橢圓曲線y2=nx(x2-8)的整數(shù)點

趙 晶 晶

(滇西科技師范學院后勤管理處，云南 臨滄 677000)

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橢圓曲線y2=nx(x2-8)的整數(shù)點

趙 晶 晶

(滇西科技師范學院后勤管理處，云南 臨滄 677000)

目的橢圓曲線是代數(shù)幾何的基本研究對象，是研究丟番圖方程的一個強有力的工具。橢圓曲線y2=nx(x2-8)的整數(shù)點問題目前仍未解決。方法利用Legendre符號值的性質(zhì)、同余等方法。結(jié)果設n是大于1的無平方因子的正奇數(shù)，證明了：如果n的所有素因數(shù)pi(i∈Z+)都滿足pi≡±3(mod8)，則當n=3時，有橢圓曲線y2=nx(x2-8)的整數(shù)點(x,y)=(±3,3)，(0,0)；當n≠3時，僅有整數(shù)點(x,y)=(0,0)。結(jié)論此結(jié)果推進了該類橢圓曲線的研究。

橢圓曲線；整數(shù)點；Legendre符號；奇素數(shù)

橢圓曲線的整數(shù)點是數(shù)論和代數(shù)幾何學中基本而又重要的問題，關于橢圓曲線y2=ax(x2+b),a,b∈Z+的整數(shù)點問題，文獻[1-12]已有很多結(jié)果。關于橢圓曲線

(1)

的整數(shù)點問題，目前主要結(jié)論為：祝輝林、陳建華[1]在2007年證明了a為素數(shù)、b=1時橢圓曲線(1)至多有1組正整數(shù)點；樂茂華[2]在2008年證明了a為素數(shù)，b=1時橢圓曲線(1)僅當p=5和29時各有1組正整數(shù)點(x,y)=(9,60)和(x,y)=(9801,25220)；趙院娥[3]在2012年給出了對于某些特殊素數(shù)a，橢圓曲線(1)的上界；萬飛[13]在2015年給出了a為素數(shù)、b=4時橢圓曲線(1)至多有1個正整數(shù)點。

利用初等方法對橢圓曲線y2=nx(x2-8)的整數(shù)點的情況進行研究。

1　相關引理

引理1[14]a,b∈Z+,則方程ax4-by2=1至多有2組正整數(shù)解。

2　定理及其證明

定理若無平方因子的正奇數(shù)n的所有素因數(shù)pi(i∈Z+)都滿足pi≡±3(mod8)，則當n=3時，

(2)

橢圓曲線有整數(shù)點(x,y)=(±3,3)，(0,0)；當n≠3時，僅有整數(shù)點(x,y)=(0,0)。

證明顯然(x,y)=(0,0)是橢圓曲線(2)的整數(shù)點，設(x,y),x,y∈Z+是橢圓曲線(2)的正整數(shù)點，因為n是無平方因子的正奇數(shù)，故由(2)式知n|y，設y=pz，z∈Z+，代入(2)式，

得

pz2=x(x2-8)

(3)

因為gcd(x,x2-8)=gcd(x,8)=1或2或4或8，故(3)式可分解為以下4種情況：

①情形Ⅰx=n1a2,x2-8=n2b2,z=ab,

②情形Ⅱx=2n1a2,x2-8=2n2b2,z=2ab

③情形Ⅲx=4n1a2,x2-8=4n2b2,z=4ab

④情形Ⅳx=8n1a2,x2-8=8n2b2,z=8ab

其中n=n1n2，gcd(a，b)=1,a,b∈Z+。

1)情形Ⅰ將x=n1a2代入x2-8=n2b2，

得

(4)

(1)當n2>1時，n2中至少含有一個素因子p，由題意得p≡±3(mod8)。對(4)式兩邊同時取模p，

得

(5)

(2)當n2=1時，n1=n，此時(4)式成為n2a4-8=b2，則有(na2+b)9na2-b)=8，解得na2=3，b=1,則有n=3，a=1,因此x=na2=3，此時方程(2)有解(x,z,p)=(3,1,3)，則當p=3時橢圓曲線(2)有整數(shù)點(x,y)=(3,±3)。

2)情形Ⅱ?qū)=2n1a2代入x2-8=2n2b2，

得

(6)

(1)n2>1時，n2中至少含有一個素因子p，由題意得p≡±3(mod8)。對(6)式兩邊同時取模p，

得

(7)

(2)當n2=1時，n1=n，(6)式成為

2n2a4-4=b2

(8)

由(8)式知b為偶數(shù)，所以b2≡0,4(mod8)。又gcd(a,b)=1，所以a為奇數(shù)，則a4≡1(mod8)，因此2a4≡2(mod8)。又n為奇數(shù)，所以n2≡1(mod8)，因此，2n2a4≡2(mod8)，故(8)式為6≡2n2a4-4=b2≡0,4(mod8)，顯然不成立，因此當n2=1時情形Ⅱ不成立。

即

(9)

(1)n2>1時，n中至少含有一個素因子p，由題意得p≡±3(mod8)。對(9)式兩邊同時取模p，

得

(10)

(2)當n2=1時，n1=n，此時(9)式成為

4a4-2=nb2

(11)

由(11)式知b為偶數(shù)，所以b2≡0,4(mod8)。又n為奇數(shù)，故nb2≡0,4(mod8)。又gcd(a,b)=1，所以a為奇數(shù)，則a4≡1(mod8)，因此4a4≡4(mod8)。故(11)式為2≡4a4-2=nb2≡0,4(mod8)，顯然不成立，因此當n2=1時情形Ⅲ不成立。

4)情形Ⅳ將x=8n1a2代入x2-8=8n2b2，得64n12a4-8=8n2b2，

即

8n12a4-1=n2b2

(12)

(1)當n2>1時，n中至少含有一個素因子p，則由題意得p≡±3(mod8)。對(9)式兩邊同時取模p，

得

8n12a4≡1(modp)

(13)

(2)當n2=1時，n1=n，此時(12)式成為8n2a4-1=b4,

即

8n2a4-1=b2

(14)

(14)式兩邊取模8

得

-1≡b2(mod8)

(15)

由(14)式得b為奇數(shù)，所以b2≡1(mod8)，因此(15)式為-1≡1(mod8)，顯然不成立，因此當n2=1時情形Ⅳ不成立。

綜上有如下結(jié)論：

如果無平方因子的正奇數(shù)n的所有素因數(shù)pi(i∈Z+)都滿足pi≡±3(mod8)，則當n=3時，橢圓曲線y2=nx(x2-8)有整數(shù)點(x，y)=(±3,3),(0,0)；當n≠3時，僅有整數(shù)點(x,y)=(0,0)。

[1]祝輝林，陳建華.兩個丟番圖方程y2=nx(x2±1)[J].數(shù)學學報，2007,50(05)：1071-1074.

[2]樂茂華.橢圓曲線y2=px(x2±1)的正整數(shù)點[J].湛江師范學院學報，2008,29(03)：1-2.

[3]趙院娥.橢圓曲線y2=2px(x2-1)的正整數(shù)點的個數(shù)[J].西安石油大學學報，2012,27(02)：106-107+110.

[4]管訓貴.關于橢圓曲線y2=px(x2+1)的一個注記[J].四川理工學院：自然科學版，2010,23(04)：384+393.

[5]楊海，付瑞琴.一類橢圓曲線有正整數(shù)點的判別條件[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2013,29(04):338-341.

[6]竇志紅.橢圓曲線y2=2px(x2+1)上正整數(shù)點的個數(shù)[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2011,27(02)：210-212+235.

[7]廖思泉，樂茂華.橢圓曲線y2=px(x2+2)的正整數(shù)點[J].數(shù)學雜志，2009,29(03)：387-390.

[8]陳歷敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].數(shù)學學報，2010,53(01)：83-86.

[9]李玲，張緒緒.橢圓曲線y2=nx(x2+2)的整數(shù)點[J].西安工程大學學報，2011,25(03)：407-409.

[10]杜曉英.橢圓曲線y2=px(x2+2)在p≡1(mod8)時的正整數(shù)點[J].數(shù)學的實踐與認識，2014,44(15)：290-294.

[11]張瑾.橢圓曲線y2=px(x2+2)有正整數(shù)點的判別條件[J].數(shù)學的實踐與認識，2015,45(04)：232-235.

[12]崔保軍.橢圓曲線y2=px(x2+64)的正整數(shù)點[J].甘肅高師學報，2014,32(06)：962-963.

[13]萬飛.橢圓曲線y2=nx(x2-4)的整數(shù)點[J].湖北民族學院學報：自然科學版，2015,33(03)：271-272.

[14]袁平之，張中鋒.丟番圖方程ax4-by2=1[J].數(shù)學學報，2010,53(03)：443-454.

[責任編輯：關金玉英文編輯：劉彥哲]

Integral Points on Elliptic Curve y2=nx(x2-8)

ZHAO Jing-jing

(Department of Logistics Management,Dianxi Science and Technology Normal University,Lincang,Yunnan 677000,China)

ObjectiveElliptic curve is a basic investigated object of algebraic geometry and it is a very powerful tool to study Diophantine equation.The integral points on elliptic curves y2=nx(x2-8) are also unresolved.MethodsThe nature of Legendre symbol and congruence were used.ResultsLetnbe a positive prime such thatnis square free.It was proved that if every prime divisor pi(i∈Z+)ofnsatisfies pi≡±3(mod8),then the elliptic curve in title has integer points(±3,3),(0,0)whenn=3;the elliptic curve in title has only integer point(0,0) whenn≠3.ConclusionThese results promote the studies on elliptic curve of this kind.

elliptic curve;integeral point;Legendre symbol;odd prime

云南省教育廳科學研究項目(2014Y462)

趙晶晶(1985-)，女，彝族，云南鳳慶人，在讀碩士研究生。研究方向：數(shù)論及計算機應用技術。

O 156.1

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.09.001