三維延拓Kantorovich法的迭代不收斂現(xiàn)象

林永靜（溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系，浙江 溫州 325035）

三維延拓Kantorovich法的迭代不收斂現(xiàn)象

林永靜（溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系，浙江 溫州 325035）

將二維延拓Kantorovich法推廣到三維延拓Kantorovich法時(shí)，通過(guò)大量數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新現(xiàn)象，即如果采用簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法，那么會(huì)遇到迭代不收斂的數(shù)值困難。對(duì)此數(shù)值現(xiàn)象進(jìn)行定性分析，可得出結(jié)論：三維延拓Kantorovich法并不是二維延拓Kantorovich法的簡(jiǎn)單推廣，二者有著本質(zhì)的不同。

三維延拓Kantorovich法；簡(jiǎn)單形式；迭代不收斂

0 引 言

在已有研究［1-4］的數(shù)值算例中，二維延拓Kantorovich法表現(xiàn)出顯著的計(jì)算優(yōu)越性，既有很高的計(jì)算精度，又有很高的計(jì)算效率。一元函數(shù)乘積和的函數(shù)逼近形式帶來(lái)很高的逼近精度，往往2～3項(xiàng)就有足夠的精度。對(duì)兩個(gè)維度“分而治之”的迭代策略大大減少了計(jì)算量，帶來(lái)很高的計(jì)算效率。

考慮到延拓Kantorovich法具有高精度、高效率的特點(diǎn)，尤其是“分而治之”的迭代策略在三維問(wèn)題中可能有高效率的表現(xiàn)，因而將二維延拓Kantorovich法推廣到三維延拓Kantorovich法。原本預(yù)計(jì)該項(xiàng)新研究屬于推廣性研究，后來(lái)發(fā)現(xiàn)這低估了研究的意義和難度。通過(guò)大量數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新現(xiàn)象，即如果采用簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法，會(huì)遇到迭代不收斂的數(shù)值困難。

1 模型方程

以三維立方體域上的Poisson方程為例，三維Poisson方程對(duì)應(yīng)的能量泛函為：

其中Ω為規(guī)則區(qū)域［-a， a］×［-b， b］×［-c， c］。

仿照二維延拓Kantorovich法，取試探函數(shù)構(gòu)造形式為：

這種簡(jiǎn)單的函數(shù)構(gòu)造形式在三個(gè)維度上是對(duì)稱的。

2 算法實(shí)施

2.1 積分微分方程組

將（2）式代入（1）式，通過(guò)取變分，可得到一套耦合的積分微分方程組為：

邊界條件為：

其中的各項(xiàng)系數(shù)為：

2.2 迭代步驟

因?yàn)樵冢?）式的函數(shù)逼近式中，三個(gè)維度輪換對(duì)稱，所以算法的迭代過(guò)程將按三個(gè)維度輪換迭代求解。一個(gè)循環(huán)過(guò)程由（a）→（b）→（c）共三步組成（不失一般性地，假定在第一步（a）中已知｛X｝、｛Y｝而去求｛Z｝）：

（a）固定｛X｝、｛Y｝，則積分微分方程組簡(jiǎn)化為常微分方程組（3c）、（4c），求解常微分方程組（3c）、（4c）得｛Z｝；

（b）固定｛Y｝、｛Z｝，則積分微分方程組簡(jiǎn)化為常微分方程組（3a）、（4a），求解常微分方程組（3a）、（4a）得｛X｝；

（c）固定｛X｝、｛Z｝，則積分微分方程組簡(jiǎn)化為常微分方程組（3b）、（4b），求解常微分方程組（3b）、（4b）得｛Y｝。

至此已完成了一個(gè)循環(huán)過(guò)程，檢驗(yàn)數(shù)值解的誤差是否已小于誤差限，若是則結(jié)束迭代，否則返回（a）進(jìn)入新一輪的循環(huán)。

3 數(shù)值算例

數(shù)值算例中的常微分方程組采用常微分方程求解器COLSYS［5-6］來(lái)求解。

算例 三維Poisson方程。

設(shè)定邊界條件為：u=0， on x=±a， y=±b， z=±c，給定數(shù)據(jù)為：a=b=c=1，f=2，如圖1所示。取初始試探函數(shù)為：

計(jì)算結(jié)果由圖2～圖3給出。需要說(shuō)明的是，輪數(shù)與次數(shù)不同，輪數(shù)是指大的循環(huán)過(guò)程的個(gè)數(shù)，而次數(shù)是指小的迭代步驟的個(gè)數(shù)。對(duì)于簡(jiǎn)單形式，每一輪循環(huán)里包含三次迭代。

3.1 取兩項(xiàng)試探函數(shù)

（1）前20輪循環(huán)的中心點(diǎn)位移。由圖2可知，在前10輪循環(huán)內(nèi)，迭代比較快地趨向于一個(gè)數(shù)值。但需要注意的是，迭代過(guò)程并不收斂，由局部放大圖可看出，后1 0輪循環(huán)的變化比較均勻，并不趨于收斂。

圖1 三維Poisson方程

（2）前1 000輪循環(huán)的后10輪循環(huán)的中心點(diǎn)位移。由圖3可知，在后10輪循環(huán)內(nèi)，迭代變化均勻。均勻的迭代變化趨勢(shì)顯示，這個(gè)迭代過(guò)程并不收斂。

3.2 取三項(xiàng)試探函數(shù)

限于篇幅，這里不再列出具體數(shù)據(jù)。取三項(xiàng)試探函數(shù)與取兩項(xiàng)試探函數(shù)相比，其迭代變化情況相似，后

10 輪循環(huán)的迭代變化也均勻，迭代過(guò)程也并不收斂。

以上數(shù)值試驗(yàn)表明，簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法，當(dāng)取多項(xiàng)時(shí)將遇到迭代不收斂的數(shù)值困難。盡管開(kāi)始階段能較快地（在10輪循環(huán)內(nèi)）趨于某個(gè)固定值，但迭代過(guò)程仍不收斂，后面的迭代過(guò)程都在均勻地變化，沒(méi)有收斂的趨勢(shì)。

圖2 前20輪循環(huán)的中心點(diǎn)位移及其后10輪的局部放大

4 定性分析

4.1 與二維延拓Kantorovich法的比較

與二維延拓Kantorovich法相比，三維延拓Kantorovich法的迭代收斂更困難，其簡(jiǎn)單形式甚至迭代不收斂。

（2）迭代效率。二維延拓Kantorovich法的迭代收斂非常迅速，一般只需2～3次迭代。簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法遇到了迭代不收斂的數(shù)值困難。

4.2 迭代不收斂的原因

在三維延拓Kantorovich法中，迭代不收斂的原因，可從最小計(jì)算代價(jià)的角度給出一個(gè)定性討論。

對(duì)于簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法，多項(xiàng)試探函數(shù)的逼近精度較高，相應(yīng)地需要較高的計(jì)算代價(jià)，而每個(gè)維度的計(jì)算量卻都很小，從而導(dǎo)致這種高逼近精度無(wú)法通過(guò)單個(gè)維度的計(jì)算量的累加達(dá)到?？梢?jiàn)，迭代不收斂似乎與計(jì)算代價(jià)過(guò)少有關(guān)。

從這個(gè)角度看，三維延拓Kantorovich法要想實(shí)現(xiàn)迭代收斂，則不能過(guò)度地節(jié)省計(jì)算量，需要考慮增加更多的計(jì)算量。文獻(xiàn)［7-8］證實(shí)了這個(gè)觀點(diǎn)：采用張量積的函數(shù)構(gòu)造形式，其中一個(gè)方向上有n2個(gè)函數(shù)變量，比起簡(jiǎn)單形式在每個(gè)方向上只有n個(gè)函數(shù)變量，函數(shù)變量的個(gè)數(shù)大大增加，相應(yīng)的計(jì)算量大大增加，結(jié)果實(shí)現(xiàn)了迭代收斂。張量積形式的中心點(diǎn)位移大約經(jīng)過(guò)3輪循環(huán)趨于收斂，其迭代計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 張量積形式的中心點(diǎn)位移的迭代計(jì)算結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)以上數(shù)值算例和定性分析，可得出關(guān)于三維延拓Kantorovich法的以下結(jié)論：

（1）采用簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法會(huì)遇到數(shù)值困難。當(dāng)取多項(xiàng)試探函數(shù)時(shí)，函數(shù)值迭代不收斂，泛函值的單調(diào)下降也極其緩慢；當(dāng)循環(huán)輪數(shù)非常高時(shí)，這種均勻變化的不收斂趨勢(shì)更加明顯。

（2）數(shù)值困難顯示，三維延拓Kantorovich法與二維延拓Kantorovich法有著本質(zhì)的不同。

［1］KANTOROVICH L V，KRYLOV V L.Approximate Methods of Higher Analysis［M］.New York:Interscience，1958.

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［7］林永靜，袁駟.張量積形式的三維延拓Kantorovich法［J］.工程力學(xué)，2012（5）:8-12.

［8］林永靜.張量積形式的三維延拓Kantorovich法求解彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題［J］.現(xiàn)代工業(yè)經(jīng)濟(jì)和信息化，2016（6）:110-112.

［責(zé)任編輯：武云鵬］

Iteration Non-Convergence Phenomenon of Three-Dimensional Extended Kantorovich Method

LIN Yongjing （Architecture Engineering Department， Wenzhou Vocational & Technical College， Wenzhou， 325035， China）

When two-dimensional extended Kantorovich method is introduced to three-dimensional extended Kantorovich method， a large number of numerical examples reveals a new phenomenon： if the simple three-dimensional extended Kantorovich method is used， the numerical difficulty of iteration non-convergence will occur.Qualitative analysis on this numerical phenomenon indicates that three-dimensional extended Kantorovich method is not a simple introduction of two-dimensional extended Kantorovich method， and they are different in nature.

Three-dimensional extended Kantorovich method； Simple form； Iteration non-convergence

10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.060

TU318；O343.2

A

1671-4326（2016）03-0047-04

2016-06-08

浙江省教育廳一般科研項(xiàng)目（Y201225911）；溫州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（S20110002）

林永靜（1975—），男，浙江樂(lè)清人，溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系講師，博士.