基于拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)的局部激勵流動分離控制有效性分析方法

康偉， 張權(quán)麒， 代向艷， 劉磊

1.西北工業(yè)大學 航天學院， 西安　710072 2.空軍工程大學 航空航天工程學院 等離子體動力學重點實驗室， 西安　710038

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基于拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)的局部激勵流動分離控制有效性分析方法

康偉1,*， 張權(quán)麒1， 代向艷2， 劉磊1

1.西北工業(yè)大學 航天學院， 西安710072 2.空軍工程大學 航空航天工程學院 等離子體動力學重點實驗室， 西安710038

從流體輸運角度提出了用于局部周期激勵流動分離控制有效性研究的數(shù)值分析方法?；谟邢迺r間不變流形理論建立用于非定常流動的流體輸運分析方法, 并采用數(shù)值方法從非定常流場中提取得到吸引拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCSs)和排斥LCSs描述流體輸運行為。通過對局部周期激勵的流動分離控制規(guī)律的研究，結(jié)果表明存在三種與激勵頻率相關的影響翼型氣動特性的流體輸運模式，其中在鎖頻激勵下吸引LCSs在前緣形成的尖楔結(jié)構(gòu)有效增強主流與分離區(qū)流體的物質(zhì)交換，減小翼面流動分離區(qū)的面積，顯著提高翼型升力。

流動分離； 流動控制； 鎖頻； 流體輸運； 拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)； 增升

流動分離是影響翼型性能的重要流動現(xiàn)象之一。流動分離控制與分析對提高翼型的氣動性能有著重要的意義[1-3]。目前，對流動分離的描述主要采用Prandtl的分離準則[4]。但是，對于非定常流動，該方法能夠從歐拉角度描述某一瞬時流動分離特征，但無法有效刻畫非定常流動分離的時間關聯(lián)性，也不能對分離結(jié)構(gòu)的動力學特性進行有效分析。

從拉格朗日角度來看，流動分離在本質(zhì)上是一種流體輸運現(xiàn)象，即流體質(zhì)點從壁面附近進入到流體內(nèi)部的動力學過程。為了建立流體中輸運邊界的描述方法，Haller和Yuan[5]于2000年基于有限時間穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形提出了拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCSs)。進一步地，通過對不同時刻對應輸運邊界的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形之間的相交面(纏繞)，來分析主流與分離區(qū)之間流體的輸運變化。2006年Shadden等[6]應用該方法研究水母在自由移動時產(chǎn)生的渦環(huán)尾流中的物質(zhì)輸運作用，并與已有的歐拉描述方法進行了對比，發(fā)現(xiàn)對于非定常流動在拉格朗日坐標系下對輸運邊界的識別優(yōu)于歐拉描述方法。2011年Haller[7]重新定義了LCSs的數(shù)學方法，即沿著穩(wěn)定流形方向運動的物線中最短的即為有限時間穩(wěn)定流形，其附近任何其他物線將由于穩(wěn)定流形的排斥作用在其法線方向被拉伸。目前，LCSs已被應用于多個領域內(nèi)流動現(xiàn)象的研究中，如Mathur等[8]研究了湍流中的拉格朗日結(jié)構(gòu)，Beron-Vera等[9]對采用LCSs描述了海洋流動中大尺度渦系之間的作用關系，Lipinski等[10]將LCSs應用于二維翼型繞流中的渦脫落過程，國內(nèi)的楊岸龍等[11]采用LCSs研究了圓盤啟動過程的流體輸運規(guī)律。雷鵬飛等[12]采用LCSs對圓柱繞流的瞬態(tài)起動過程的動力學行為進行了分析。

本文基于LCSs建立流動分離控制規(guī)律的分析方法，旨在研究控制激勵對非定常流動分離及流動輸運的影響規(guī)律，探索其流動分離控制機理，為飛行器氣動設計與流動控制提供重要的理論參考依據(jù)。

1　流體輸運的描述方法

1.1拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)概述

從動力學的角度來看，流體微團在流動中會發(fā)生拉伸與壓縮的現(xiàn)象，而這些現(xiàn)象與動力系統(tǒng)中雙曲奇點的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形密切相關：沿穩(wěn)定流形被壓縮、沿不穩(wěn)定流形被拉伸。基于這個思路，Haller和Yuan[5]針對非定常流動提出了有限時間穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形，用于描述非定常流動、甚至湍流中的動力學行為。這些有限時間穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形構(gòu)成了LCSs。而有限時間穩(wěn)定和不穩(wěn)定流形可以由有限時間李雅普諾夫指數(shù)(Finite-Time Lyapunov Exponent，F(xiàn)TLE)來描述在有限時間內(nèi)的局部最大排斥和吸引度的跡線，即流體質(zhì)點與附近流體的距離在有限時間內(nèi)變化的程度。

對于定常和周期流動中穩(wěn)定與不穩(wěn)定流形所描述的流動結(jié)構(gòu)也可以看做是LCSs。

1.2拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)的計算方法

對于非定常流動，無量綱t0時刻x處的流體質(zhì)點可以通過跡線的定義式計算得到在t1時刻的流動速度。通過數(shù)值積分的方法即可得到x處流體質(zhì)點的新位置，記為映射形式：

(1)

則t0時刻到t1時刻該流體質(zhì)點的李雅普諾夫指數(shù)可以由式(2)計算得到：

(2)

通過計算流場中每一點(離散后)的FTLE場，即可得到流場中的FTLE分布。由Shadden等推導[13]可知，F(xiàn)TLE場中的等勢脊線對應流場中的LCSs。

采用中心差分來逼近式(2)中的導數(shù)。從計算所得的FTLE分布可以看到，當FTLE趨近于恒定時，所得的LCSs結(jié)構(gòu)能夠精確描述非定常流動分離等流動特征結(jié)構(gòu)。更重要的是不同時刻LCSs中穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形之間產(chǎn)生的纏繞所形成的區(qū)域(Lobes)[9]的面積及其演化過程能夠反映不同流動區(qū)域之間的流體輸運規(guī)律。

需要指出的是由于該方法是從非定常流場中的速度分布中提取得到FTLE場，進而得到LCSs。因此，該方法可以利用已有計算/試驗結(jié)果得到的流場數(shù)據(jù)來提取流場的流動特性，以達到分析流動特征的目的。因此，該方法的可靠性取決于計算或試驗結(jié)果的精度和準確性。若采用計算流體力學(CFD)或試驗方法所得的流場結(jié)果真實可信，則該方法即可用于所得流場結(jié)果的特征提取與分析中。

2　局部周期激勵的流動控制動力學模型

2.1局部激勵模型

激勵是采用外部能源供應引起翼面局部結(jié)構(gòu)變形的流動控制方式，例如壓電薄膜激勵，柔性膜強迫振動激勵等。其物理本質(zhì)是翼面局部以某一頻率進行等幅振動，引起流場擾動，進而改變流動狀態(tài)，達到流動控制的目的。參考文獻[14]對周期激勵位置與激勵區(qū)大小進行的總結(jié)，在沿弦向近上翼面前緣[0，0.1]處施加周期性的簡諧振動。圖1給出了局部周期激勵的示意圖。局部周期激勵表示為

(3)

以翼型弦長c和自由來流速度U∞進行無量綱化，則式(3)變?yōu)?/p>

(4)

圖1　局部周期激勵示意圖Fig.1　Schematic of local periodic actuation

2.2非定常流動的數(shù)值方法

針對二維非定常黏性不可壓流動，采用基于特征線有限元方法[15-17]求解非定常黏性流動控制方程。該算法的具體推導可參考文獻[2-3,18]，其中空間離散采用線性形函數(shù)的三角形單元，時間離散采用歐拉方法。動網(wǎng)格技術采用彈簧近似方法[19-20]。

圖2比較了雷諾數(shù)Re=100時靜止流體中振動圓柱的阻力系數(shù)CD，可以看出所提方法的計算結(jié)果與文獻結(jié)果[21]吻合良好。

圖2　Re=100時靜止流體中振動圓柱的阻力系數(shù)比較Fig.2　Comparison of drag coefficients for oscillating circular cylinder in water at rest at Re=100

3　結(jié)果分析

前期工作[1-3,18,22]已發(fā)現(xiàn)局部周期激勵對翼型升力具有增升效果，特別是流動特征頻率鎖定于激勵頻率時，翼型升力提高顯著。在本文中，fref的選取參考了作者采用局部柔性翼面自激振動得到最佳增升效果時對應的結(jié)構(gòu)基頻為參考頻率[3]。如圖3所示，迎角為6° 時，周期鎖頻激勵的増升ΔCL高達67%，但即使發(fā)生鎖頻，増升效果也有顯著不同[3]。

圖3　Re=5 000時不同激勵頻率下翼型升力系數(shù)的變化曲線[3]Fig.3　Variation of lift coefficients of airfoil with differentactuating frequencies at Re=5 000

本文采用所提方法選取Re=5 000,迎角為6° 時的四種典型激勵情況分析輸運特性與增升的關系，用于流動分離控制的規(guī)律分析。

3.1流體輸運分析

3.1.1剛性翼型的流體輸運特征

對于剛性翼型繞流，翼型附近的流動區(qū)域被吸引LCSs分為主流和流動分離區(qū)兩部分，如圖4(a)所示。在一個周期內(nèi)，翼型上表面附近的LCSs隨時間幾乎保持定常狀態(tài)，說明翼型上表面附近大部分區(qū)域內(nèi)流動分離區(qū)與主流的流體之間不存在物質(zhì)交換，在分離點下游形成大范圍流動死區(qū)。從圖5(a)可以看出流動死區(qū)對應的壓力分布相對較為平緩，對升力的貢獻起到消極影響。

在翼型后緣及尾跡內(nèi)，吸引LCSs與排斥LCSs相互纏繞形成的區(qū)域反映了主流與分離區(qū)域之間出現(xiàn)了物質(zhì)交換作用，如圖4(a)中分離泡內(nèi)區(qū)域沿著拉伸的LCSs逐漸向尾跡移動，最終形成具有負渦量的旋渦；主流內(nèi)區(qū)域的流體沿著LCSs逐漸向分離區(qū)內(nèi)部移動，但其移動范圍僅限于靠近翼型后緣的分離區(qū)域，分離點附近的流動死區(qū)則不受其影響。

3.1.2低頻激勵時翼型的流體輸運特征

當fe=0.5fref時，非定常流動過程與剛性翼型繞流相似。較剛性翼型情況，在激勵的作用下，流體從主流到分離區(qū)的輸運提前發(fā)生。主流內(nèi)流體在翼型中后部沿著LCSs向分離區(qū)內(nèi)部移動，使得主流流體被輸運到分離泡內(nèi)，如圖4(b)所示。

由伯努利方程可知旋渦附近的壁面壓力迅速減小。然而，由于激勵頻率較低，旋渦脫落周期長。當旋渦脫落后，翼型尾部上表面壓力迅速增大，甚至大于翼型下表面壓力，出現(xiàn)負的壓差，使翼型升力急劇下降(見圖5(b) t=3T/4)。因此，fe=0.5fref時的增升效果較弱。

3.1.3鎖頻激勵時翼型的流體輸運特征

當fe=0.9fref時，由于鎖頻激勵的作用，吸引LCSs在上翼面前緣處形成尖楔結(jié)構(gòu)(見圖5(c) t = 0時前緣附近)。這種尖楔結(jié)構(gòu)是由Van

圖4　Re=5 000時一個周期T內(nèi)四種典型激勵頻率下的流場拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)(LCSs)圖(紅色實線：吸引LCSs；黑色脊線：排斥LCSs)　Fig.4　Lagrangian coherent structures (LCSs) near the airfoil under four typical actuating frequencies at Re=5 000 (Red line: Attracting LCSs; Black ridge: Repelling LCSs)

圖5　一個周期T內(nèi)四種典型激勵頻率下的翼面壓力分布圖Fig.5　Pressure distribution on the airfoil under four typical actuating frequencies in a period T

Dommelen和Cowley[23]在流動分離的拉格朗日描述中首次發(fā)現(xiàn)的。尖楔結(jié)構(gòu)的形成如圖6所示[24]，初始平行于壁面的質(zhì)點隨時間沿著分離流線逐漸向流體內(nèi)部輸運，最終形成一尖銳突起。

圖6　定常流動分離中尖楔結(jié)構(gòu)的形成過程[24](藍色線：尖楔結(jié)構(gòu)；黑色線：流線)Fig.6　Formation of material spike in steady flow separation[24] (Blue line： Material spike;Black line：Streamline)

如圖6所示定常流動中分離流線與尖楔結(jié)構(gòu)相互重合，該結(jié)果驗證了所提描述方法的可靠性。而在非定常流動中，流線無法有效描述流體質(zhì)點的非定常流動分離動力學特性。而由于尖楔結(jié)構(gòu)建立于拉格朗日坐標系，因此它能夠描述流體質(zhì)點的非定常流動分離特性。

從圖4(c)中可以看出尖楔結(jié)構(gòu)以一定周期向下游拉伸，并向翼面折疊，將主流的高動能流體迅速向壁面附近輸運。隨著尖楔結(jié)構(gòu)向下游移動的過程中，排斥LCSs和吸引LCSs相互纏繞，表明流體從主流向分離區(qū)輸運，大幅提高了壁面附近流體的動能，減小了流動死區(qū)面積(對比圖4中的綠色陰影區(qū)域面積)。從壓力云圖5(c)中也可以看到分離泡內(nèi)部保持著較低的壓力分布，因而翼型升力顯著提高。

3.1.4高頻非鎖頻激勵時翼型的流體輸運特征

當fe=2.0fref時，在翼面上表面雖然也產(chǎn)生了尖楔結(jié)構(gòu)，但是排斥LCSs與吸引LCSs幾乎重合，并向遠離翼面方向發(fā)展。這表明主流流體不再向流動分離區(qū)內(nèi)部輸運，導致流體無法將足夠的動能傳遞到邊界層內(nèi)。相應地，在翼面后緣區(qū)形成了較大范圍的死水區(qū)(如圖4(d)中的綠色陰影區(qū)域面積)。如圖5(d)所示，翼型上表面壓力降低效果減弱，無法有效提高翼型升力。

3.2流動分離控制規(guī)律分析

從不同激勵頻率下流體輸運規(guī)律可以看出，激勵作用存在不同的流動模式，模式A：鎖頻激勵時，尖楔結(jié)構(gòu)在前緣產(chǎn)生，向下游拉伸并向翼面折疊，這使得翼面的LCSs結(jié)構(gòu)在前緣附近發(fā)生纏繞，促進主流與分離區(qū)的流動輸運作用，此時增升效果良好。模式B：低頻激勵時，翼面LCSs結(jié)構(gòu)只在后緣附近發(fā)生纏繞，由于位置接近后緣，不利于主流與翼面分離區(qū)的流體輸運，此時增升效果差。模式C：高頻非鎖頻激勵時，翼面的吸引LCSs與排斥LCSs重合，無法從主流向分離區(qū)進行流體輸運，這時増升效果差。

4　結(jié)　論

1) 文中所提的流體輸運分析方法能夠用于流動分離控制的有效性分析, 為飛行器氣動設計與流動控制提供理論指導與參考依據(jù)。

2) 從非定常流動中提取的吸引LCSs與排斥LCSs的纏繞與折疊反映了翼型主流與流動分離區(qū)的流體輸運情況。

3) 鎖頻激勵能夠有效增強主流與分離區(qū)流體輸運作用。這時，翼面流動分離區(qū)的面積最小，翼型上表面壓力降低。

4) 通過對流場LCSs的分析可知，激勵頻率相關的影響翼型氣動特性的流體輸運模式可以分為三類：① 鎖頻激勵時，前緣產(chǎn)生的尖楔結(jié)構(gòu)能夠使得翼面的LCSs結(jié)構(gòu)在前緣附近發(fā)生纏繞，促進主流與分離區(qū)的流動輸運作用；② 低頻激勵時，翼面LCSs結(jié)構(gòu)只在后緣附近發(fā)生纏繞，不利于主流與翼面分離區(qū)的流體輸運;③ 高頻非鎖頻激勵時，翼面的吸引LCSs與排斥LCSs重合，無法從主流向分離區(qū)進行流體輸運。

下一步將應用所提方法對機翼繞流的三維流動分離特征進行研究。

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康偉男， 博士， 講師。主要研究方向： 氣動彈性與流動控制。

Tel.: 029-88494614

E-mail: wkang@nwpu.edu.cn

張權(quán)麒男， 大學本科生。主要研究方向： 流動控制。

Tel.: 029-88494614

E-mail: wkang@nwpu.edu.cn

代向艷女， 博士研究生。主要研究方向： 氣動彈性與流動控制。

Tel.: 029-88494614

E-mail: daixiangyan302@163.com

劉磊男， 碩士研究生。主要研究方向： 氣動伺服彈性。

Tel.: 029-88494614

E-mail: wkang@nwpu.edu.cn

A method for effectiveness analysis of flow separation control bylocal actuation based on Lagrangian coherent structures

KANG Wei1，*， ZHANG Quanqi1， DAI Xiangyan2， LIU Lei1

1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an710072, China 2. Science and Technology on Plasma Dynamics Laboratory, School of Aeronautics and Astronautics Engineering,Airforce Engineering University, Xi’an710038, China

A numerical method for the effectiveness analysis for the flow separation control by local periodic actuation is presented from the perspective of fluid transport. Finite time invariant manifold theory is used for the establishment for fluid transport analysis of unsteady flow. The attracting Lagrangian coherent structures (LCSs) and the repelling LCSs are extracted from the unsteady flow field using numerical method to describe the behaviors of fluid transport. Study on the flow separation control of local periodic excitation indicates that there exist three kinds of fluid transport mode with actuating frequency affecting the aerodynamic performance of the airfoil. In particular, as the actuation with lock-in frequency is activated, the material spike formed at the leading edge from the attracting LCSs effectively enhances the fluid exchange between mainstream and separation region, which reduces the area of separation zone, and significantly improves the airfoil lift.

flow separation; flow control; frequency lock-in; fluid transport; Lagrangian coherent structure; lift enhancement

2015-09-16； Revised： 2015-11-10； Accepted： 2015-12-30； Published online： 2016-01-2516：38

s： National Natural Science Foundation of China (11402212); the Fundamental Research Funds for the Central Universities (3102014JCQ01002)

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2015-09-16； 退修日期： 2015-11-10； 錄用日期： 2015-12-30；

時間： 2016-01-2516：38

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160125.1638.006.html

國家自然科學基金 (11402212)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金 (3102014JCQ01002)

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10.7527/S1000-6893.2015.0363

V211.3

A

1000-6893(2016)08-2490-08

引用格式： 康偉， 張權(quán)麒， 代向艷, 等． 基于拉格朗日擬序結(jié)構(gòu)的局部激勵流動分離控制有效性分析方法[J]． 航空學報, 2016, 37(8): 2490-2497. KANG W, ZHANG Q Q, DAI X Y, et al. A method for effectiveness analysis of flow separation control by local actuation based on Lagrangian coherent structures[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(8): 2490-2497.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160125.1638.006.html