè)了一定的條件，如干涉圖背景和調(diào)制度在空間上無變化或波面位相在[0,2π]是均勻分布的。第二類方法基于多參數(shù)的優(yōu)化[10-11]，以多個移相量作為自變量建立目標函數(shù)，通過優(yōu)化求解移相量。第三類方法基于迭代優(yōu)化[12-13]，在該類方法中將空間相關(guān)參數(shù)和移相相關(guān)參數(shù)分別作為已知量去求解對方，經(jīng)多次迭代求解移相量。趙智亮等曾以迭代算法為基礎(chǔ)通過干涉圖計算移相量，在干涉儀未增加硬件的情況下構(gòu)建了移相誤差的自校正系統(tǒng)[14]。這些方法都能很好地從干涉圖中提取移相量，但對于實際使用中噪聲或其他非理想因素造成的計算誤差，上述算法均不能給出誤差情況。因此，利用這些算法標定移相器時難以估計計算結(jié)果的可靠程度，這在一定程度上降低了標定的可信性。本文對先進迭代算法[12]進行改進，提出了一種帶有精度指示的算法，利用干涉圖迭代計算中的冗余信息，來估算移相量的計算誤差，可以同時給出移相量的計算結(jié)果和最大誤差。在給出了算法原理的基礎(chǔ)上，通過計算機仿真和實驗對算法性能進行了驗證。

2　算法原理

移相干涉測量采集到的干涉圖光強可以表示為：

(1)

其中,下腳標i(i=1,2,…,M)和j(j=1,2,…,N)分別表示幀序號和像素序號，Aj、Bj、φj分別為第j個像素的背景、調(diào)制幅度和波面位相，δi為第i幀干涉圖相對于第一幀干涉圖的移相量。上標t表示理論光強值。在式(1)中僅光強為已知量，等號右邊的4個參數(shù)均是未知量，因此迭代算法是求解該問題的一個有效途徑。展開式(1)中的余弦項，式(1)可轉(zhuǎn)換為與幀參數(shù)和像素參數(shù)的線性關(guān)系式:

Aj+bjbi′+cjci′,

(2)

(3)

其中

αj=[Aj,bj,cj]T,

式(3)中的求和號是對所有干涉圖序號求和。可以計算波面位相為:

φj=arctan(-cjlbj).

(4)

(5)

其中

(6)

在第二步中充分利用第一步的計算結(jié)果，將背景和調(diào)制幅度視為空間參數(shù)，而與干涉圖幀序號無關(guān)。這樣，將先進迭代算法中的三階最小二乘方程降為二階，減少了運算量。

Δi=picosδi-qisinδi.

(7)

式(7)可寫為

(8)

其中

(9)

(10)

比較式(8)和式(10)可以看出，移相量的計算誤差Δi與參量vi分別是以pi2+qi2平方根為幅值、δi+εi的余弦和正弦值。若不存在計算誤差，即pi=qi=0時，vi=0。由于干涉圖噪聲分布對每個像素是遍歷的，因此，每幀干涉圖得到的pi2+qi2近似相等。而每個像素的噪聲是隨機分布的，即對于每幀干涉圖，εi隨機分布在[0,2π]區(qū)間內(nèi)。因此，對于i=1,2,…,M，Δi的最大值E與vi的最大值近似相等。這表明，在迭代過程中可利用vi的最大值V來作為移相量計算誤差的指示參數(shù)。

本文算法與先進迭代算法[12]的最大區(qū)別在于將干涉圖背景和調(diào)制幅度視為空間變量的函數(shù)，而與幀序號無關(guān)。此改進更符合移相干涉測量的實際情況，并可以減小一定的計算量，更重要的是可以通過式(5)方程解的內(nèi)在聯(lián)系建立一個估算誤差的參數(shù)V。該參數(shù)的建立使得計算出移相量的同時還可以得到計算結(jié)果的誤差范圍、了解計算結(jié)果的可靠程度。

3　計算機仿真

圖1　移相量計算誤差E和誤差指示參數(shù)V的變化曲線Fig.1　Phase shifts estimation errors E and accuracy indicator V as a function of iteration cycles

圖2　25次迭代后干涉圖的移相量計算誤差和誤差估算值viFig.2　Error of phase shift estimation and vi of each interferogram after 25 iteration cycles

圖3　εi的統(tǒng)計分布示意圖Fig.3　Schematic of statistic distribution of εi

另外，仿真研究了干涉圖噪聲對誤差估算的影響。除疊加的噪聲外，其他條件與上文相同，仿真了移相量計算誤差E和誤差指示參數(shù)V在不同方差噪聲下的關(guān)系，如圖4所示(彩圖見期刊電子版)。可以看出，E隨噪聲的增大而增加，V相對于E的誤差小于15%，表明在不同狀況下誤差指示參數(shù)V具有較高的可信度。

圖4　移相量計算誤差E和誤差指示參數(shù)V與噪聲的關(guān)系Fig.4　Phase shifts estimation errors E and accuracy indicator V as a function of noise variance

收斂性也是迭代算法需要考慮的重要問題。為考察算法的收斂性，另外生成12幀π/2移相的干涉圖，移相量初始迭代值選為π/5，此時，結(jié)果迭代未收斂到正確值。這是因為空間參數(shù)A、B和φ基本上被初始值限制，因此收斂到初始值附近的局部最小值。而先進迭代算法中將背景和調(diào)制度強制設(shè)置為各個像素點相同，以此避免收斂到局部最小值?？紤]到本文算法和先進迭代算法各自的優(yōu)勢和不足，因此在計算時先使用先進迭代算法尋找全局最小值，然后使用本文算法進行迭代，可以得到更精確的結(jié)果，并得到誤差指示參數(shù)V。對上述的12幀干涉圖采用這種聯(lián)合方法，以π/5為初始值，首先用先進迭代算法計算15次，然后采用本文算法迭代15次，得到最大計算誤差E和誤差指示參數(shù)V隨迭代次數(shù)的變化曲線，如圖5所示?？梢姡冗M迭代算法可快速收斂到全局最小值，但第11次迭代后最大誤差不再減小，這是先進迭代算法將所有像素的背景和調(diào)制量強制設(shè)置為相同值所致。以先進迭代算法的計算結(jié)果作為初始值，本文算法可以進一步減小計算誤差，收斂到更精確的結(jié)果。

圖5　先進迭代算法和本文算法聯(lián)合迭代的誤差曲線Fig.5　Phase shift estimation error as a function of iteration cycles with combination method

4　實　驗

在干涉儀平臺上進一步驗證算法性能。實驗裝置示意圖如圖6所示。干涉儀為Fizeau型平面干涉儀，激光器波長為632.8 nm，頻率穩(wěn)定性優(yōu)于1 MHz/min，功率為閉環(huán)控制。CCD分辨率為512×512，灰度級為8 bit。通過壓電陶瓷驅(qū)動器(PZT)推動被測鏡產(chǎn)生移相。PZT通過內(nèi)置的應(yīng)變片形成閉環(huán)反饋，標稱定位精度可達1 nm。以平晶表面作為測試對象，其面形的PV值約0.15λ。采用兩個重復(fù)性精度為0.15 nm的電容位移傳感器(CDS，Micro-Epsilon 6500-CS005)測量金屬鏡架的移動。為減小電容傳感器的非線性，事先對電容傳感器進行校準。實驗裝置整體放在氣浮隔振平臺上，采用遮擋方式抑制干涉腔的氣流流動。全部測試在1分鐘內(nèi)完成，溫度變化可忽略。預(yù)設(shè)移相量為π/4，即PZT預(yù)設(shè)每步移動39.6 nm，實驗共采集12幀干涉圖。為進一步消除激光器功率波動引起的干涉圖參數(shù)變化，利用干涉圖中非干涉區(qū)域像素灰度值為參考對干涉圖進行校正[15]。

圖6　實驗裝置示意圖Fig.6　Sketch of experiment setup

圖7　移相量的計算結(jié)果和測量結(jié)果對比圖Fig.7　Calculation and measurement results of phase shifts

迭代時將移相初始值設(shè)為π/3。使用2.9 GHz CPU的計算機，80 s完成15次迭代，得到移相量的計算結(jié)果。將計算的移相量減去預(yù)設(shè)值π/4，得到移相量的偏差值，如圖7所示。圖7中同時給出了兩個電容位移傳感器的測量結(jié)果。可以看出計算結(jié)果與測量結(jié)果十分接近，最大相差僅約為0.7 nm(第11幀)。迭代計算得到的V為1.03×10-2rad，對應(yīng)632.8 nm的波長約為0.52 nm。圖8給出了各幀干涉圖的誤差參數(shù)vi，其中v1的絕對值最大，即取V=0.52 nm。以±0.52 nm作為誤差限，在圖7上標出計算結(jié)果的誤差區(qū)間，可見使用電容位移傳感器測量的位移基本被納入到誤差區(qū)間內(nèi)，僅在第11幀偏差稍大。實驗結(jié)果表明，計算的移相量與傳感器測量結(jié)果相符，且算法給出的誤差區(qū)間能夠較正確地給出計算結(jié)果的大致誤差。雖然實驗在對機械式移相干涉儀上進行，但本文算法也可應(yīng)用于波長調(diào)諧移相。

圖8　15次迭代后每幀干涉圖的誤差估算值viFig.8　Phase shifts estimation error vi after 15 iteration cycles

5　結(jié)　論

為了簡便、可靠地標定移相干涉儀的移相器，本文提出從干涉圖計算移相量的迭代算法。該算法對干涉圖進行了合理的假設(shè)，計算精度得以提高。該算法還可以提供移相量計算誤差的估算值，可以為計算結(jié)果的可靠性提供一定的參考依據(jù)。通過計算機仿真和實驗證實了方法的有效性。實驗中，傳感器測試結(jié)果與計算結(jié)果有著很好的一致性，二者的偏差基本在誤差參數(shù)范圍以內(nèi)。本文算法可以在不借助其他儀器的情況下實現(xiàn)對移相器的快速、可靠的標定。

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劉乾(1983-)，男，山東單縣人，博士，工程師，2006年于北京理工大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，2009年、2015年于中國工程物理研究院研究生部分別獲得碩士、博士學(xué)位，主要從事精密測量、光學(xué)設(shè)計方面的研究。E-mail: liuqianblue@126.com

袁道成(1966-)，男，河南信陽人，碩士，研究員，碩士生導(dǎo)師，1994年于四川大學(xué)獲得碩士學(xué)位，主要從事精密測量的研究。E-mail: ydccaep@263.net

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Phase shift extraction algorithm with error estimation in phase-shifting interferometry

LIU Qian*, YUAN Dao-cheng, HE Jian-guo

(1.Institute of Machinery Manufacturing Technology,ChinaAcademyofEngineeringPhysics,Mianyang621999,China;2.SchoolofMechanicalEngineering,Xi’anJiaotongUniversity,Xi’an710049,China)*Correspondingauthor,E-mail:liuqianblue@126.com

For calibration of the phase shifter in a phase-shifting interferometer, an iterative algorithm was proposed to extract phase shift from a set of interference patterns. In each iteration cycle, the wavefront phase and phase shifts were calculated in two individual steps.Firsly, the phase shifts were assumed knowns and the calibration wavefront phase was retrieved from tri-variate equations. Then, the wavefront phase was assumed knowns and the phase shifts were extracted from bi-variate equations. Meanwhile, an error estimator to indicate the maximum calculation error of phase shifts was established based on the basic trigonometry and ergodic principles. The proposed algorithm was verified with computer simulations and experiments. The simulation results indicate that the proposed algorithm achieves higher accuracy, lightens the calculation burden, and the deviation between the error estimator and actual error is less than 15%. Validation experiments were carried out on a Fizeau interferometer. Two capacitive displacement sensors were employed in experiment to measure the actual phase increment. The results show that the extracted phase shifts are identical that from the proposed algorithm well and the maximum deviation is 0.7 nm. Moreover, the error estimator is 0.52 nm, which covers the deviation between calculation and measurement. It concludes that the proposed algorithm achieves higher accuracy and is more advantageous on that the calculation error can be given simultaneously, showing a convenient and reliable way to calibrate the phase shift for phase-shifting interferometers.

phase-shifting interferometer; phase shifter; calibration;error estimation; iterative algorithm

2016-05-06；

2016-06-22.

中國工程物理研究院超精密加工技術(shù)重點實驗室基金資助項目(No.ZZ15008)；能力提升課題資助項(No.2015B0405)

1004-924X(2016)10-2565-07

TH744.3

Adoi:10.3788/OPE.20162410.2565