開(kāi)幾何直觀之源活思維創(chuàng)新之水

馬熙君

[摘 要]幾何直觀是一種利用圖形分析與解決問(wèn)題的形象化策略。課堂教學(xué)中，教師運(yùn)用幾何直觀指導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，必須注重強(qiáng)化概念與算理，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換探究的視角，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，最終形成數(shù)學(xué)思想。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀 創(chuàng)新思維 形象思維 概念 算理 數(shù)學(xué)思想

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2016）32-028

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題?！睅缀沃庇^在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著極其重要的作用，有助于催生解決問(wèn)題的有效策略。

二、“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”——活用幾何直觀，需要轉(zhuǎn)換探究視角

“創(chuàng)新思維是數(shù)學(xué)最美的花朵”，當(dāng)一個(gè)人局限于目前封閉的問(wèn)題情境中去研究問(wèn)題時(shí)，他的思維是單一的、有局限性的，而當(dāng)他跳出問(wèn)題的框架后，才可能以與眾不同的方式解決問(wèn)題。

如對(duì)上述分?jǐn)?shù)加法這一題，其實(shí)需要學(xué)生跳出問(wèn)題的框架去研究，特別是學(xué)生需要有整體“1”的觀念。由于上題每次相加都是一個(gè)小于1的結(jié)果，所以學(xué)生往往不會(huì)去思考整體“1”中的不足部分，但這個(gè)不足“1”的部分正好是問(wèn)題解決的突破口，使解決問(wèn)題的思路變得清晰起來(lái)。一般而言，在通過(guò)幾何直觀分析、解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生都會(huì)去研究整體“1”的，因?yàn)殡S著加的步數(shù)的增加，答案已經(jīng)逐漸接近“1”了。因此，學(xué)生在借用幾何直觀分析問(wèn)題時(shí)，要學(xué)會(huì)從問(wèn)題的另一個(gè)角度看問(wèn)題，才能看到問(wèn)題的“廬山真面目”。

三、“春色滿園關(guān)不住，一枝紅杏出墻來(lái)”——善用幾何直觀，揭示問(wèn)題本質(zhì)

“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)學(xué)家華羅庚高度總結(jié)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。數(shù)形結(jié)合，包括將數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成形來(lái)直觀理解和將形的問(wèn)題用數(shù)來(lái)表述達(dá)到規(guī)范與具體化兩個(gè)方面。其實(shí)，分?jǐn)?shù)問(wèn)題的解決往往離不開(kāi)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，教師在教學(xué)一道題的解題思路時(shí)，如果只是從這道題出發(fā)就題論題，學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)思維卡殼的情況。

如異分母分?jǐn)?shù)加減法的算理是同分母分?jǐn)?shù)加減法與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。那么，通分的原理是什么？說(shuō)白了就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)——分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大或者縮小相同的倍數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。而分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)又是怎么來(lái)的呢？這還得通過(guò)幾何直觀來(lái)分析說(shuō)明。又如，上述分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算題，顯然命題者已經(jīng)把訓(xùn)練的重點(diǎn)從通分這一方法的層面轉(zhuǎn)移到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與畫圖技能上來(lái)，所以教師教學(xué)時(shí)就有挖掘問(wèn)題背后知識(shí)本質(zhì)的必要，需要抓住主要矛盾與核心要素，才能使學(xué)生學(xué)得輕松且能舉一反三。

四、“忽如一夜春風(fēng)來(lái)，千樹(shù)萬(wàn)樹(shù)梨花開(kāi)”——借用幾何直觀，展示幾何思維

教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形的直觀來(lái)挖掘形與數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。苑建廣發(fā)表觀點(diǎn)認(rèn)為：“幾何直觀能力的形成，需要經(jīng)歷以下幾個(gè)層次：（1）建立和形成敏捷、準(zhǔn)確的幾何直覺(jué)———感覺(jué)與圖形相隨；（2）實(shí)施和進(jìn)行深入靈活的幾何探索——視覺(jué)與思維共行；（3）成為分析、解決問(wèn)題的有效工具———抽象與形象互輔?！闭n堂中，使學(xué)生形成與視覺(jué)形象共行的抽象邏輯思維，是數(shù)學(xué)教學(xué)的較高境界，而通過(guò)語(yǔ)言交流能讓思考的方向明晰化，發(fā)展學(xué)生的幾何思維。

如上述這道分?jǐn)?shù)加法題，可有以下探討的問(wèn)題：一般的通分方法在計(jì)算這道題中有什么困難？這道題中各加數(shù)的分母有什么特點(diǎn)？前兩個(gè)數(shù)相加，怎么用圖形來(lái)表示？你發(fā)現(xiàn)了前兩個(gè)數(shù)、前三個(gè)數(shù)、前四個(gè)數(shù)相加的結(jié)果有什么特點(diǎn)？為什么？你認(rèn)為這道題的結(jié)果會(huì)是多少？理由是什么……讓學(xué)生通過(guò)口述把問(wèn)題的產(chǎn)生與探究過(guò)程分析清楚，使思維與思維發(fā)生碰撞，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維就會(huì)如“千樹(shù)萬(wàn)樹(shù)的梨花”一樣萌生。

五、“等閑識(shí)得東風(fēng)面，萬(wàn)紫千紅總是春”——利用幾何直觀，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題方法的統(tǒng)領(lǐng)性策略，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過(guò)概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。這里有必要澄清幾何直觀與數(shù)形結(jié)合兩個(gè)概念間的區(qū)別：數(shù)形結(jié)合包括借形析數(shù)與借數(shù)析形兩個(gè)方面，而幾何直觀重在借形析數(shù)，指向的是幾何解決問(wèn)題的方法，并不一定需要代數(shù)的參與；從所屬范疇來(lái)看，數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想，而幾何直觀則屬于解題方法的范疇。

從上述這道分?jǐn)?shù)加法題的解答來(lái)看，其中可以滲透的數(shù)學(xué)思想有極限、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、整體思想等，但數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟必須通過(guò)實(shí)際演練才能形成。那么，什么是轉(zhuǎn)化思想？由于不足整體“1”的部分更有助于問(wèn)題的研究，于是我們把問(wèn)題的落腳點(diǎn)由原來(lái)的實(shí)際數(shù)字部分轉(zhuǎn)換到這個(gè)空缺部分來(lái)進(jìn)行研究，即轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。什么是整體思想？在問(wèn)題的解決中，聯(lián)系整體“1”來(lái)解決問(wèn)題就體現(xiàn)了整體的思想。至于極限思想，小學(xué)生也可以初步感知：答案越來(lái)越接近1，而始終沒(méi)有達(dá)到1的結(jié)果。所以，這一題的指導(dǎo)與解答過(guò)程運(yùn)用的是幾何直觀的方法，其中隱含大量的數(shù)學(xué)思想。幾何直觀中滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考逐漸由陌生到熟練，由熟能生巧最終達(dá)到“萬(wàn)紫千紅”的境界。

綜上所述，借助幾何直觀，學(xué)生的想象更豐富了，創(chuàng)意更新穎了，思路更流暢了，這就是幾何直觀的魅力！

（責(zé)編 藍(lán) 天）