高等數(shù)學教學結構的設計與優(yōu)化

石循忠

?

高等數(shù)學教學結構的設計與優(yōu)化

石循忠

（湖南科技學院 教務處，湖南 永州 425199）

優(yōu)良的教學結構是提高高等數(shù)學教學質量的關鍵。文章以“曲率”為案例，探討了高等數(shù)學教學結構的宏觀設計與微觀設計的內容和方法；并在案例分析的基礎上，揭示了不斷優(yōu)化高等數(shù)學教學結構的途徑與過程。

高等數(shù)學；教學結構；案例分析；曲率

高等數(shù)學是高校理工科專業(yè)、經(jīng)濟與管理類專業(yè)（乃至文科專業(yè)）的基礎課程，在傳播近現(xiàn)代數(shù)學知識、培養(yǎng)學生思維能力以及提升綜合素質等方面發(fā)揮著重要功能，而且在培育理性精神、建設校園文化方面起到特殊作用。要提高高等數(shù)學的教學質量，課堂教學這一環(huán)節(jié)至關重要。在學生學習基礎有保證的前提下，如何激發(fā)學生的學習興趣，又成為高等數(shù)學課堂教學的核心問題。從事高等數(shù)學的教師們通過展示數(shù)學的應用價值、挖掘數(shù)學的審美文化、滲透數(shù)學的思想方法等途徑培養(yǎng)學生的學習興趣，取得了良好的教學效果，也出臺了有價值的教研成果。但筆者認為，要使學生對高等數(shù)學保持穩(wěn)定的學習興趣，優(yōu)良的教學結構至關重要。讓學生體驗數(shù)學知識自身的魅力，是激發(fā)學生學習興趣的關鍵。如何科學設計教學結構，并通過分析與反思不斷優(yōu)化教學結構，就顯得尤為重要。本文結合教學研究案例，談談高等數(shù)學教學結構的設計與優(yōu)化問題。

1　教學結構的設計

何克抗教授指出：教學結構，是指在一定教育思想、教學理論、學習理論指導下，在某種環(huán)境中展開的教學活動進程的穩(wěn)定結構形式[1]。教學結構的設計可從宏觀和微觀兩個層面來進行，宏觀設計是對教學活動的整體與框架的設計，微觀設計是對教學活動的局部與細節(jié)的設計。宏觀設計是微觀設計的基礎，而微觀設計又是宏觀設計的補充，二者相輔相成，不可或缺。

1.1宏觀設計

高等數(shù)學教學結構宏觀設計的具體任務是，在鉆研教學大綱、利用教學資源、反復分析教材、全面了解學生的基礎上編制教學路線圖。教學路線圖，就是對教學要素和教學過程的合理的步驟預設，體現(xiàn)師生主體的活動，控制課堂節(jié)奏和活動效果[2]。數(shù)學教材是數(shù)學知識的載體，數(shù)學知識的發(fā)生過程、來龍去脈，在數(shù)學教材中往往按照邏輯順序予以呈現(xiàn)，采用“概念—定理—證明—例題—習題”的方式展開。在編制教學線路圖時，經(jīng)常要照顧數(shù)學知識的邏輯順序。例如，高等數(shù)學中“曲率”[3]的教學路線圖可設計如圖1。

1.2微觀設計

在宏觀設計下的教學路線指引下，對課堂教學的具體環(huán)節(jié)進行細化，是高等數(shù)學教學結構微觀設計的任務。只有通過微觀設計，才能使教學路線具有較強的操作性。微觀設計主要是對課題引入、環(huán)節(jié)過渡、師生互動、媒體運用的預設與描述。

（1）課題引入。“好的開頭等于成功的一半”。課題引入對培養(yǎng)學習興趣、激發(fā)學習動機、保證課堂教學的順利進行至關重要。教師們在課題引入方面積累了多種方式，如復舊引新、問題導引、數(shù)學應用、運用史料、關注時事、學科交叉等。但這些引入方式歸結起來不外乎于兩種，即內部引入和外部引入。數(shù)學知識系統(tǒng)之間的邏輯關系稱為“內部”，數(shù)學在生活、生產及其它學科中的來源與應用稱為“外部”。無論是“內部”還是“外部”，只要能較好地調動學生的學習積極性，就是成功的引入方式。事實上，高等數(shù)學教學更多采用內部引入。內部引入的經(jīng)典做法是“在新舊知識的聯(lián)系與矛盾上切入新知識”，聯(lián)系是基礎，矛盾引沖突，二者缺一不可?！扒省钡恼n題引入可簡潔的進行：前面研究了曲線的凹凸性，即描述曲線弧的彎曲方向（可舉例）。但通過觀察發(fā)現(xiàn)，同樣的彎曲方向，曲線在不同的位置的彎曲程度是不同的。怎樣定量刻畫曲線弧的彎曲程度呢？這就是今天要研究的課題——“曲率”。

（2）環(huán)節(jié)過渡。要使學生保持高度數(shù)學的聽課熱情，僅有課題引入還不夠，還需在教學路線圖描述的教學片段之間的自然連接上做文章，即設計環(huán)節(jié)過渡。環(huán)節(jié)過渡的優(yōu)良設計，可使教師思路清晰而不混亂，更可使學生感覺充實而不緊張。環(huán)節(jié)過渡一般有承接式、推進式、轉向式、綜合式等，可根據(jù)不同的教學內容而定。如從引入課題“曲率”到研究“弧微分”的過渡是承接式；從“平均曲率”到“某一點的曲率”、從“曲率的定義”到“曲率的計算”是推進式；弧微分從“直角坐標方程的表達式”到“極坐標方程、參數(shù)方程的表達式”是轉向式；從“曲率”到“曲率圓”、“曲率中心”、“曲率半徑”是綜合式。

（3）師生互動。師生互動可以調動學習興趣、活躍課堂氣氛。師生互動有教師“臨時動念”的靈感，但更多地需要預先設計。師生互動與前面的“課題引入”、“環(huán)節(jié)過渡”直接相關，教師往往在“引入”和“過渡”的點上設計導引式提問，來實現(xiàn)師生互動。教師的提問，可由學生回答，或只問不答，或自問自答，但總比沒有提問要好。隨著年齡的增大，學生的回答方式逐步趨于理性與冷靜，尤其高等數(shù)學的教學，課堂上表面上并不顯得很熱鬧，但有一種“思維的暗流”，是“有序的思維流動”，學生在“火熱的思考”中，體驗數(shù)學“冰冷的美麗”。

（4）媒體運用。傳統(tǒng)的教學手段是“黑板+粉筆”，盡管看起來顯得過時，但還大有存在的市場。對高等數(shù)學教學而言，教師邊講、邊畫，這種教學節(jié)奏往往還發(fā)揮著特殊的、甚至不可替代的作用。當然，隨著現(xiàn)代教育技術的發(fā)展，多種教學媒體層出不窮，從教具到幻燈片，從展示臺帶計算機，從教學軟件到網(wǎng)絡資源，顯示出強大的沖擊力。如何科學運用多種媒體，也是教師需要具體設計的。如“曲率”概念的發(fā)出過程，可以通過呈現(xiàn)圖片、設置動畫來實現(xiàn)：

動畫1 一點沿著曲線變動時，相應的切線也隨之變動，觀察兩條切線之間夾角的變化大小。

2　教學結構的優(yōu)化

高等數(shù)學教學結構的設計，是教師在課前憑借經(jīng)驗（直接的或間接的）對教學路線和細節(jié)的預設。由于教師和學生的各種原因，教學結構的實現(xiàn)不一定能“如愿以償”，就算實現(xiàn)了，也不一定是優(yōu)良的教學結構，因此教學結構還有個不斷優(yōu)化的過程。高等數(shù)學教學結構的優(yōu)化，是建立在反映教學結構的案例分析之上的。

2.1案例分析

教學案例即用于教學的案例，是關于某個課堂教學具體情況的記錄，是對真實發(fā)生的事件或情境的完整描述。高等數(shù)學教研室在公開課教研活動中，執(zhí)教教師展示的具體課堂、聽課教師記錄或記憶的真實課堂，就是高等數(shù)學的教學案例。教研室通過集體評課的方式，剖析教學案例，分析教學結構，對改進和優(yōu)化教學結構是至關重要的。

事實上，只有解剖幾節(jié)課，教師才能學會上課，一個教師的專業(yè)成長就是在“上課—評課—反思—上課”循環(huán)往復的過程中逐步提高教學水平的。如針對“曲率”這一教學案例，可作如下分析：

（1）宏觀設計的分析

先講弧微分，還是先講曲率的概念與計算呢?

（2）微觀設計的分析

課題“曲率”采用內部引入，從研究“彎曲方向”到研究“彎曲程度”，倒是自然的。但為什么要研究曲線的彎曲程度，尤其在某點處的彎曲程度，不結合實際問題（如鐵軌彎道連接），這種研究的必要性在哪里，學生感到迷惑。

弧微分的“直角坐標方程”表達式出來以后，馬上給出“參數(shù)方程”、“極坐標方程”的表達式，將知識系統(tǒng)化后，才考慮曲率的實際應用（如鐵軌轉彎連接問題），值得思考。學生學到某個數(shù)學知識后，馬上想運用它來解決實際問題（正是課題引入時要考慮的實際問題）。在沒有看到應用價值時，就把數(shù)學知識拓展到系統(tǒng)化程度，學生感到不安。

2.2結構優(yōu)化

從案例分析中看出，數(shù)學知識的邏輯順序與學生學習的認知順序之間是有出入的，有時甚至還有很大不同，高等數(shù)學教師在考慮教學順序（設計教學路線）時，應該在數(shù)學知識的邏輯順序和認知順序之間取得某種平衡，并更多地照顧學生的認知順序，這是提高高等數(shù)學教學質量的根本保證。不然學生則會認為“數(shù)學知識是完美的，數(shù)學學習是乏味的，學到知識是無用的”等等。在分析學生的認知順序時，參照數(shù)學知識的歷史順序是有價值的。我們假定學生學習數(shù)學知識與數(shù)學家研究數(shù)學在本質上是一致的，只有難度大小和周期長短不同。

在案例分析的基礎上，綜合考慮各方面因素，改進預先的教學設計，優(yōu)化教學結構，是自然要考慮的問題。例如，“曲率”的教學路線圖（圖1）可改進為圖2。

圖1.“曲率”的教學路線圖

圖2.改進后的“曲率”教學路線圖

至于“參數(shù)方程”、“極坐標方程”情形的弧微分表達式以及相應的曲率計算公式，可作為彈性內容，根據(jù)教學時間靈活處理，或作為選學內容，放到課后完成。當然，圖2還不是“曲率”的最優(yōu)教學結構，可以說永遠找不到最優(yōu)的教學結構。

3　結束語

高等數(shù)學的教學結構有一個不斷優(yōu)化的過程，在這一過程中，教研活動是基本載體。高等數(shù)學教研室確定一個主題，選擇一個課題。首先組織教師集體備課，做好教學結構的“設計”；然后是上課和聽課的環(huán)節(jié)，屬于教學結構的“實施”；接著安排集體評課，進行案例分析，完成教學結構的“優(yōu)化”；最后總結教學結構的一般經(jīng)驗，旨在做好下一輪的“設計”。我們探索高等數(shù)學教學結構一般規(guī)律的過程，就是“設計—實施—優(yōu)化—設計”的循環(huán)往復、以至無窮的過程。

[1]何克抗.教學結構理論與教學深化改革(上),電化教育研究[J],2007,(7):5-10.

[2]涂榮豹,寧連華,徐伯華數(shù)學教學案例研究[M]北京北京師范大學出版社,2011．

[3]黃立宏,廖基定高等數(shù)學(上)[M]上海復旦大學出版社,2006．

（責任編校：宮彥軍）

G642.0

A

1673-2219（2016）05-0001-03

2015－12－26

湖南省教育科學“十二五”規(guī)劃課題“地方高校數(shù)學文化傳播研究”（項目編號XJK013CGD061）。

石循忠（1966－），男，湖南寧遠人，教授，碩士生導師，研究方向為數(shù)學教育與數(shù)學文化。