兩種基于方差的全局靈敏度分析W指標改進算法

鞏祥瑞， 呂震宙， 左健巍

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安　710072

?

兩種基于方差的全局靈敏度分析W指標改進算法

鞏祥瑞， 呂震宙*， 左健巍

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院， 西安710072

在全局靈敏度分析(SA)中，基于方差的靈敏度分析指標(包括Sobol指標和W指標)應(yīng)用廣泛。其中Sobol指標是將輸入隨機變量固定于特定點時，求得其對輸出響應(yīng)量的平均影響；而W指標求解當輸入隨機變量在各自分布區(qū)間上縮減變化時，輸入變量對輸出響應(yīng)量的影響程度。相比Sobol指標，W指標所反映的信息更加全面。但目前對W指標的求解方法還比較欠缺，雙層重復(fù)抽樣蒙特卡羅(DLRS MC)方法和雙層一次抽樣蒙特卡羅(DLSS MC)方法是兩種傳統(tǒng)的求解方法。針對W指標的求解問題，提出了兩種新算法：改進的蒙特卡羅模擬(AMCS)和基于稀疏網(wǎng)格積分(SGI)的方法。AMCS只需抽取一組樣本便可計算出所有變量的各階W指標，由于該方法是通過篩選策略來計算條件區(qū)間上的方差，避免了DLSS MC法中由于小數(shù)取整帶來的計數(shù)誤差，從而提高了計算W指標的精度?；赟GI的方法則利用稀疏網(wǎng)格積分來計算三重矩進而得到W指標，由于該方法繼承了稀疏網(wǎng)格積分的高效性，因而進一步提高了W指標的計算效率。最后，給出了兩個數(shù)值算例和一個工程算例，用于驗證所提方法求解W指標的準確性和高效性。

全局靈敏度分析； Sobol指標； W指標； 改進的蒙特卡羅模擬法； 稀疏網(wǎng)格積分法

靈敏度分析(SA)主要研究結(jié)構(gòu)輸入隨機變量對輸出響應(yīng)量的影響程度，它可分為局部靈敏度(Local SA)和全局靈敏度(Global SA)。局部靈敏度為輸入隨機變量分布參數(shù)在名義值處對輸出響應(yīng)的影響程度[1-3]，它不能全面反映輸入變量的不確定性是如何影響輸出響應(yīng)特征的[4]；全局靈敏度則比較全面地反映了這些信息[5]。近些年，已經(jīng)提出了許多全局靈敏度分析方法。Helton[6-7]和Saltelli[8]等提出了非參數(shù)方法，Chun[9]、Liu[10]和Borgonovo[11]等分別提出了基于矩獨立的方法，Cui[12]和Li[13]等提出了基于失效概率的方法，Sobol[14]和Saltelli[15-17]等提出了基于方差的全局靈敏度指標。其中基于方差的全局靈敏度指標因其能簡單有效地反映輸入變量對輸出響應(yīng)量的影響而得到了廣泛應(yīng)用。

一般地，基于方差的全局靈敏度指標分為Sobol指標和W指標。Sobol指標基本思想是固定某一或多個輸入變量在特定點，求得輸入變量按其分布規(guī)律取特定點時，對輸出響應(yīng)量的平均影響[16-18]。但在實際應(yīng)用中，一般不可能將輸入變量固定于特定點，而將輸入變量縮減到某一個區(qū)間上則是可行的。為此，Wei等[19]提出了一種新的基于方差的全局靈敏度分析W指標，該指標在已有指標基礎(chǔ)上，將固定點擴展到區(qū)間。通過物理解釋、幾何圖形和數(shù)學(xué)論證，Wei等指出Sobol指標僅反映了輸入變量對輸出響應(yīng)量影響的邊緣信息，而W指標則能獲得輸入變量在整個分布區(qū)域的各種可能的區(qū)間中變化時，對輸出響應(yīng)量的平均影響[20]。

當輸入變量由固定點擴展到區(qū)間時，所有用于計算Sobol指標的傳統(tǒng)方法將不再適用，必須研究新的算法。Wei等[19]提出了3種方法來計算W指標：雙層重復(fù)抽樣蒙特卡羅(DLRS MC)方法，雙層一次抽樣蒙特卡羅(DLSS MC)方法和態(tài)相關(guān)參數(shù)(SDP)法[21]。為獲取滿足精度要求的結(jié)果，3種方法都必須抽取大量樣本點，因此計算量很大，效率較低。針對此問題，本文提出了兩種改進算法：改進的蒙特卡羅模擬(AMCS)方法和基于稀疏網(wǎng)格積分(SGI)的方法[22]。AMCS方法只需抽取一組樣本點，在計算條件方差時采用篩選法，避免了DLSS MC方法中可能產(chǎn)生小數(shù)取整而導(dǎo)致計數(shù)誤差的問題，因此其計算精度高于DLSS MC方法。基于稀疏網(wǎng)格積分的方法則充分利用了該積分法的高效性，通過采用稀疏網(wǎng)格積分分別來求解不同給定條件下嵌套的三重統(tǒng)計矩來計算W指標，可以在一定程度上提高W指標的計算效率。

論文在綜述了W指標的定義及物理意義之后，給出了兩種新的求解方法的基本思路及實現(xiàn)步驟，最后用算例驗證了所提方法的效率與精度。

1　W指標的定義及解釋

W指標是一種基于方差的全局靈敏度指標，它反映了輸入變量在所有可能取值區(qū)間內(nèi)取值時對輸出性能的平均方差貢獻，與基于方差的Sobol指標相比，W指標能夠更加全面地反映輸入變量對輸出性能變異性的貢獻。本文的工作旨在建立W指標的高效求解方法，為方便起見，先簡要給出W指標的定義及物理意義。

(1)

式中：fXi(·)為Xi的邊緣概率密度函數(shù)。

當輸入變量Xi遍歷所有可能取值區(qū)間時，它對輸出響應(yīng)方差V(Y)的平均影響可以由式(2)所定義的Wi主指標表達[19]。

(2)

當除Xi外的所有輸入變量X～i分布范圍縮減到區(qū)間U～i時，按照類似的方法可以得到輸入變量Xi的W總指標為

(3)

W指標反映了一個(或一組)輸入變量對輸出響應(yīng)量方差的貢獻程度。W主指標反映了當單個輸入變量在其所有可能的分布區(qū)間上變化時，輸出響應(yīng)量方差的平均減少量。因此，W主指標越大，輸出響應(yīng)量方差的減少量也越大。W總指標反映了除給定輸入變量以外的其他變量在各自區(qū)間上變化時，輸出響應(yīng)量方差的平均剩余量。某一輸入變量的W總指標趨近于零時，說明該輸入變量的區(qū)間改變不會引起輸出響應(yīng)量方差的變化。

由定義可以看到，在計算W指標時，主要任務(wù)是求得輸入變量在固定區(qū)間上的條件方差，下面就圍繞W指標的求解建立AMCS方法和基于稀疏網(wǎng)格積分的方法。

2　計算W指標的改進算法

設(shè)n維輸入變量X的樣本數(shù)為N1，某一維輸入變量變化區(qū)間的樣本數(shù)為N2。文獻[19]中給出的DLRSMC方法的計算次數(shù)為2×n×N1×N2，為了獲得較精確的解，抽樣數(shù)一般都比較大；DLSSMC方法的計算次數(shù)為N1，相比于DLRSMC方法，計算量會有所減少,但存在較大誤差。

本文將給出兩種求解W指標的新算法：① 針對DLSSMC方法中有可能出現(xiàn)的樣本計數(shù)誤差，提出了基于樣本篩選的AMCS方法，該方法通過篩選出給定約束區(qū)間的樣本來計算條件方差，準確得到約束區(qū)間的條件樣本，在計算量與DLSSMC方法相同的條件下得到了更為精確的條件方差及最終的W指標計算結(jié)果；② 利用稀疏網(wǎng)格積分的高效性來求解W指標，建立基于稀疏網(wǎng)格積分的W指標求解方法。兩種方法的具體實現(xiàn)過程如下所述。

2.1AMCS方法

1) 根據(jù)輸入變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)fX(x)產(chǎn)生的樣本A(維數(shù)為N1×n)為

(4)

2) 根據(jù)給定分位數(shù)qi(1)和qi(2)的分布特性，可先產(chǎn)生qi(1)和qi(2)的樣本矩陣Qi(維數(shù)為N2×2)為

(5)

由分位數(shù)樣本矩陣就能得到Xi的固定區(qū)間矩陣Ui(維數(shù)為N2×2)為

(6)

條件方差的計算表達式為

(7)

當k=N2時，停止計算，并得到W主指標的估計值為

(8)

以上所述AMCS方法可以很容易擴展到W總指標的計算。此方法總的輸出響應(yīng)計算次數(shù)為N1。該方法避免了采用DLSSMC方法時取整造成樣本點的計數(shù)誤差，從而使計算精度有所提高。

2.2基于稀疏網(wǎng)格積分的方法

稀疏網(wǎng)格積分方法的基本思想是以Smolyak準則為基礎(chǔ)，通過采用合適的一維求積公式的張量積組合來構(gòu)建多維求積公式，可以避免維數(shù)災(zāi)難。求解W指標的過程可以看做是求矩的三重嵌套積分。以下給出該方法的具體求解過程：

1) 產(chǎn)生Xi的固定區(qū)間列陣Ui。

③ 由qi(1)和qi(2)的稀疏網(wǎng)格積分節(jié)點產(chǎn)生輸入變量Xi的固定區(qū)間Ui。

(9)

2) 計算輸出響應(yīng)量方差V(Y)。

用稀疏網(wǎng)格積分法按概率密度函數(shù)fX(x)抽取X的樣本點(維數(shù)為Nk×n)和每一個樣本節(jié)點xi對應(yīng)的權(quán)重wi(i=1,2,…,Nk)，可得輸出響應(yīng)量方差V(Y)為

(10)

(11)

式中：g(xi)為樣本節(jié)點xi對應(yīng)的輸出響應(yīng)量。

3) 當輸入變量Xi固定于某一區(qū)間時計算輸出響應(yīng)量的條件方差。

(12)

3　算　例

3.1數(shù)值算例1

考慮某結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，功能函數(shù)為g(X)=exp(0.2X1+1.4)-X2+3X3輸入變量相互獨立，且均服從標準正態(tài)分布，即Xi～N(0,1)(i=1,2,3)。

采用SGI、AMCS、DLSSMC和DLRSMC方法求得W指標如表1所示。表中也給出了每種方法計算功能函數(shù)的總次數(shù)。DLRSMC方法作為對比參照解，由表1可知SGI和AMCS方法的計算結(jié)果與DLRSMC方法計算結(jié)果接近。圖1 為4種方法計算結(jié)果隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂曲線圖。在保證計算所得數(shù)據(jù)均收斂條件下，SGI和AMCS方法計算量都小于DLRSMC方法，其中AMCS方法相比DLSSMC方法精度有所提高，SGI方法在保證精度要求的前提下，計算效率得到很大提高。

由表1可知，4種方法計算W主指標的重要性排序結(jié)果相同，均為X3>X2>X1。這說明當固定3個變量在它們各自的分布區(qū)間時，X3對輸出響應(yīng)方差的平均減少量貢獻最大。X1和X2的W主指標較小，這說明X1和X2在它們各自的分布區(qū)間縮減變化，對輸出響應(yīng)量方差的平均影響程度不大。4種方法計算W總指標排序為X3>X2>X1，這表明當固定除X3外，其他所有變量時，X3對輸出量的方差影響最顯著。因此，在實際應(yīng)用中，應(yīng)重點關(guān)注X3對結(jié)構(gòu)輸出造成的影響。

表1　數(shù)值算例1基于方差全局靈敏度分析W指標

圖1　分別應(yīng)用SGI、AMCS、DLSS MC、DLRS MC計算數(shù)值算例1各輸入變量的W主指標和W總指標隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂圖Fig.1　Schematic comparison of convergence rate of W-indices of numerical Example 1 estimated by SGI, AMCS, DLSS MC and DLRS MC procedure with respect to sample size

3.2數(shù)值算例2

采用SGI、AMCS、DLSSMC和DLRSMC方法求得的W指標如表2所示。從表中計算結(jié)果可以看出，由4種方法計算所得變量的W指標排序都相同，均為X2>X3>X1>X4。X2的W主指標和W總指標均為最大，這表明X2對輸出量方差的影響程度最大。而X1、X4的W主指標數(shù)值接近于零，W總指標也很小，這表明當固定X1和X4在它們各自的減縮區(qū)間時，對輸出量方差的影響程度很小。

圖2為4種方法計算W指標的數(shù)值收斂圖。根據(jù)圖2中各數(shù)值收斂曲線走勢，得到每種方法計算W指標的結(jié)果和計算次數(shù)列于表2中。由表2可知，SGI方法和AMCS方法所得計算結(jié)果相比于DLRSMC方法，誤差較小，滿足精度要求；同時SGI、AMCS、DLSSMC和DLRSMC的計算次數(shù)依次為1 161、1.0×104、1.0×104和8×106?？梢奡GI和AMCS方法相比于DLRSMC方法計算量減少很多，特別是SGI方法計算效率提高顯著。

表2　數(shù)值算例2基于方差全局靈敏度分析W指標

圖2　分別應(yīng)用SGI、AMCS、DLSS MC、DLRS MC計算數(shù)值算例2各輸入變量的W主指標和W總指標隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂圖Fig.2　Schematic comparison of convergence rate of W-indices of numerical Example 2 estimated by SGI, AMCS, DLSS MC and DLRS MC procedure with respect to sample size

3.3工程算例

圖3為一個屋架結(jié)構(gòu)，屋架上的弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采用鋼桿。設(shè)屋架承受均布載荷q作用，將均布載荷q化成節(jié)點載荷后有P=ql/4。結(jié)構(gòu)力學(xué)分析可得，C點沿垂直地面方向的位移為

圖3　屋架結(jié)構(gòu)簡單示意圖Fig.3　Sketch map of a roof truss

式中：Ac、Ec、As、Es和l分別為混凝土和鋼桿的橫截面積、彈性模量和長度。假設(shè)所有隨機變量均服從獨立的正態(tài)分布，它們的分布參數(shù)如表3所示。

采用SGI、AMCS、DLSS MC和DLRS MC這4種方法計算W指標如表4所示。根據(jù)圖4所示的各種算法數(shù)據(jù)收斂曲線圖，在表4中給出了4種算法的計算結(jié)果和調(diào)用功能函數(shù)總次數(shù)，其中DLRS MC作為對比參照解，它的計算次數(shù)最大為1.2×107。 DLSS MC的計算次數(shù)為5×104，但該方法計算W總指標的誤差較大，故未列出。原因是在計算W總指標時，條件方差的計算需要在內(nèi)層進行，當輸入變量的固定區(qū)間很小時，用于計算條件方差的抽樣點就會特別少，而該方法又會在獲取抽樣點時由于小數(shù)取整舍棄一些抽樣點，這都會增加條件方差的計算誤差，從而使計算所得W總指標不準確，因此DLSS MC不適用于計算高階W指標。AMCS方法很好地克服了DLSS MC方法的缺點，在計算量相同的條件下，進一步提高了W指標的計算精度。SGI方法的計算次數(shù)僅為4 165，同其他3種方法相比，在滿足精度要求的前提下，計算效率得到了很大提高。

表3屋架結(jié)構(gòu)隨機變量的分布參數(shù)

Table 3Distribution parameters of random variables of roof truss

VariableDistributionMeanVariationcoefficientq/(N·m-1)Normal200000．07l/mNormal120．01As/m2Normal9．82×10-40．06Ac/m2Normal0．040．12Es/(N·m-2)Normal2．0×10110．06Ec/(N·m-2)Normal3．0×10100．06

由表4中數(shù)據(jù)可以看出，各變量的W主指標和W總指標重要性排序相同：q>Ac>Es>As>l>Ec。表明當各變量區(qū)間縮減時，q對結(jié)構(gòu)輸出的方差減少量貢獻最大,Ec對結(jié)構(gòu)輸出的方差減少量貢獻最少。因此在實際工程應(yīng)用中，對該屋架結(jié)構(gòu)，應(yīng)重點關(guān)注屋架所承受均布載荷q的大小，混凝土的橫截面積Ac對屋架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性影響也較大，而混凝土的彈性模量Ec對其影響較小，可簡化處理。

表4　工程算例基于方差全局靈敏度分析W指標

圖4　分別應(yīng)用SGI、AMCS、DLSS MC、DLRS MC計算工程算例各輸入變量的W主指標和W總指標隨抽樣數(shù)變化的數(shù)值收斂圖Fig.4　Schematic comparison of convergence rate of W-indices of engineering example estimated by SGI, AMCS, DLSS MC and DLRS MC procedure with respect to sample size

4　結(jié)　論

1) AMCS方法采用樣本篩選策略來計算條件方差，避免了DLSS MC方法中由于小數(shù)取整造成的計數(shù)誤差。

2) 在計算量相同的情況下，AMCS方法的精度高于DLSS MC方法的。

3) SGI方法采用數(shù)值積分來求解W指標中的三重統(tǒng)計矩，可以直接應(yīng)用于求解一般維數(shù)不高的工程問題中，提高計算效率；但由于該方法未能完全克服輸入變量維數(shù)的影響，因此對于大型高維復(fù)雜工程問題，SGI方法計算量可能會超過DLSS MC方法和AMCS方法。

[1]ZIO E, PODOFILLINI L. Accounting for components interactions in the differential importance measure[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2006, 91(10-11): 1163-1174.

[2]DO VAN P, BARROS A, BERENGUER C. Differential importance measure of Markov models using perturbation analysis[C]//European Safety and Reliability Conference (ESREL 2009). Abingdon, UK: Taylor & Francis, 2009: 981-987.

[3]BORGONOVO E, APOSTOLAKIS G E. Comparison of global sensitivity analysis techniques and importance measures in PSA[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2003, 79(2): 175-185.

[4]VON GRIENSVEN A, MEIXNER T, GRUNWALD S, et al. A global sensitivity analysis tool for the parameters of multi-variable catchment models[J]. Journal of Hydrology, 2006, 324(1-4): 10-23.

[5]SALTELLI A. Sensitivity analysis for importance assessment[J]. Risk Analysis, 2002, 22(3): 579-590.

[6]HELTON J C, DAVIS F J. Latin hypercube sampling and the propagation of uncertainty in analyses of complex systems[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2003, 81(1): 23-69.

[7]HELTON J C. Uncertainty and sensitivity analysis techniques for use in performance assessment for radioactive waste disposal[J]. Reliability Engineering & System Safety, 1993, 42(2): 327-367.

[8]SALTELLI A, MARIVOET J. Non-parametric statistics in sensitivity analysis for model output: A comparison of selected techniques[J]. Reliability Engineering & System Safety, 1990, 28(2): 229-253.

[9]CHUN M H, HAN S J, TAK N I L. An uncertainty importance measure using a distance metric for the change in a cumulative distribution function[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2000, 70(3): 313-321.

[10]LIU H, CHEN W, SUDJIANTO A. Relative entropy based method for probabilistic sensitivity analysis in engineering design[J]. Journal of Mechanical Design, 2006, 128(2): 326-336.

[11]BORGONOVO E. A new uncertainty importance measure[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2007, 92(6): 771-784.

[12]CUI L J, LU Z Z, ZHAO X P. Moment-independent importance measure of basic random variable and its probability density evolution solution[J]. Science China Technological Sciences, 2010, 53(4): 1138-1145.

[13]LI L Y, LU Z Z, FENG J, et al. Moment-independent importance measure of basic variable and its state dependent parameter solution[J]. Structural Safety, 2012, 38: 40-47.

[14]SOBOL’ I M. Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimates[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2001, 55(1): 271-280.

[15]SALTELLI A, ANNONI P, AZZINI I, et al. Variance based sensitivity analysis of model output. Design and estimator for the total sensitivity index[J]. Computer Physics Communications, 2010, 181(2): 259-270.

[16]ARCHER G E B, SALTELLI A, SOBOL I M. Sensitivity measures, ANOVA-like techniques and the use of bootstrap[J]. Journal of Statistical Computation and Simulation, 1997, 58(2): 99-120.

[17]SOBOL’ I M. On sensitivity estimation for nonlinear mathematical models[J].Matematicheskoe Modelirovanie, 1990, 2(1): 112-118.

[18]SALTELLI A, TARANTOLA S. On the relative importance of input factors in mathematical models: Safety assessment for nuclear waste disposal[J]. Journal of the American Statistical Association, 2002, 97(459): 702-709.

[19]WEI P, LU Z Z, SONG J. A new variance-based global sensitivity analysis technique[J]. Computer Physics Communications, 2013, 184(11): 2540-2551.

[20]TARANTOLA S, KOPUSTINSKAS V, BOLADO-LAVIN R, et al. Sensitivity analysis using contribution to sample variance plot: Application to a water hammer model[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2012, 99: 62-73.

[21]RATTO M, PAGANO A, YOUNG P. State dependent parameter metamodelling and sensitivity analysis[J]. Computer Physics Communications, 2007, 177(11): 863-876.

[22]BARTHELMANN V, NOVAK E, RITTER K. High dimensional polynomial interpolation on sparse grids[J]. Advances in Computational Mathematics, 2000, 12(4): 273-288.

鞏祥瑞男， 碩士研究生。主要研究方向： 飛行器設(shè)計及可靠性工程。

Tel: 029-88460480

E-mail: gxrui1991@163.com

呂震宙女， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師。主要研究方向： 飛行器設(shè)計及可靠性工程。

Tel: 029-88460480

E-mail: zhenzhoulu@nwpu.edu.cn

左健巍男， 碩士研究生。主要研究方向： 飛行器設(shè)計及可靠性工程。

Tel: 029-88460480

E-mail: jianweizuo@mail.nwpu.edu.cn

Two improved methods for variance-based global sensitivityanalysis’ W-indices

GONG Xiangrui, LYU Zhenzhou*, ZUO Jianwei

School of Aeronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an710072, China

In the global sensitivity analysis (SA), the variance-based sensitivity indices, such as Sobol’s indices and W-indices, are used widely. Sobol’s indices estimate the average variation of model output when input variables are fixed in their points. W-indices measure the average reduction of model output if input variables are reduced in their distributions. Compared with Sobol’s indices, W-indices include more information. The double loop repeated set Monte Carlo (DLRS MC) and double loop single set Monte Carlo (DLSS MC) are two traditional methods, but these available methods for solving W-indices are still defective. In order to calculate W-indices efficiently, two new methods are presented. They are advanced Monte Carlo simulation (AMCS) and sparse grid integration (SGI)-based method. The AMCS only needs one set of samples to estimate all W-indices. Since screening method is used to estimate the variance in the conditional interval, and the count error induced by taking an integer in DLSS MC can be avoided, the accuracy of AMCS is higher than that of DLSS MC. The SGI-based method estimates W-indices by evaluating threefold statistic moment by SGI, in which the efficiency of the SGI is inherited. Finally, two numerical examples and an engineering example are employed to demonstrate the reasonability and efficiency of the presented methods.

global sensitivity analysis; Sobol’s indices; W-indices; advanced Monte Carlo simulation method; sparse grid integration

2015-04-10； Revised： 2016-01-05； Accepted： 2016-03-22； Published online： 2016-03-2516:07

s： National Natural Science Foundation of China (51475370)； Fundamental Research Funds for the Central University (3102015BJ(II)CG009)

. Tel.： 029-88460480E-mail: zhenzhoulu@nwpu.edu.cn

2015-04-10； 退修日期： 2016-01-05； 錄用日期： 2016-03-22；

時間： 2016-03-2516:07

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160325.1607.002.html

國家自然科學(xué)基金 (51475370)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金 (3102015BJ(II)CG009)

.Tel.： 029-88460480E-mail: zhenzhoulu@nwpu.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0090

V215.7; TB114.3

A

1000-6893(2016)06-1888-11

引用格式： 鞏祥瑞， 呂震宙， 左健?。?兩種基于方差的全局靈敏度分析W指標改進算法[J]． 航空學(xué)報, 2016, 37(6): 1888-1898. GONG X R, LYU Z Z, ZUO J W. Two improved methods for variance-based global sensitivity analysis’ W-indices[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(6): 1888-1898.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160325.1607.002.html