郭育紅
(河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 張掖 734000)
關(guān)于兩類color有序分拆的一個恒等式
郭育紅
(河西學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 張掖734000)
考慮了正整數(shù)n的有序分拆中,分部量1有兩種形式的情形,發(fā)現(xiàn)正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于第2n+1個Fiboacci數(shù)F2n+1.進(jìn)一步得到了一個涉及正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)與正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)之間的一個恒等式.并且給出了正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)的一個顯式計數(shù)公式.
n-color有序分拆;Fibonacco數(shù);恒等式;組合雙射
在經(jīng)典的分拆理論中,MacMahon[1]第一次定義了正整數(shù)的有序分拆.即在正整數(shù)的分拆中考慮了分部量的次序.例如,4的無序分拆有:
共5個;而 4的有序分拆有:
共 8個.有序分拆也可以表示成向量的形式.例如,上述4的8個有序分拆可記為:
Agarwal和Andrews在文獻(xiàn)[2]中拓廣了正整數(shù)無序分拆的概念,給出了正整數(shù)的 n-color無序分拆.即在正整數(shù)ν的無序分拆中對于每一個分部量n著n種不同的顏色.他們將這n種顏色用下標(biāo)表示為:n1,n2,···,nn.例如,3的n-color無序分拆有:共 6個.在2000年,Agarwal[3]又定義了n-color有序分拆.例如,3有8個n-color有序分拆:
近年來,對于正整數(shù)的 n-color有序分拆的研究產(chǎn)生了許多研究成果[3-13].關(guān)于正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)有下面的結(jié)論.
定理1.1[3]設(shè)C(ν)表示ν的n-color有序分拆數(shù),C(m,ν)表示ν分成m個分部量的n-color有序分拆數(shù),C(m,q)和C(q)分別表示C(m,ν)和C(ν)的生成函數(shù).則
這里Fn是第n個Fibonacci數(shù).
定義1.1[3]Fibonacci數(shù)列是指:F0=0,F(xiàn)1=1,且滿足:
2013年,Shapcott在文獻(xiàn)[14]中給出了正整數(shù)的n-color有序分拆的一種符號表示,他利用一串符號“×”和“-”表示正整數(shù)的n-color有序分拆,即對于正整數(shù)的n-color有序分拆的一個分部量λi,1≤i≤λ,用一串含有(λ-1)個-”和一個“×”的符號來表示,其中“×”所在的第i個位置表示分部量著第i種顏色;而兩個分部量之間用一個“×”分割.例如,3的一個n-color有序分拆21+11可表示成:
利用這種“×”和“-”符號表示,Shapcott建立了正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)與正整數(shù)的分部量是1或 2的稱為1-2有序分拆的分拆數(shù)、分部量是奇數(shù)的稱為奇有序分拆的分拆數(shù)、分部量大于1的有序分拆數(shù)之間的一些恒等式.
2015年,Munagi和Sellers在文獻(xiàn)[15]中給出了正整數(shù)的 Inplace有序分拆的幾個恒等式.所謂正整數(shù)的有序分拆中分部量λ出現(xiàn) Inplace j次是指在該分拆中,分部量λ連續(xù)出現(xiàn)j次.例如,分拆
就是一個偶分部量出現(xiàn) Inplace偶數(shù)次的有序分拆.
同時,文獻(xiàn)[15]中給出了下面的關(guān)于Inplace有序分拆的恒等式.
定理 1.2[15]設(shè)n≥1,正整數(shù)n的奇分部量出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)2n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).
在文獻(xiàn)[15]中,作者將奇分部量有兩種形式也看成一類color有序分拆,并將分部量λ有兩種形式表示成:λ,λ?.
本文考慮了正整數(shù)n的有序分拆中,分部量1有兩種形式的情形,我們發(fā)現(xiàn)正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)等于第2n+1個Fiboacci數(shù)F2n+1.于是結(jié)合定理1.1中的(4)式給出的正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)與 Fibonacci數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)而我們研究了這兩類color有序分拆,得到了一個涉及正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)與正整數(shù)的n-color有序分拆數(shù)之間的一個恒等式.并且給出了正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)的一個顯式計數(shù)公式.
首先,討論正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆,我們?nèi)匝赜梦墨I(xiàn)[13]中記號,即用1,1?表示分部量1的兩種形式.我們考慮其生成函數(shù).
第2n+1個 Fibonacci數(shù)的生成函數(shù)是
于是,有下面的結(jié)論.
個Fibonacci數(shù).則
這里ν>0.
Fibonacci數(shù)與正整數(shù)的1-2有序分拆數(shù)之間存在著熟悉的關(guān)系式.
引理 2.1[14]設(shè)C1-2(ν)表示正整數(shù) ν的1-2有序分拆數(shù),F(xiàn)n表示第n個 Fibonacci數(shù).則
這里ν>0.
自然地,我們考慮正整數(shù)n的分部量1有兩種形式的有序分拆與1-2有序分拆之間的關(guān)系,容易得到了下面的一個恒等式.
定理 2.2設(shè)C21(ν)表示正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù),C1-2(ν)表示正整數(shù) ν的1-2有序分拆數(shù).則
這里ν>0.
我們給出該恒等式的組合雙射證明.
證明我們將正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆分成以下兩類:
(A)ν的分拆中分部量都是1;
(B)ν的分拆中分部量至少有一個不等于1.
對于(A)類中的有序分拆,按照Munagi和Sellers在文獻(xiàn)[13]對定理1.2的證明中給出的對應(yīng)關(guān)系:即把ν的分拆中分部量1對應(yīng)成2ν的分拆的分部量2;把分部量1?對應(yīng)成2ν的分拆中的分部量“1,1”.我們知道,這類分拆對應(yīng)著2ν的 1-2有序分拆中分部量1出現(xiàn) Inplace偶數(shù)次的分拆.
對于(B)類中的有序分拆,仍然按照Munagi和Sellers的方法,把ν的分拆中分部量1對應(yīng)成2ν的分拆的分部量2;把分部量1?對應(yīng)成2ν的分拆中的分部量1,1,把分部量λ>1對應(yīng)成2ν的分拆中的分部量2λ.于是我們知道這類分拆對應(yīng)著2ν的不含大于1的奇分部量,且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆,但是不包括分拆
這時設(shè)
是2ν的不含大于 1的奇分部量,且分部量1出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆,我們做如下變換:若λi=1,2,保留該分部量不變;當(dāng)λi=2k,k>1時,將λi分拆成:
這樣我們就得到了2ν的1-2有序分拆,且分部量1不是出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆.這是因為分拆α中如果有分部量1,則分部量1是出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的,而將與分部量1相鄰的偶分部量2k分拆成形式
時,就破壞了分部量1出現(xiàn)的 Inplace偶數(shù)性;如果在分拆α中兩個相鄰的分部量都是大于2的偶數(shù)λi,λj,此時將λi,λj分拆成形式時,自然破壞了分部量1出現(xiàn)的 Inplace偶數(shù)性.
故(B)類中產(chǎn)生了2ν的1-2有序分拆中,分部量1不是出現(xiàn)Inplace偶數(shù)次的分拆.顯然,該對應(yīng)關(guān)系是一一的,反之亦然.
綜合(A)類,(B)類知結(jié)論成立.接下來我們考慮正整數(shù)的n-color有序分拆,由定理1.1中的(4)式,得到下面的推論.
推論 2.1設(shè)C(ν)表示正整數(shù)ν的n-color有序分拆數(shù),F(xiàn)n表示第n個Fibonacci數(shù).則
定理2.3設(shè)C′(ν)表示正整數(shù)ν的右端分部量不是11的n-color有序分拆數(shù),C21(ν)表示正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù).則
給出該關(guān)系式的組合證明.
證明事實上,由定理2.2我們知道:ν的分部量1有兩種形式的有序分拆對應(yīng)著2ν的右端分部量不是11的n-color有序分拆.接下來,我們用Shapcott在文獻(xiàn)[12]中給出的方法再建立正整數(shù)2ν的1-2有序分拆與正整數(shù)ν+1的右端分部量不是11的n-color有序分拆之間的對應(yīng)關(guān)系.對于2ν的任意一個1-2有序分拆,我們將分部量1表示成“×”,分部量2表示成“-”,就得到一個“×”和“-”符號圖.然后在“×”和“-”符號圖中考慮最右端的符號,如果最右端符號是“×”,我們將“×”換成“-”;如果最右端符號是“-”,我們就添上“×”.接下來,在得到的“×”和“-”符號圖中按照從左向右的順序?qū)ⅰ啊痢焙汀?”符號圖變換成正整數(shù)的n-color有序分拆,其中“×”所在的位置j表示分部量著j色,而兩個相鄰的“×”,右邊的一個表示兩個分部量的分割點.這樣我們就得到了ν+1的右端分部量不是11的n-color有序分拆.這樣我們就將ν的分部量1有兩種形式的有序分拆對應(yīng)到ν+1的右端分部量不是11的n-color有序分拆.反之亦然.故結(jié)論成立.
給出一個例子來說明上述對應(yīng)關(guān)系.
例 2.1取ν=3,則3的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)與4的右端分部量不是11的n-color有序分拆之間的對應(yīng)關(guān)系如下:
利用正整數(shù)ν的n-color有序分拆的計數(shù)公式
還得到了正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù)C21(ν)的顯式計數(shù)公式.推論 2.2設(shè)C21(ν)表示正整數(shù)ν的分部量1有兩種形式的有序分拆數(shù).則
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2010 MSC:05A17,05A19
A identity about two classes of color compositions
Guo Yuhong
(School of Mathematics and Statistics,Hexi University,Zhangye734000,China)
In this paper,we considered the compositions with the part 1 has two kinds,and found that the number of compositions with the part 1 has two kinds equals the(2n+1)thFibonacci number F2n+1.Furthermore,we obtained an identity between the number of compositions of n when part 1 can be of two kinds and the number of n-color compositions.And we also give an explicit counting formula of the number of compositions of n when part 1 can be of two kinds.
n-color compositions,the Fibonacci number,identity,combinatorial bijection
O157
A
1008-5513(2016)05-0441-07
10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.001
2016-07-22.
國家自然科學(xué)基金(11461020).
郭育紅(1970-),碩士,教授,研究方向:組合數(shù)學(xué).