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    一個新的逆向Hilbert型不等式

    2016-11-12 16:20:22席高文重慶科技學院數(shù)理學院重慶401331
    關(guān)鍵詞:數(shù)理等價常數(shù)

    劉 瑤,席高文(重慶科技學院 數(shù)理學院,重慶 401331)

    一個新的逆向Hilbert型不等式

    劉 瑤,席高文(重慶科技學院 數(shù)理學院,重慶 401331)

    Hilbert不等式倍受數(shù)學家的關(guān)注,并得到廣泛應用。通過建立權(quán)系數(shù)不等式,得到一個新的逆向Hilbert型不等式,并證明其常數(shù)因子為最佳值,同時還考慮其等價形式。

    Hilbert型不等式;權(quán)系數(shù);等價式;最佳常數(shù)因子

    0 引 言

    這里,常數(shù)因子4為最佳值。

    Hilbert型不等式是核為雙線型且齊次的以Hilbert不等式為代表的一類不等式,它們在分析學中有重要的應用[1-3]。1991年我國知名數(shù)學家徐利治教授首倡了旨在加強Hilbert不等式的權(quán)系數(shù)方法,楊必成[4-5]對它們作了推廣,并在文獻[6-7]中運用權(quán)系數(shù)方法,建立了如下具有混合核的逆向Hilbert型不等式:

    這里,常數(shù)因子4ln2為最佳值。

    王愛珍等[8]引入單參量λ及估算權(quán)系數(shù),建立了(3)式的如下最佳推廣形式:

    本文通過建立權(quán)系數(shù)不等式,得到一個新的具有混合核的逆向Hilbert型不等式,同時還考慮其等價形式。

    1 兩個引理

    引理1 定義權(quán)系數(shù)為:

    則有

    故(4)式成立。證畢。

    故(7)式成立。證畢。

    2 主要結(jié)果

    這里,常數(shù)因子1為最佳值。

    證明 由帶權(quán)的反向的H? lder不等式及(5)式,有

    再由(4)式,其中q<0,有(6)式。

    以下證明(8)式的常數(shù)因子1為最佳值。

    若(8)式的常數(shù)因子1不是最佳值,則存在k>1,使得(8)式成為

    對任意的ε∈(0, p),在(10)式中,取an=n-ε/p,bn=n-ε/q,n∈N,代入(10)式,則有

    將上述an,bn代入(8)式的左邊并運用(7)式,則有

    從而由(11)式和(12)式,有

    取極限,有 與前面的假設矛盾,故(6)式的常數(shù)因子1為最佳值。證畢。

    3 等價形式

    這里,(13)式和(14)式的常數(shù)因子1都為最佳值,且(13)式和(14)式均與(8)式等價。

    當I=∞,(13)式成立;設0<I<∞,則由(8)式有

    在(15)式的兩邊同除I1/q,然后p次方,有

    故(13)式成立。

    反之,若(13)式成立,配方,由反向的H?lder不等式,有

    由(13)式,則有

    故(13)式與(8)式是等價的。若(13)式的常數(shù)因子不是最佳值,則由(17)式,易得(8)式的常數(shù)因子亦不是最佳值,存在矛盾。

    則由(9)式,其中q<0,有

    反之,若(14)式成立,配方,由反向的H?lder不等式,有

    再由(14)式,其中q<0,有(8)式。故(14)式與(8)式是等價的。同理可證明(14)式的常數(shù)因子為最佳值。

    評注 顯然,逆向Hilbert型不等式:

    它是一個新的具有混合核的不等式,且常數(shù)因子1為最佳值。此不等式也是對(4)式的一個推廣,(13)式和(1 4)式是它的等價形式。

    [1]HARDY G H,LITTLEWOOD J E,POLYA G.Inequalities[M].Cambridge:Cambridge University Press,1934.

    [2]MINTRINOVIC D S,PECARIC J E,F(xiàn)INK A M.Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives[M].Boston:Kluwer Academic Publishers,1991:181-215.

    [3]匡繼昌.常用不等式[M].濟南:山東科學技術(shù)出版社,2004.

    [4]YANG B C.On an Extended of Hardy-Hilbert’s Inequality[J].Chinese Annals of Mathmatics,23A(2):247-254.

    [5]YANG B C.On an Extended Hardy-Hilbert’s Inequality and Some Reversed Form[J].International Mathematical Forum,39(1): 1905-1912.

    [6]楊必成.一個新的Hilbert型不等式[J].上海大學學報(自然科學版),2007,13(3):274-278.

    [7]YANG B C,RASSIAS T M.On the Way of Weight Coefficient and Research for the Hilbert-type Inequalities[J].Mathematical Inequalities and Applications,2003,6(4):625-658.

    [8]王愛珍,楊必成.一個逆向Hilbert型不等式的最佳推廣[J].武漢大學學報(理學版),2008,54(3):275-278.

    [責任編輯:王瑋明]

    A New Reverse Hilbert Inequality

    LIU Yao, XI Gaowen (College of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science & Technology, Chongqing, 401331, China)

    Hilbert inequality has drawn a lot of attention from mathematicians and is widely used.Weight coefficient inequality is set up, which leads to a new reverse Hilbert inequality, and also proves its constant factor is the optimal values.Meanwhile, its equivalent form is considered.

    Hilbert inequality; Weight coefficient; Equivalent form; Optimal constant factor

    10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.039

    O178

    A

    1671-4326(2016)03-0068-05

    2016-01-25

    劉 瑤(1992—),女,重慶梁平人,重慶科技學院數(shù)理學院本科生;

    席高文(1963—),男,河南靈寶人,重慶科技學院數(shù)理學院教授.

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