探討命題之間的關系及運用

龔光劍

（廣西右江民族商業(yè)學校，廣西 百色 533000）

探討命題之間的關系及運用

龔光劍

（廣西右江民族商業(yè)學校，廣西 百色 533000）

把握好命題知識點的內涵及運用，尤其是把握好四種命題之間的關系并靈活運用其來解決數學問題，有助于學生逐步學會推理、善于推理，提高學生的思維能力和解決實際問題的能力。

命題；關系；運用

在簡易邏輯范疇里，命題是一個重要的知識點，而邏輯學主要是研究思維形式及其規(guī)律的一門基礎性學科，邏輯學通常用數學的方法來研究一些問題，這些問題是屬于形式邏輯范疇，同時邏輯學更注重于數學證明與公理方法的研究。邏輯學作為研究數學問題、解決數學問題的重要工具，把握好邏輯學范疇里命題這個知識點的內涵及靈活運用，尤其是把握好四種命題之間的關系并靈活運用其來解決數學問題，能幫助學生逐步學會推理、善于推理，從而提高學生的思維能力和解決實際數學問題的能力。探討四種命題之間的必然聯系，對于學生對數學的進一步學習，有很大意義。

1 命題以及命題之間的關系

（1）判斷一件事情正確與否的語句叫做命題，命題分為真命題和假命題，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題。

（2）在兩個命題中，如果第一個命題的題設（或條件）是第二個命題的結論，并且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題；若把其中一個命題叫做原命題，則另一個命題叫做該原命題的逆命題。

（3）既否定原命題的條件，又否定原命題的結論，這樣的命題叫原命題的否命題。

（4）把原命題的條件和結論交換位置，同時對原命題的條件和結論予以否定，這樣的命題叫原命題的逆否命題。

（5）若用p原命題的條件，q表示原命題的結論。用?p和?q 分別表示p和q的否定，于是有原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若?p則?q；逆否命題：若?q則?p。

（6）四種命題之間的關系

圖1 四種命題之間的關系圖

（7）四種命題之間的真假關系

表1 四種命題之間的真假關系表

2 靈活運用命題知識解決問題

2.1 已知一個命題，寫出其另外三種命題

（1）要寫出一個命題的逆命題、否命題和逆否命題，只要根據定義把命題的條件和結論進行否定或交換就可以了。

（2）如果命題不是“若p則q”形式，要寫出其它三種命題，要先把該命題改寫成“若p則q”的形式，然后再按（1）的方法來解決。

（3）若已知命題有大前提，則必須保留該命題的大前提。

（4）有幾個條件組成的命題，應把其中一個（或幾個）條件作為大前提。

如：N＜0，X，Y∈R，“若X＞Y則XN＜YN”的逆命題是“若XN＜YN則X＞Y”；否命題是“若X≤Y則XN≥YN”；逆否命題是“若XN≥YN則X≤Y”。

上述三種命題的大前提都是X，Y∈R，且N＜0，不能作任何改變。

2.2 區(qū)分好命題的否定形式和否命題

（1）區(qū)別。從概念上講，命題的否定形式就是直接對命題的結論進行否定，而否命題卻是原命題的條件和結論分別否定后組成的命題。從構成上講，對于“若p則q”形式的命題，它的否定命題為“若p則?q”，也就是不改變條件，只是否定結論而已；而其否命題則為“若?p則?q”，即對其條件和結論都進行否定。從真值上講，否定命題的真值和原命題相反，而否命題的真值與原命題沒有關系。

（2）聯系。其一它們都是否定了原命題的條件或結論后組成的新命題；其次它們在否定的時候，對其正面敘述的詞語的否定表達都是一樣的。

2.3 靈活運用反證法

（1）反證法的思維程序。先否定問題結論——推理過程中引出矛盾（與假設相矛盾，或與題設相矛盾，或與定義、公理、定理、公式相矛盾，或自相矛盾）——從而肯定結論。

（2）反證法比較適合解決的問題。其一是命題很簡單，沒有更多公理概念等依據可供使用的命題；其二是結論本身以否定形式出現的一些命題；其三是命題的結論是以“至少…”或“至多…”的形式出現；其四是關于唯一性、存在性的命題；其五是結論的反面比原結論還具體、還容易研究和掌握。上述題型比較適合用反證法證明，但并不是一定要用反證法證明，也并不是說其它題型不能用反證法證明。

所以n2=2m2

因為n，m為互質

所以n，m均為奇數或n，m一奇一偶

但是n，m均為奇數或n，m為偶數，n為奇數n2=2m2均不成立；當m為奇數，n為偶數時，不妨設n=2k，則m2=2k2，這與m是奇數矛盾。

2.4 運用逆否證法證明數學問題

（1）逆否證法的定義。因為原命題與其逆否命題是等價的，所以如果要證明或判斷原命題很困難的時候，就要考慮改成證明它的逆否命題成立，這種方法同樣能夠證明原命題，這種證明方法稱為逆否證法。

（2）反證法與逆否證法的聯系。其一都是利用原命題與其逆否命題的等價性，依據一樣；其二都是從“?q”（即否定結論）入手，起步相同；其三都是“正難則反”思想的具體體現，思想相同。

（3）反證法與逆否證法的區(qū)別。首先為目的不同，反證法否定結論的目的是為了推出矛盾，而逆否證法否定結論的目的是為了推出“?q”。其二是本質上的不同，逆否證法實際上是證明一個新命題的成立，而反證法則是把否定的結論作為新的條件加上原有的條件進行邏輯推理，最終推出矛盾，從而肯定原命題是正確的。

例如：已知：有10個人去分56個水果，每人至少分到1個水果，至多分到10個水果。

求證：至少兩個人分到的水果數一樣多。

證明：假設沒有兩個人分到的水果一樣多，則每人分到的水果數都不相同。只能為1，2，3，4，5，6…，10。這樣共分掉1+2+3+4+5+6…+10=55個水果，與已知分掉56個水果這個條件矛盾，所以假設不成立，原結論正確。

再如：已知：x+y+z〉0，xy+yz+zx〉0，xyz〉0.

求證：x〉0，y〉0，z〉0。

［證明］：假設x，y，z不都是正數，那么由xyz〉0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數。

不妨設x〈0，y〈0，z〉0，則由x+y+z〉0，

可得z〉-（x+y），

又x+y〈0，

∴z（x+y）〈-（x+y）（x+y）

xy+z（x+y）〈-（x+y）（x+y）+xy

即xy+yz+zx〈-x2-xy-y2

∵x2〉0，xy〉0，y2〉0，

∴-x2-xy-y2=-（x2+xy+y2）〈0，

即xy+yz+zx〈0，

這與已知xy+yz+zx〉0矛盾，

所以假設不成立.

因此x〉0，y〉0，z〉0成立。

總之，邏輯學是一門非常重要的學科，而四種命題知識點是邏輯學里至關重要的內容，在很多領域都有廣泛的運用，在解決實際問題的過程中四種命題的知識點顯得更為重要。對于四種命題的內涵理解和靈活運用，需要精心去探索、仔細去總結，并在靈活運用中不斷總結提高和創(chuàng)新拓展，才能讓命題這個知識點真真正正為學習數學知識和解決實際數學問題提供更多幫助。

To explore the relationship between propositions and application

Grasp the connotation of propositional knowledge and application， especially the grasp of the relationship between the four propositions and flexible use it to solve mathematical problems， help students to gradually learn to reasoning， be good at reasoning，improve the students' thinking ability and the ability to solve practical problems.

Proposition； relationship； using

O14

Α

1008-1151（2016）06-0109-02

2016-05-06

龔光劍（1976-），男，廣西百色人，廣西右江民族商業(yè)學校高級講師。