飛行器動態(tài)穩(wěn)定性參數(shù)計算方法研究進展

劉緒， 劉偉， 柴振霞， 楊小亮

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 長沙　410073

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飛行器動態(tài)穩(wěn)定性參數(shù)計算方法研究進展

劉緒， 劉偉*， 柴振霞， 楊小亮

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 長沙410073

動態(tài)穩(wěn)定性參數(shù)(簡稱動導(dǎo)數(shù))是飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計、飛行器動不穩(wěn)定發(fā)生邊界分析及相應(yīng)動態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)研究的關(guān)鍵氣動參數(shù)。在對飛行穩(wěn)定性問題進行概述的基礎(chǔ)上，介紹飛行器動態(tài)穩(wěn)定性參數(shù)數(shù)值模擬的國內(nèi)外研究進展。并按照理論方法、工程近似方法及計算流體力學(xué)(CFD)模擬方法的動導(dǎo)數(shù)發(fā)展方向?qū)陙碇饕膭訉?dǎo)數(shù)計算方法進行了綜述，評價了各種動導(dǎo)數(shù)預(yù)測方法的優(yōu)缺點，指出了動導(dǎo)數(shù)數(shù)值模擬在理論基礎(chǔ)、非定常氣動力建模、預(yù)測方法精度和效率等方面存在的問題。最后對動導(dǎo)數(shù)數(shù)值模擬的發(fā)展趨勢進行了展望。

數(shù)值方法； 計算流體力學(xué)； 穩(wěn)定性； 時域分析； 動導(dǎo)數(shù)

飛行器設(shè)計與開發(fā)過程中，獲得飛行包線內(nèi)的動態(tài)操穩(wěn)特性難度大、成本高。激波誘導(dǎo)的流動分離、旋渦的運動與破裂使流體運動呈現(xiàn)強烈的不穩(wěn)定、非線性特性，通常給飛行器帶來超出預(yù)期的空氣動力學(xué)效應(yīng)，甚至產(chǎn)生某些顛覆性后果[1]。在飛行器設(shè)計階段人們難以預(yù)知動態(tài)操穩(wěn)特性的邊界以及動態(tài)問題的嚴重程度，在飛行試驗階段暴露出的動態(tài)穩(wěn)定性問題導(dǎo)致了飛行器設(shè)計周期成倍增加、設(shè)計成本大幅增長以及局部修型帶來的不可避免的飛行器性能損失[2]。21世紀(jì)以來，飛行器設(shè)計中發(fā)現(xiàn)存在的動態(tài)穩(wěn)定性問題屢見不鮮[3]。為了更好地從流動機理層面理解飛行穩(wěn)定性惡化產(chǎn)生的原因，計算流體力學(xué)(CFD)方法廣泛應(yīng)用于動態(tài)飛行品質(zhì)問題的研究中[4]。一套成熟可靠的飛行器動態(tài)穩(wěn)定性分析方法可以對不同的飛行器設(shè)計方案進行評估篩選，最大程度地降低飛行器設(shè)計成本，減少風(fēng)險[5]。

為解決飛行的穩(wěn)定性問題，在飛行器設(shè)計過程中必須開展飛機運動規(guī)律及其在擾動作用下的運動穩(wěn)定性研究[6]。為了求解描述飛行器運動的六自由度運動方程，需要把氣動力負載的影響表示為瞬時運動狀態(tài)參數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)[7]。這樣就引出了動態(tài)穩(wěn)定性參數(shù)(Dynamic Stability Derivatives)，工程上簡稱為動導(dǎo)數(shù)[8]。動導(dǎo)數(shù)在實際應(yīng)用上的需求體現(xiàn)在3個方面[1]：

1) 動導(dǎo)數(shù)是飛行器軌道設(shè)計時的重要參數(shù)[9]。

2) 動導(dǎo)數(shù)是姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計中的重要參數(shù)[10]?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計往往以動導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)確定放大系數(shù)或增益系數(shù)。

3) 動導(dǎo)數(shù)是飛機動態(tài)穩(wěn)定性分析與飛行品質(zhì)分析的重要參數(shù)。

本文在對飛行穩(wěn)定性與動導(dǎo)數(shù)問題進行概述的基礎(chǔ)上，介紹飛行器動導(dǎo)數(shù)數(shù)值模擬的國內(nèi)外研究進展。并按照理論方法、工程近似方法及CFD模擬方法的動導(dǎo)數(shù)發(fā)展方向?qū)陙碇饕膭訉?dǎo)數(shù)計算方法進行了綜述分析。最后提出了動導(dǎo)數(shù)數(shù)值預(yù)測技術(shù)進一步研究發(fā)展的內(nèi)容。

1　飛行穩(wěn)定性中的動導(dǎo)數(shù)問題

飛行過程中大氣湍流、非對稱轉(zhuǎn)捩、底部流動干擾及實施機動動作等各種擾動可以引起激波誘導(dǎo)的邊界層分離、旋渦的運動與破裂等復(fù)雜氣動現(xiàn)象，造成飛行器動態(tài)穩(wěn)定性問題。

動導(dǎo)數(shù)直接決定了飛行器開環(huán)系統(tǒng)受到擾動時振蕩的斂散特性。圖1給出了飛行器對稱定直飛行狀態(tài)及受擾后的5種運動狀態(tài)。對無控飛行器來說動導(dǎo)數(shù)預(yù)測必不可少，直接決定了飛行穩(wěn)定性。

飛行器閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于氣動穩(wěn)定性，更主要與控制系統(tǒng)相關(guān)，控制系統(tǒng)可以通過姿態(tài)面和角速率的反饋來改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。動導(dǎo)數(shù)決定了控制系統(tǒng)的增益系數(shù)。如果反饋增益的調(diào)節(jié)取得太大，雖然飛行穩(wěn)定性好，但飛行器的機動性能下降，操縱品質(zhì)與飛行品質(zhì)變差。飛行器的動態(tài)特性具有以下一些主要特征：

1) 飛行器的縱/橫向耦合運動導(dǎo)致氣動力出現(xiàn)交叉-耦合干擾，產(chǎn)生橫側(cè)向穩(wěn)定性、縱橫向耦合穩(wěn)定性問題。此時橫側(cè)向交叉導(dǎo)數(shù)，縱橫向交叉耦合導(dǎo)數(shù)顯著影響飛行穩(wěn)定性。飛行器縱向或橫向的振動幅度和頻率隨運動姿態(tài)角及其變化速率呈非線性變化[11]，振動過程可能是收斂的，也可能是發(fā)散的；振動幅度可能只有幾度，也可能大到幾十度，甚至發(fā)散；振動頻率可大可小。

3) 飛行器動態(tài)穩(wěn)定特性對于迎角有強烈的非線性關(guān)系，在特殊迎角附近，很小的迎角變化會引起動導(dǎo)數(shù)量級的變化，甚至改變符號[12]。

圖1　飛行器對稱定直飛行狀態(tài)及受擾后的5種運動狀態(tài)Fig.1　Aircraft’s steady linear flight state and fivemotion states after disturbance

上述問題的解決依賴于飛行器動態(tài)穩(wěn)定性預(yù)測技術(shù)的發(fā)展。飛行器的動導(dǎo)數(shù)計算將為飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計、飛行器動不穩(wěn)定發(fā)生的邊界分析及相應(yīng)的動態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)研究提供關(guān)鍵氣動參數(shù)。

2　動導(dǎo)數(shù)計算面臨的問題和挑戰(zhàn)

目前，隨著中國飛行器技術(shù)的飛速發(fā)展，動導(dǎo)數(shù)在工程上的需求也日益增加。表1給出了主要的動態(tài)力矩導(dǎo)數(shù)[12]，表中：Cl、Cm和Cn分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航力矩系數(shù)；α和β為迎角和側(cè)滑角；p、q和r分別為滾動軸、俯仰軸和偏航軸的角速度分量。美國在航天飛機的研制過程中對動態(tài)參數(shù)的風(fēng)洞試驗和數(shù)值計算做了大量的工作[1]。幾十年來，人們通過理論分析、數(shù)值計算和風(fēng)洞試驗，對動導(dǎo)數(shù)開展了大量的研究工作，取得了很大的成果，但依然面臨精度與效率低、預(yù)測種類少、工程化應(yīng)用經(jīng)驗不足等各方面問題。

表1　主要的動態(tài)力矩導(dǎo)數(shù)[12]

2.1動導(dǎo)數(shù)理論基礎(chǔ)及非定常氣動力建模

目前，動導(dǎo)數(shù)的研究還有許多困難，這些困難很大程度上來自于動態(tài)穩(wěn)定性參數(shù)理論上的不完善。長期以來，動導(dǎo)數(shù)一直是工程設(shè)計中的概念，對于它的確切含義、適用范圍和影響動導(dǎo)數(shù)的因素，人們的理解還不盡一致。而這種不一致性，造成了實際應(yīng)用中非定常氣動力建模方面的不一致性[1]。

最早的數(shù)學(xué)模型由Bryan等[13-14]提出。Bryan等認為空氣動力和力矩就是擾動速度、控制角度和其速率瞬時值的函數(shù)，即

(1)

式中：Cλ為氣動力/力矩。

后來Etkin和Reid認為飛行器運動時所受的氣動力/力矩系數(shù)是狀態(tài)參數(shù)的泛函[15]。這個泛函關(guān)系表示為

(2)

式中：L為升力；t為時間。

Etkin模型比Bryan模型更具有普遍意義，但Etkin模型無法解釋實際飛行中常見的一些瞬態(tài)響應(yīng)，更不用說解釋由于失速造成的氣動力/力矩的突變以及由于非定常流動中的分叉、混沌造成的氣動力/力矩多值和不確定現(xiàn)象了[16]。針對這一缺陷，Tobak和Schiff[17-18]采用指示函數(shù)作為氣動力的泛函，得到氣動力與狀態(tài)變量之間的普遍函數(shù)關(guān)系，建立了確定非定常氣動力的指示函數(shù)法[19]。雖然Tobak和Schiff根據(jù)指示函數(shù)的概念對氣動力的表述形式在數(shù)學(xué)上是完備的，但非線性指示函數(shù)的確定非常困難，不可能直接求解這個微分積分系統(tǒng)，因此必須對其進行簡化處理[20]。

任玉新等利用Tobak和Schiff的非線性指示函數(shù)的方法，首先得出氣動力/力矩的指示泛函表達式，然后以此為基礎(chǔ)，討論氣動力/力矩和相空間變量之間的函數(shù)關(guān)系，發(fā)展了改進的Etkin模型[21]。對于一般的運動形式，氣動力/力矩系數(shù)Cλ是狀態(tài)變量α、β、p、q、r及其各階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，即

(3)

(4)

式中：下標(biāo)“0”表示在基準(zhǔn)狀態(tài)下的取值，其中所有的偏導(dǎo)數(shù)為改進的Etkin模型中的動導(dǎo)數(shù)。

Cowley和Glauert認為[22]，Bryan和Etkin模型的氣動參數(shù)并不隨著時間變化。在非定常氣動研究中，這一假設(shè)經(jīng)常受到他人的質(zhì)疑[23-24]。改進的Etkin模型與原模型相比在基準(zhǔn)狀態(tài)參數(shù)中包括時間t，計算或測量出的動導(dǎo)數(shù)一般是隨時間變化的，這一點和動導(dǎo)數(shù)的含義相一致。為了更好地描述動態(tài)特性在大振幅時出現(xiàn)的非線性特征，文獻[25]基于改進的Etkin模型，采用參數(shù)化的動導(dǎo)數(shù)概念建立了非定常氣動參數(shù)模型。

圖2和圖3分別給出了采用參數(shù)化動導(dǎo)數(shù)模型預(yù)測的類X-51內(nèi)外流一體化外形和鈍錐標(biāo)模的非定常運動與時域計算的對比結(jié)果。圖2中：σ為總壓恢復(fù)系數(shù)；αm為振幅。圖3中：dθ/dt為俯仰角速度。圖中的曲線為非定常時域計算數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)點表示參數(shù)化的動導(dǎo)數(shù)模型計算得到的非定常數(shù)據(jù)。從圖2給出的復(fù)雜內(nèi)外流一體化外形的氣動力和流場參數(shù)的對比來看，參數(shù)化的動導(dǎo)數(shù)模型與CFD預(yù)測的強迫振動非線性結(jié)果基本一致，取得了較好的效果。圖3也同時反映出參數(shù)化的動導(dǎo)數(shù)模型對自由振動力矩系數(shù)的計算與時域方法的計算結(jié)果吻合。綜合強迫振動和自由振動的初步模擬結(jié)果，采用基于參數(shù)化動導(dǎo)數(shù)概念的氣動模型來表達非線性條件下的氣動力數(shù)據(jù)及流場參數(shù)能夠達到較好的精度。

圖2　類X-51外形大振幅強迫振動遲滯環(huán)曲線Fig.2　Large-amplitude vibration hysteresis curves of a X-51A-like hypersonic vehicle

圖3　鈍錐標(biāo)模自由振動的時間歷程和相曲線Fig.3　Free vibration time history and phase curves of a blunted cone calibration model

2.2動導(dǎo)數(shù)計算的精度和效率

動導(dǎo)數(shù)與非定?？諝鈩恿W(xué)密切相關(guān)，非定常流場的準(zhǔn)確模擬是動導(dǎo)數(shù)計算的重要基礎(chǔ)。20世紀(jì)50年代至90年代期間，細長體理論(Slender-Body Theory, SBT)[26]、升力面理論[27]和牛頓理論[28]等工程算法是動導(dǎo)數(shù)計算采用的主要方法。其優(yōu)點是效率高，但精度較低。為了彌補這一缺點，1969年Hui提出了動導(dǎo)數(shù)求解的攝動法[29]，精度有了明顯提高。隨著現(xiàn)代戰(zhàn)斗機的機動性、敏捷性及作戰(zhàn)效能的提升，對于大迎角或有側(cè)滑角的飛行，復(fù)雜的非定常流動現(xiàn)象對動導(dǎo)數(shù)有重要影響[30]，工程算法和攝動法依然難以滿足動導(dǎo)數(shù)的求解精度。

隨著CFD的成熟發(fā)展與廣泛應(yīng)用，20世紀(jì)90年代后期基于CFD的動導(dǎo)數(shù)計算方法得到了蓬勃發(fā)展。任玉新等[31-32]通過求解非慣性系下的歐拉方程和敏感性方程，發(fā)展了基于敏感性分析的氣動穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)數(shù)值計算方法，并在三維問題中得到應(yīng)用[33]。劉偉等數(shù)值模擬了飛行器的強迫簡諧振動，發(fā)展了滾轉(zhuǎn)阻尼導(dǎo)數(shù)[34]、偏航阻尼導(dǎo)數(shù)[35]和俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)[36]的數(shù)值計算方法。袁先旭等[37-39]數(shù)值計算了HBS(Hyper Ballistic Shape)外形、尖/鈍錐外形以及飛船返回艙的俯仰動靜導(dǎo)數(shù)，預(yù)測動態(tài)失穩(wěn)現(xiàn)象、臨界參數(shù)和失穩(wěn)后的極限環(huán)運動形態(tài)[40]。21世紀(jì)以來，隨著CFD動網(wǎng)格技術(shù)的進一步發(fā)展應(yīng)用，史愛明[41]和盧學(xué)成[42]等采用非結(jié)構(gòu)動態(tài)網(wǎng)格重構(gòu)技術(shù)計算了超聲速導(dǎo)彈的動導(dǎo)數(shù)，陶洋等也使用動態(tài)變形網(wǎng)格對Finner導(dǎo)彈[43]及方形截面導(dǎo)彈[44]的動導(dǎo)數(shù)進行了數(shù)值計算。此外范晶晶[45]、陳東陽[46-47]和黃龍?zhí)玔48]等也使用不同CFD工具對包括翼型、有翼導(dǎo)彈以及多種實際的飛機模型進行了動導(dǎo)數(shù)計算，得到了與風(fēng)洞試驗值吻合較好的結(jié)果。

模擬飛行器強迫/自由振動的CFD方法最大的困難是效率較低。非定常計算效率成為CFD在動導(dǎo)數(shù)方面應(yīng)用的瓶頸，迫切需要開展動導(dǎo)數(shù)高效計算方法研究。飛行包線內(nèi)的氣動力和力矩數(shù)據(jù)量級能夠達到數(shù)十萬至數(shù)百萬，并且預(yù)測動導(dǎo)數(shù)需要計算與時間相關(guān)的動態(tài)非定常氣動響應(yīng)，因此目前采用CFD求解一條飛行包線上的動導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)所花費的代價非常昂貴。在飛行器及流動問題比較復(fù)雜的情況下，計算耗費往往難以忍受。

目前在飛行器型號設(shè)計初期，動導(dǎo)數(shù)的工程近似方法依然是滿足動導(dǎo)數(shù)快速分析需求的重要手段[49]。此外，國內(nèi)外針對動導(dǎo)數(shù)的CFD高效計算方法也開展了相應(yīng)研究。蔣勝矩等[50]在物面無滑移邊界條件的基礎(chǔ)上施加物面繞體軸的切向速度，通過求解定常Navier-Stokes(N-S)方程得到了滾轉(zhuǎn)阻尼導(dǎo)數(shù)，提高了計算效率。準(zhǔn)定常計算方法[51]和非定常頻域計算方法[52]也相繼應(yīng)用于動導(dǎo)數(shù)的計算。但這類方法均為非定常時域方法的簡化近似，其適用范圍及計算精度有待于深入研究。此外，還應(yīng)進一步開展CFD時域方法中與高性能計算機體系結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的大規(guī)模并行技術(shù)研究[53]、CFD加速收斂技術(shù)研究[54]、基于Kriging差值的加速方法研究[55-56]，在保證動導(dǎo)數(shù)計算精度的前提下提高計算效率。

2.3不同類型的動導(dǎo)數(shù)預(yù)測

在飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計及軌道(彈道)設(shè)計中，所需要的動導(dǎo)數(shù)有數(shù)十個之多。對于不同的氣動構(gòu)型或研究不同的問題，表1中各個動導(dǎo)數(shù)的重要性會有所區(qū)別。目前國內(nèi)外文獻主要是研究繞定軸振動時俯仰、偏航或滾轉(zhuǎn)3個方向的直接阻尼導(dǎo)數(shù)，而對交叉導(dǎo)數(shù)、交叉耦合導(dǎo)數(shù)、加速度導(dǎo)數(shù)及旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算較少涉及。

2.3.1交叉導(dǎo)數(shù)和交叉耦合導(dǎo)數(shù)

如第1節(jié)所述，交叉導(dǎo)數(shù)和交叉耦合導(dǎo)數(shù)是反映飛行器縱橫向交叉耦合效應(yīng)和橫側(cè)向交叉效應(yīng)的重要參數(shù)，文獻[57]給出了其計算方法。但相對于直接阻尼導(dǎo)數(shù)，交叉導(dǎo)數(shù)和交叉耦合導(dǎo)數(shù)的不確定度較高。這是因為這類動導(dǎo)數(shù)量級比較小，并且需要數(shù)值方法能精確模擬流動非對稱現(xiàn)象。目前計算和試驗對交叉導(dǎo)數(shù)和交叉耦合導(dǎo)數(shù)預(yù)測經(jīng)驗不足，計算和試驗的對比數(shù)據(jù)較為缺乏。應(yīng)進一步開展這方面研究，提高交叉導(dǎo)數(shù)和交叉耦合導(dǎo)數(shù)預(yù)測的可靠性。

2.3.2加速度導(dǎo)數(shù)和旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)

直接阻尼導(dǎo)數(shù)是旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)和加速度導(dǎo)數(shù)的組合。馬東立和葉川采用CFD方法研究了帶翼潛航器[58]及升力浮力復(fù)合型飛艇[59]的加速度導(dǎo)數(shù)，指出了兩種外形均不能將加速度導(dǎo)數(shù)簡化為附加質(zhì)量系數(shù)。文獻[25]計算了美國海軍旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定式火箭彈ANSR(Army-Navy Spinner Rocket)及內(nèi)外流一體化外形的加速度導(dǎo)數(shù)，結(jié)果表明在某些情況下反映流動時滯效應(yīng)的加速度導(dǎo)數(shù)占直接阻尼導(dǎo)數(shù)的比例最高可以達到40%以上，而在某些情況與直接阻尼導(dǎo)數(shù)符號相反。米百剛[60]和席柯[61]等針對加速度導(dǎo)數(shù)的研究也得到了類似結(jié)論。

總的來說，目前動導(dǎo)數(shù)的研究大多圍繞繞定軸振動的組合導(dǎo)數(shù)，針對加速度導(dǎo)數(shù)和旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)的研究較少，現(xiàn)有的結(jié)論也大多基于縱向阻尼導(dǎo)數(shù)。關(guān)于這部分研究特別是飛行器橫側(cè)向的加速度導(dǎo)數(shù)，仍有大量工作要做。

2.4動導(dǎo)數(shù)在復(fù)雜外形中的工程應(yīng)用

文獻中常見的動導(dǎo)數(shù)計算外形大多采用較為簡單的旋成體外形，例如尖/鈍錐、HBS導(dǎo)彈、Finner標(biāo)模、M910子彈。針對較為復(fù)雜的真實工程外形較為少見。馬東立和葉川開展了帶翼潛航器[58]、升力浮力復(fù)合型飛艇[59]、有翼導(dǎo)彈和水上飛機[62]的動導(dǎo)數(shù)計算。文獻[25]開展了類X-51A內(nèi)外流一體化外形的動導(dǎo)數(shù)計算。針對工程外形的動導(dǎo)數(shù)計算的困難取決于非定常流場的復(fù)雜程度。例如在超聲速條件下，激波誘導(dǎo)分離、旋渦運動與破裂以及它們之間的相互作用使得流動形態(tài)十分復(fù)雜。高超聲速內(nèi)外流一體化外形飛行器從助推火箭分離到發(fā)動機點火的短時問內(nèi)，飛行器經(jīng)歷3種工作狀態(tài)：進氣道關(guān)閉、進氣道開啟和噴流狀態(tài)。研究發(fā)動機不同工況的飛行穩(wěn)定性對內(nèi)外流一體化構(gòu)型設(shè)計具有重要意義。

目前的動導(dǎo)數(shù)模擬效率不能滿足復(fù)雜工程外形的動導(dǎo)數(shù)計算需求。對真實工程外形的復(fù)雜非定常流場的精確模擬是動導(dǎo)數(shù)計算的重要前提，也是構(gòu)成飛行器動態(tài)穩(wěn)定性問題的復(fù)雜性和艱巨性的重要原因。

3　動導(dǎo)數(shù)理論及工程計算方法

3.1理論計算

動導(dǎo)數(shù)的理論計算早期針對一些比較簡單的物形，比較簡單的運動為研究對象，目前隨著數(shù)值計算的發(fā)展已不再采用。理論方法都建立在許多苛刻的簡化假定的基礎(chǔ)上，如位勢流理論、小擾動線化理論等。Theodorsen[63]最早在1933年利用不可壓無黏流假設(shè)下給出了二維機翼(NACA0012)做簡諧運動時非定常氣動力的表達式，計算得到了俯仰力矩的時滯導(dǎo)數(shù)和旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)。

3.2工程近似方法

動導(dǎo)數(shù)的工程近似方法考慮了線化的空氣動力學(xué)理論和經(jīng)驗關(guān)系[64]，是一種經(jīng)驗和半經(jīng)驗的方法。工程近似方法與CFD方法相比精度較低，但其最大的優(yōu)勢在于快捷高效[65]，因此在飛行器概念設(shè)計階段，通常采用工程估算快速獲得飛行器的氣動特性[66]。

圖4給出了5口徑美國海軍旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定式火箭彈ANSR采用SBT[67]與強迫振動CFD[25]求解的動導(dǎo)數(shù)對比。ANSR模型結(jié)果顯示，SBT在動導(dǎo)數(shù)的預(yù)測趨勢上與CFD符合，但數(shù)值上存在量級甚至符號的差別，僅在個別點處取得一致。East和Hutt[68]通過對比高超聲速導(dǎo)彈標(biāo)模HBS以及尖/鈍錐標(biāo)模外形的動導(dǎo)數(shù)試驗與工程計算結(jié)果，指出工程方法依賴于經(jīng)驗性，只適用于不考慮邊界層轉(zhuǎn)捩、流動的分離和再附以及復(fù)雜背風(fēng)區(qū)渦流情況下的小迎角線性范圍。

圖4　細長體理論(SBT)與CFD強迫振動求解結(jié)果對比Fig.4　Comparison between results obtained from slender-body theory (SBT) and those from CFD forced vibration algorithm

工程近似方法在亞聲速時以SBT和升力面理論為主[69]，而超、高超聲速時主要集中于活塞理論、激波/膨脹波比擬以及修正牛頓理論、內(nèi)伏牛頓理論(Embedded Newtonian Method)、牛頓-玻爾茲曼理論等一些基于牛頓理論發(fā)展而來的方法[70-71]。對于縱向動導(dǎo)數(shù)可以提供亞、跨、超聲速范圍的工程近似方法。對橫航向動導(dǎo)數(shù)主要提供亞聲速情況下的工程近似方法，關(guān)于跨、超聲速下的橫航向動導(dǎo)數(shù)，目前尚無合適的估算方法[72]。確定動導(dǎo)數(shù)的半經(jīng)驗方法可參見飛行力學(xué)書籍[73]，以及相關(guān)的飛機設(shè)計手冊[74]。下面針對工程近似方法中最重要的牛頓理論和基于CFD技術(shù)的當(dāng)?shù)鼗钊碚撜归_綜述。

3.2.1牛頓理論

牛頓理論只能用于高超聲速流動，其理論假定流體粒子間互不干擾，它們與物面碰撞后，法向動量傳給物面，且沿物面以零切向加速度運動。對牛頓理論的一個簡單的半經(jīng)驗修正為

(5)

式中：(Cp)MNewt為牛頓理論半經(jīng)驗修正的壓力系數(shù)；Cpmax為駐點壓力系數(shù)；Vn為垂直物面的流體運動速度；V∞為來流速度。Tobak和Wehrend最早在1956年用修正的牛頓理論計算了錐體的動導(dǎo)數(shù)[75]。

牛頓理論有很大的局限性。Busemann[76]認為，在激波層中，流體粒子的軌跡是彎曲的，在計算物面壓力時，必須考慮由此引起的離心力效應(yīng)。

Psurface=PNewt+Pcent

(6)

式中：Psurface為物面壓力；PNewt為牛頓理論計算出的壓力；Pcent為離心力修正。Hui[29]針對有脫體激波的三角翼，求解定常參考流動時，使用了Messiter的薄層激波近似[77]。Hui注意到，非定常牛頓流理論加上離心修正時，與比熱比γ→1、馬赫數(shù)Ma→∞時的氣體動力學(xué)理論完全一致[78]。在這個基礎(chǔ)上，Hui和Tobak[79]發(fā)展了非定常的牛頓-波爾茲曼理論，用來計算翼型、楔和錐體的動導(dǎo)數(shù)。

牛頓-波爾茲曼理論適用于馬赫數(shù)很高，激波層很薄且充分靠近壁面的情況。對于鈍頭體，這個條件不能滿足。為了解決這個問題，一些基于牛頓或牛頓-波爾茲曼理論的半經(jīng)驗方法得到了發(fā)展。Seiff在1962年提出了內(nèi)伏牛頓流理論來處理有限厚度激波層中的流動[80]。Ericsson[81]發(fā)展了Seiff的理論[80]，來處理非定常流動，并用來計算高超聲速飛行器的動導(dǎo)數(shù)。后來，Ericsson[82]改進了自己的方法，進一步降低了馬赫數(shù)的限制，Ericsson的方法通常稱為非定常內(nèi)伏牛頓流理論。

國內(nèi)的童秉綱(Tong)和Hui把牛頓-波爾茲曼理論和非定常的內(nèi)伏牛頓流理論結(jié)合起來，發(fā)展了半經(jīng)驗的非定常內(nèi)伏牛頓-波爾茲曼理論[71]，對高超聲速鈍頭體的動導(dǎo)數(shù)進行了研究。劉偉和沈清[83]利用非定常內(nèi)伏牛頓計算倒錐體的俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)，可應(yīng)用于3

3.2.2活塞理論

活塞理論適用于超聲速非定常氣動力計算，壓力p采用式(7)計算。

(7)

式中：p∞為來流靜壓；w為下洗速度?；钊碚摻?jīng)過Van Dyke[84]和Lighthill[85]的發(fā)展，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于非定常氣動力的計算。陳勁松[86]根據(jù)當(dāng)?shù)亓骰钊碚摵推瑮l理論給出超聲速和高超聲速尖前緣三維機翼俯仰導(dǎo)數(shù)的近似解析方法，在菱形翼、雙圓弧形翼及三角翼中得到應(yīng)用。

為了提高活塞理論的計算精度，張偉偉等[87-88]發(fā)展了基于CFD技術(shù)的當(dāng)?shù)亓骰钊碚摗Ｔ摲椒ㄖ恍枰肅FD方法求解一次定常流場，再運用活塞理論計算非定常氣動力，充分發(fā)揮了CFD技術(shù)高精度和當(dāng)?shù)亓骰钊碚摳咝实奶攸c。2013年張偉偉等[89]在前述工作的基礎(chǔ)上，發(fā)展了超聲速、高超聲速外形動導(dǎo)數(shù)的活塞理論求解方法，并通過Finner標(biāo)模及尖錐外形開展了標(biāo)準(zhǔn)算例驗證。圖5給出了尖錐外形俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)的內(nèi)伏牛頓理論、活塞理論與試驗結(jié)果的比較[89]，反映出內(nèi)伏牛頓理論與基于CFD技術(shù)的當(dāng)?shù)亓骰钊碚摰挠嬎憬Y(jié)果在數(shù)值上基本相同，內(nèi)伏牛頓理論結(jié)果與試驗值更加接近。

圖5　內(nèi)伏牛頓理論、活塞理論與試驗結(jié)果動導(dǎo)數(shù)對比[89]Fig.5　Comparison of dynamic derivatives between those obtained with embedded Newton method, piston theory, as well as test results[89]

4　動導(dǎo)數(shù)時域計算方法

4.1諧振攝動方法

攝動法又稱小參數(shù)展開法。Hui發(fā)展的攝動法[90]有兩個特點：① 基于Euler方程；② 可同時用于超聲速和高超聲速流動。其基本過程是在諧振假定下，飛行器繞某一點在平衡位置附近作小振幅簡諧振動時的非定常流場可以分解為平衡位置的定常繞流流場及小擾動流場的線性疊加。在一階近似下，擾動流場的確定可以進一步簡化為求解擾動量振幅的類Euler方法。該方程是線性的，且與定常繞流的Euler方法有相同的系數(shù)矩陣。求解定常繞流的Euler方程和振動振幅方程均采用相同形式的差分格式，然后利用不同軸間動導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換公式求得指定軸處的俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)[91]。

Hui利用他發(fā)展的攝動法對簡單形狀的翼、楔、和零迎角錐進行了計算[29]，Hui等還研究了俯仰運動機翼氣動力的分叉現(xiàn)象[92]和時間歷史效應(yīng)對高超聲速運動的楔受到的非定常氣動力的影響[93]。劉秋生和沈孟育[94]進一步發(fā)展了Hui的方法，計算了超聲速、高超聲速鈍頭體的俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)。張才文[95]采用Euler方程攝動解法，推導(dǎo)了在激波附體的條件下任意迎角、任意平面形狀機翼的超、高超聲速俯仰穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)的計算公式。劉偉和張魯民在文獻[94]的基礎(chǔ)上發(fā)展了俯仰軸在垂直于俯仰平面任意移動時的動導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換公式[96]，并采用諧振攝動法計算了類返回艙外形的高超聲速俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)[97]，結(jié)果表明，諧振攝動法對簡單外形及小迎角來流狀態(tài)具有較好的適應(yīng)性，但由于小擾動方法本身的局限性，該方法對復(fù)雜外形應(yīng)用能力有限。如果要計算更為復(fù)雜的流態(tài)，應(yīng)該考慮流場的黏性效應(yīng)及更為一般性的動導(dǎo)數(shù)計算方法。

4.2錐運動方法

Schiff等將錐運動引入穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)計算[98-99]。在非慣性參考系下，通過利用定常流動的計算方法模擬非定常問題進而避免了計算開銷及動網(wǎng)格等技術(shù)問題，用此辦法獲取了軸對稱導(dǎo)彈的俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)。Weinacht等[100-101]也發(fā)展了通過在非慣性系下求解的方法將動態(tài)問題轉(zhuǎn)換為靜態(tài)計算而獲取了軸對稱導(dǎo)彈穩(wěn)定性導(dǎo)數(shù)。Despirito等[102]在2009年提交美國軍方研究實驗室(ARL)的報告中總結(jié)了采用錐運動法計算美國海軍旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定式火箭彈ANSR、M910式25 mm 曳光脫殼訓(xùn)練彈(TPDS-T)以及0.5口徑子彈的動導(dǎo)數(shù)結(jié)果。

圖6給出了采用拋物化的Navier-Stokes方程求解ANSR標(biāo)模錐運動方法(PNS)[67]與CFD強迫振動[25]求解的動導(dǎo)數(shù)對比。二者在數(shù)值大小及變化趨勢上差別不大。錐運動方法雖然簡化了計算，提高了計算效率，但其通常不適合非軸對稱的復(fù)雜外形幾何體或僅適用于零迎角時動導(dǎo)數(shù)的計算，工程中較少使用。

圖6　錐運動方法(PNS)與CFD強迫振動求解結(jié)果對比Fig.6　Comparison between results obtained from cone motion method (PNS) and those from CFD forced vibration algorithm

4.3準(zhǔn)定常方法

旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)的計算可以采用準(zhǔn)定常方法。通過求解飛行器繞定軸以恒定角速度轉(zhuǎn)動的準(zhǔn)定常方程獲得旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)為

(8)

席柯等[61]采用準(zhǔn)定常方法計算了HBS外形和Finner基本帶翼導(dǎo)彈標(biāo)模外形及Hyflex升力體外形的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)。張一帆等[103]采用準(zhǔn)定常方法，對F12全機模型的3個迎角進行了動態(tài)特性數(shù)值模擬。米百剛等[104-105]采用準(zhǔn)定常方法計算了Finner外形的滾轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)，計算誤差為2.67%。

圖7給出了采用準(zhǔn)定常與非定常強迫振動方法求解旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)的對比。5口徑與9口徑的ANSR旋成體外形的Cmq結(jié)果如圖7(a)所示，類X-51復(fù)雜外形的Cmq與φq(φ代表流量系數(shù))[25]結(jié)果如圖7(b)所示。無論是簡單的旋成體外形還是復(fù)雜的內(nèi)外流一體化外形，準(zhǔn)定常方法與非定常強迫振動方法對氣動力導(dǎo)數(shù)和流場參數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算精度基本保持一致。準(zhǔn)定常方法僅適用于旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)的計算，不能用于加速度導(dǎo)數(shù)和組合導(dǎo)數(shù)，應(yīng)用上存在不少限制[25]。

圖7　準(zhǔn)定常方法與強迫振動求解結(jié)果對比Fig.7　Comparison between results obtained from quasi-steady motion and those from forced vibration algorithm

4.4強迫振動方法

強迫振動方法采用CFD方法數(shù)值模擬飛行器不同的強迫振動，得到非定常振動流場及氣動力，通過數(shù)值辨識方法計算動導(dǎo)數(shù)[106]。該方法能計算表1中所有類型的動導(dǎo)數(shù)，求解精度高，對復(fù)雜的非定常流場有較好的適應(yīng)性，不受飛行狀態(tài)、模型運動形式及支架洞壁干擾的限制。目前CFD方法代表非線性空氣動力學(xué)特性預(yù)測的最先進水平[107]，通過數(shù)值計算獲得動導(dǎo)數(shù)是當(dāng)前飛行品質(zhì)和操穩(wěn)特性研究中一種最理想、最現(xiàn)實的方式，且可靠性有望接近飛行試驗。

計算不同的動導(dǎo)數(shù)類型需要采用不同的強迫振動形式。任玉新[108]給出了動導(dǎo)數(shù)通用計算方法NEASD，在滿足狀態(tài)變量線性無關(guān)的條件下，該方法可以求解飛行器做任意強迫振動時的動導(dǎo)數(shù)。孫濤等[109]給出了強迫等速拉伸運動時動導(dǎo)數(shù)計算的差分法。強迫振動計算動導(dǎo)數(shù)最常用的形式為強迫簡諧振動。圖8是飛行器3種非定常強迫簡諧振動(俯仰/沉浮/拍動)的飛行姿態(tài)和運動軌跡示意圖[25]。

圖8　非定常運動示意圖Fig.8　Unsteady motion sketch

(9)

式中：α0為初始迎角；θm為俯仰角振幅；k為減縮頻率。

(10)

強迫拍動簡諧振動用于計算俯仰力矩旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)Cmq，其振動方程為

(11)

沉浮與拍動兩種振動方式的疊加等于俯仰簡諧振動。通過計算式(10)和式(11)產(chǎn)生的時域數(shù)據(jù)進行后處理來辨識得到動導(dǎo)數(shù)。后處理方法包括積分法、頻域變換法、回歸方法和相位法。積分法、頻域轉(zhuǎn)換法和回歸方法的后處理結(jié)果沒有顯著的差異，但在減縮頻率較小的情況下回歸方法比其他方法得到的結(jié)果精確。相位法只采用了時域數(shù)據(jù)的兩個點，因辨識誤差大而較少使用。

強迫簡諧振動的優(yōu)點是計算精度高，適用于不同種類的動導(dǎo)數(shù)辨識。缺點是存在減縮頻率相似及簡諧振動振幅的選擇問題。雖然線化的模型方程要求氣動參數(shù)的變化保持在線性范圍內(nèi)，但過小的振幅顯著降低了數(shù)值仿真過程中氣動參數(shù)的增量，增加了隨機誤差的比例，帶來了精確預(yù)測動態(tài)氣動參數(shù)的困難[110]。文獻[111]認為合理的振幅選擇需要綜合評估小振幅振動的線性范圍以及非定常計算本身的精度。孫濤等[109]分析了減縮頻率對Finner標(biāo)模動導(dǎo)數(shù)計算的影響。強迫振動測試中頻率的選擇沒有普遍的原則或共識。通常認為頻率應(yīng)該是最具代表性的預(yù)期的飛行器運動頻率[112]。

飛行器在大氣層中以高馬赫數(shù)飛行時，其表面摩擦阻力系數(shù)會達到總阻力系數(shù)的50%以上。2004年，劉偉等[113]研究了平衡氣體效應(yīng)對帶翼飛行器俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)的影響。趙文文等[114]在2013年對比分析了不同高度(含稀薄氣體效應(yīng))、Maxwell滑移邊界條件及五組元化學(xué)非平衡模型對鈍錐體模型動導(dǎo)數(shù)的影響。高空、高馬赫數(shù)條件下飛行器動導(dǎo)數(shù)的計算還需做進一步深入的研究。

為了研究考慮地面干擾的飛行器非定常氣動特性，童靜等[115]基于滑移網(wǎng)格技術(shù)開展了地面效應(yīng)的NACA0012翼型動態(tài)特性數(shù)值模擬。地面效應(yīng)不僅對定常流場產(chǎn)生影響，更顯著地影響了非定常氣動力及力矩，近地高度越小，升力系數(shù)的遲滯環(huán)面積越小，而力矩系數(shù)的遲滯環(huán)變化不規(guī)律。地面效應(yīng)干擾在飛行器非定常氣動研究中應(yīng)該引起重視。

數(shù)值離散方法研究是動態(tài)特性數(shù)值計算的重要環(huán)節(jié)。目前國內(nèi)動態(tài)特性的計算大多采用二階格式，而高精度、高分辨率格式可以較好地模擬以大范圍分離為代表的、強非定常的非線性多尺度流動現(xiàn)象。趙云飛等[116]基于空間5階精度格式WCNS(Weighted Compact Nonlinear Schemes)采用非定常Euler方程計算了NACA0012翼型強迫俯仰振動，研究了物理時間步長、子迭代收斂判據(jù)等因素對計算結(jié)果的影響。趙文文等[117]采用Van-Leer矢通量分裂格式(FVS)、ROE格式(FDS)、AUSMPW+格式、5階精度WENO格式及高精度WNND格式對鈍錐體俯仰阻尼導(dǎo)數(shù)進行了計算。分析認為差分格式之間不同的黏性分辨率是動導(dǎo)數(shù)結(jié)果差異的主要來源。采用高精度、高分辨率格式可以更好地處理復(fù)雜外形強非定常的非線性多尺度流動問題，是未來動態(tài)特性模擬技術(shù)研究的發(fā)展方向。

4.5自由振動方法

自由振動模擬方法是動導(dǎo)數(shù)的非定常時域求解的另一種重要方法。趙云飛[118]推導(dǎo)了非定常自由振動法確定動導(dǎo)數(shù)的計算公式。

圖9是鈍錐自由振動俯仰角時間歷程曲線示例，曲線形態(tài)呈角振幅指數(shù)衰減。文獻[118]通過提取波峰和波谷處的角振幅及周期T來計算動導(dǎo)數(shù)，該方法僅適用于小阻尼振幅衰減的情況。對振幅發(fā)散或者大阻尼的情況，可以通過Moore-Penrose廣義逆方法求解任意位置的動導(dǎo)數(shù)，但計算精度還需做進一步的考察。

圖9　鈍錐自由俯仰振動動導(dǎo)數(shù)提取示意圖Fig.9　Sketch showing extraction of dynamic derivatives of blunt cone free pitch vibration

與強迫振動法相比，自由振動法的優(yōu)點是不存在頻率相似問題，通過選取真實的慣量參數(shù)，自由振動法的振動頻率與真實飛行情況相似度高。但自由振動法的缺點是辨識精度低、計算工作量比強迫振動法大、一般僅適合配平狀態(tài)的動導(dǎo)數(shù)計算。此外該方法對交叉導(dǎo)數(shù)、交叉耦合導(dǎo)數(shù)和加速度導(dǎo)數(shù)的計算較為困難，所能辨識的動導(dǎo)數(shù)種類有限。

5　動導(dǎo)數(shù)頻域計算方法

動導(dǎo)數(shù)常規(guī)計算方法是采用CFD模擬飛行器的微振幅強迫簡諧振動。由于預(yù)測動導(dǎo)數(shù)需要計算與時間相關(guān)的動態(tài)非定常氣動響應(yīng)，非定常計算效率是CFD在動導(dǎo)數(shù)方面應(yīng)用的瓶頸。強迫簡諧振動的氣動荷載在初始瞬時值衰變之后的變化具有周期性。頻域計算利用動態(tài)非定常系統(tǒng)的周期性來獲得動導(dǎo)數(shù)。該方法只需求解一個周期內(nèi)幾個時刻的瞬時流場，通過簡單的后處理即可重建整個周期的非定常流動，對于長周期的非定常問題效率優(yōu)勢特別明顯，從而獲得了廣泛關(guān)注和應(yīng)用。時域仿真采用的頻率受時間和空間分辨率的限制，但頻域計算不存在這一問題。

常用的頻域方法包括線性頻域法和非線性頻域法。諧波平衡(HB)法屬于非線性頻域法的一種類型，其計算精度和效率綜合考慮具有較大的優(yōu)勢，因此是頻域計算中應(yīng)用最廣泛的方法。經(jīng)過十幾年的發(fā)展，目前諧波平衡法主要有4種形式：直接諧波平衡法、時域諧波平衡法、頻域諧波平衡法以及分裂域諧波平衡法。諧波平衡法考慮如下的周期性流動問題：

(12)

式中：Ql,j和Rl,j分別為在網(wǎng)格點j上第l個守恒變量和第l個空間殘差組分。將變量和空間離散后的殘差項都可以表示為傅里葉級數(shù)的形式，代入到流動控制方程中，并利用正弦函數(shù)的正交性進行諧波平衡，得到頻域上的諧波平衡方程為

(13)

式中：ω為圓頻率；n為第n個諧波。

頻域方法最初是因為渦輪機設(shè)計上的需要而被開發(fā)[119-120]，此后被應(yīng)用于飛行器氣動力的求解[121-123]。Thomas等[124-131]應(yīng)用時域諧波平衡法模擬翼型和F16機翼在跨聲速流動時的極限環(huán)振動和顫振問題以及圓柱的繞流問題，并提出了一種新的穩(wěn)定性技術(shù)來消除顯式處理諧波源項引起的不穩(wěn)定。Ekici等[132-135]應(yīng)用高維時域諧波平衡法模擬直升機旋翼繞流問題并在多個基準(zhǔn)頻率下模擬多級渦輪機組的葉片繞流問題。斯坦福大學(xué)的McMullen等[136-139]利用頻域諧波平衡方法數(shù)值模擬了一維管道流和圓柱繞流，并提出了一種迭代求解時間周期的方法，應(yīng)用并成功模擬圓柱繞流的渦脫落問題和翼型的俯仰振蕩問題，為對于事先不知道振蕩頻率的問題提供了一種求解方法。Mosahebi和Nadarajah[140]隨后應(yīng)用自適應(yīng)諧波平衡法模擬了跨聲速翼型俯仰振蕩和圓柱繞流問題。Choi等[141]將時間譜方法應(yīng)用于直升機旋翼運動，取得了較好的效果。諧波平衡法求解這種存在多個頻率的情況，會出現(xiàn)穩(wěn)定性問題，因此Guédeney等[142]提出時間樣點不均勻分布的觀點，并證明了其穩(wěn)定性和可靠性。在動導(dǎo)數(shù)預(yù)測方面，Ronch等[143]對比了時間推進法、線性頻域方法和諧波平衡法在數(shù)值預(yù)測動導(dǎo)數(shù)和消耗內(nèi)存方面的能力。Hassan和Sicot[144]將諧波平衡法應(yīng)用于動導(dǎo)數(shù)的快速預(yù)測。Murman等[145-146]將諧波平衡法應(yīng)用于預(yù)測Finner及SDM(StandardDynamicModel)模型的動導(dǎo)數(shù)。

國內(nèi)對諧波平衡法的研究較少。李道春和向錦武[147]應(yīng)用諧波平衡法研究非線性二元機翼氣動彈性。杜鵬程和寧方飛應(yīng)用時域諧波平衡法模擬跨聲風(fēng)扇周向畸變流動[148]，考查不同周期性邊界條件對求解的影響，并采用預(yù)處理技術(shù)，將可壓諧波平衡方程直接用于低速周期性流動的計算。許建華等[149]應(yīng)用時域諧波平衡法模擬旋翼前飛繞流問題。楊小權(quán)等[150]應(yīng)用時間譜方法模擬了俯仰翼型和機翼的強迫運動問題。謝立軍等[151]采用時間譜方法對高超聲速HBS標(biāo)模和超聲速Finner標(biāo)模進行動導(dǎo)數(shù)計算。陳琦等采用諧波平衡法開展翼型和鈍錐的非定常繞流模擬[152]，并預(yù)測了帶翼導(dǎo)彈的俯仰動導(dǎo)數(shù)[153]。

由于頻域計算的數(shù)學(xué)簡化，導(dǎo)致對非定常流動的計算精度遠低于時域計算，當(dāng)流動出現(xiàn)明顯的非線性效應(yīng)時其應(yīng)用受到限制。圖10給出了采用線性頻域法計算的NACA0012翼型強迫簡諧振動與時域計算的比較[154]。實線是時域(TimeDomain)計算結(jié)果，虛線是線性頻域(LinearFrequencyDomain,LFD)法計算結(jié)果。線性頻域法計算未能模擬出NACA0012振動時出現(xiàn)在兩端處的非線性拐折。圖11給出了不同外形的諧波平衡法與時域計算比較。Nr代表諧波平衡方法中的諧波數(shù)。從圖中可以看出，無論是對于簡單外形還是復(fù)雜外形，一個諧波對應(yīng)的3個非定常流場樣本均不足以精確模擬非定常振動出現(xiàn)的非線性氣動力。與時域計算吻合一致的計算諧波數(shù)至少在2個以上。

Note: LFD—Linear frequency domain.圖10　NACA0012翼型線性頻域法與時域計算比較Fig.10　Comparison between NACA0012 airfoil linear frequency domain method and time-domain simulation　

圖11　諧波平衡法與時域計算比較Fig.11　Comparison between harmonic balance method and time-domain simulation

頻域計算最大的特點是利用動態(tài)系統(tǒng)的周期性極大地減少非定常CFD仿真的計算開銷。CFD時域仿真需要多個周期達到氣動響應(yīng)的諧振解，并且要達到時間上的精確求解必須采用小的時間步長來精確捕獲流體運動，因此需要大量的計算開銷[155-156]。而頻域計算可以高效近似求解飛行器周期性的非定常小擾動條件下氣動力，在減少計算開銷的情況下估算動導(dǎo)數(shù)。圖12是作者所在課題組針對類X-51內(nèi)外流一體化外形雙時間步方法時域計算與諧波平衡法的比較，圖中CA為軸向力系數(shù)。內(nèi)外流一體化外形半場網(wǎng)格量為2 000萬，時域計算與諧波平衡法均采用18個CPU(IntelCorei7)進行并行計算。圖中dt代表雙時間步方法的無量綱時間步長，nsub代表內(nèi)迭代步數(shù)。當(dāng)時間步長取0.1，內(nèi)迭代取20步時，雙時間步法計算1.5個周期共5 000步的耗時約為48h，與諧波平衡法計算兩萬步基本達到收斂的用時相等，但此時雙時間步方法的精度遠低于諧波平衡法。隨著內(nèi)迭代步數(shù)的增加和時間步長的減小，二者達到同等精度時雙時間步方法計算一個狀態(tài)的耗時約為50天，是諧波平衡法計算時間的25倍。

圖12　類X-51內(nèi)外流一體化外形雙時間步方法時域計算與諧波平衡法比較Fig.12　Comparison of time domain simulation of analogous X-51A-like hypersonic vehicle with dual time step method and that with harmonic balance method

圖13　NACA0012強迫簡諧振動頻域法的計算效率Fig.13　Computational efficiency of NACA0012 forced harmonic vibration frequency-domain method

6　結(jié)　論

在對飛行穩(wěn)定性問題進行概述的基礎(chǔ)上，介紹了飛行器動導(dǎo)數(shù)數(shù)值模擬的國內(nèi)外研究進展。對近年來主要的動導(dǎo)數(shù)計算方法進行了綜述分析，結(jié)論顯示：

1) 動導(dǎo)數(shù)的工程近似方法與CFD方法相比精度較低，但其最大的優(yōu)勢在于快捷高效。工程方法依賴于經(jīng)驗性，只適用于簡單外形，不考慮邊界層轉(zhuǎn)捩、流動的分離和再附以及復(fù)雜背風(fēng)區(qū)渦流情況下的小迎角線性范圍。

2) 諧振攝動法和錐運動方法由于方法本身的局限性，對復(fù)雜外形和復(fù)雜流態(tài)的模擬能力有限，應(yīng)用上存在諸多限制，工程實際中較少使用。

3) 準(zhǔn)定常方法與非定常強迫振動方法的計算精度基本一致，是一種快速高效的動導(dǎo)數(shù)求解方法。但該方法僅適用于旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)計算。

4) 自由振動法的優(yōu)點是振動頻率與真實飛行情況相似度高。強迫振動的特點是適合不同狀態(tài)的動導(dǎo)數(shù)計算，能夠辨識的動導(dǎo)數(shù)種類豐富，對交叉導(dǎo)數(shù)、交叉耦合導(dǎo)數(shù)和加速度導(dǎo)數(shù)均有較好的模擬能力。因此目前采用強迫振動方法獲得動導(dǎo)數(shù)是當(dāng)前飛行品質(zhì)和操穩(wěn)特性研究中一種最理想、最現(xiàn)實的方式，且可靠性有望接近飛行試驗。

5) 頻域計算利用動態(tài)非定常系統(tǒng)的周期性來精確高效地獲得動導(dǎo)數(shù)，獲得了廣泛關(guān)注和應(yīng)用。諧波平衡法中諧波數(shù)Nr的選取需要綜合考慮計算資源、計算精度與效率。

雖然近年來在非定常氣動力計算、動導(dǎo)數(shù)辨識方法及非定常氣動力建模等方面取得了較大進展，但為了更高效地獲得不同類型的準(zhǔn)確、可靠的動導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)，仍有大量工作要做：

1) 非定常氣動力的數(shù)學(xué)模型用于確定氣動力所依賴的運動狀態(tài)變量及其之間的數(shù)學(xué)關(guān)系?，F(xiàn)代飛行器外形設(shè)計和運動方式比傳統(tǒng)飛行器復(fù)雜，應(yīng)進一步發(fā)展能夠全面反映氣動力對迎角的強烈非線性依賴關(guān)系、時間延遲效應(yīng)、氣動力的交叉耦合等特點的非定常氣動力模型。

2) 動導(dǎo)數(shù)的計算需要綜合考慮精度與效率。在目前CFD方法模擬效率不高的前提下，工程近似方法依然是飛行器型號設(shè)計初期滿足動導(dǎo)數(shù)快速分析需求的重要手段。準(zhǔn)定常計算方法和非定常頻域計算方法作為非定常時域求解的簡化近似方法，其適用范圍及計算精度有待于深入研究。

3) 目前動導(dǎo)數(shù)的研究大多圍繞繞定軸振動的組合導(dǎo)數(shù)，針對加速度導(dǎo)數(shù)和旋轉(zhuǎn)導(dǎo)數(shù)的研究較少，對交叉導(dǎo)數(shù)和交叉耦合導(dǎo)數(shù)的預(yù)測也經(jīng)驗不足。如何準(zhǔn)確可靠地預(yù)測這類動導(dǎo)數(shù)，仍有大量工作要做。

4) 目前針對工程復(fù)雜外形的動導(dǎo)數(shù)模擬研究較少，工程實際外形的非定常流場的準(zhǔn)確模擬是動導(dǎo)數(shù)計算的重要基礎(chǔ)。動態(tài)非定常條件下的激波誘導(dǎo)分離、旋渦運動與破裂以及它們之間的相互作用使得動導(dǎo)數(shù)的精確模擬是一件非常困難的工作。采用高精度、高分辨率格式可以更好地處理復(fù)雜外形強非定常的非線性多尺度流動問題，是未來動態(tài)特性模擬技術(shù)研究的發(fā)展方向。此外，針對工程問題中遇到的高溫氣體效應(yīng)、稀薄氣體效應(yīng)、噴流影響等實際情況下的動導(dǎo)數(shù)計算還需做進一步深入的研究。

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劉緒男， 博士研究生。主要研究方向： 高超聲速空氣動力學(xué)。

Tel.: 0731-84574792

E-mail: liuxuqd@126.com

劉偉男， 博士， 教授。主要研究方向： 計算流體力學(xué)研究與應(yīng)用。

Tel.: 0731-84573137

E-mail: fishfather6525@sina.com

柴振霞女， 博士研究生。主要研究方向： 頻域計算方法在非定常流動中的應(yīng)用。

Tel.: 0731-84574792

E-mail: chaizhenxia@sina.cn

楊小亮男， 博士， 講師。主要研究方向： 計算流體力學(xué)研究與應(yīng)用。

Tel.: 0731-84574792

E-mail: yangxl_nudt@sina.com

Research progress of numerical method of dynamic stabilityderivatives of aircraft

LIU Xu, LIU Wei*, CHAI Zhenxia, YANG Xiaoliang

College of Areospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha410073, China

Dynamic stability derivatives (for short, dynamic derivatives) are key aerodynamic parameters for designing the control system, investigating the dynamic instability boundary and studying the dynamic stability criteria of aircraft. After a brief summary of flight stability, the research progress made in the numerical simulation of aircraft dynamic stability parameters is described. The main dynamic derivative calculation methods applied over the past few years are reviewed with respect to the theoretical method, engineering approximation and computational fluid dynamics (CFD) simulation. The merits of these dynamic derivative prediction methods are identified, and problems with numerical simulation of dynamic derivatives in terms of theoretical basis, unsteady aerodynamic modeling, the precision and efficiency of the prediction methods are pointed out. A mature, reliable prediction of dynamic stability characteristic enables us to evaluate and select different air design plans so as to minimize the aircraft design cost and mitigate risk exposure. Finally, the development trend of numerical simulation of dynamic derivatives is prospected.

numerical methods; computational fluid dynamics; stability; time domain analysis; dynamic derivatives

2016-01-11； Revised： 2016-02-17； Accepted： 2016-03-23； Published online： 2016-03-2915:29

s： National Natural Science Foundation of China (11172325, 11502292); NUDT Advanced Project (ZDYYJCYJ20140101)

. Tel.： 0731-84573137E-mail: fishfather6525@sina.com

2016-01-11； 退修日期： 2016-02-17； 錄用日期： 2016-03-23；

時間： 2016-03-2915:29

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160329.1529.008.html

國家自然科學(xué)基金 (11172325，11502292); 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)預(yù)研項目 (ZDYYJCYJ20140101)

.Tel.： 0731-84573137E-mail: fishfather6525@sina.com

10.7527/S1000-6893.2016.0098

V211.3

A

1000-6893(2016)08-2348-22

引用格式： 劉緒， 劉偉， 柴振霞， 等． 飛行器動態(tài)穩(wěn)定性參數(shù)計算方法研究進展[J]． 航空學(xué)報, 2016, 37(8): 2348-2369. LIU X, LIU W, CHAI Z X, et al. Research progress of numerical method of dynamic stability derivatives of aircraft[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(8): 2348-2369.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

URL： www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160329.1529.008.html